[科普中國(guó)]-費(fèi)米面

定義

費(fèi)米面是最高占據(jù)能級(jí)的等能面，是當(dāng)T=0時(shí)電子占據(jù)態(tài)與非占據(jù)態(tài)的分界面。一般來(lái)說(shuō)，半導(dǎo)體和絕緣體不用費(fèi)米面。而用價(jià)帶頂概念。金屬中的自由電子滿(mǎn)足泡利不相容原理，其在單粒子能級(jí)上分布幾率遵循費(fèi)米統(tǒng)計(jì)分布。

費(fèi)米面的構(gòu)造費(fèi)米能級(jí)是電子占有態(tài)和未占有態(tài)的邊界面，在三維空間中費(fèi)米能級(jí)就是k空間中能量為EF的曲面，即E= EF（k）=C所構(gòu)成的曲面為費(fèi)米面。k空間中被充滿(mǎn)區(qū)域的總面積僅僅依賴(lài)于電子濃度，而費(fèi)米面的形狀依賴(lài)于點(diǎn)陣的相互作用.費(fèi)米面附近的電子對(duì)金屬的性質(zhì)有重要影響，如金屬的電子比熱、電子的脫出功、金屬電導(dǎo)等主要決定于費(fèi)米面附近的電子，有人甚至把金屬定義為具有費(fèi)米面的固體。顯然了解和掌握費(fèi)米面的概念以及距布氏區(qū)邊界多遠(yuǎn)的問(wèn)題是對(duì)金屬中電子的物理特性獲得深刻理解的根本問(wèn)題.1

二維金屬費(fèi)米面的描繪在當(dāng)前的固體物理學(xué)教材中，對(duì)費(fèi)米面的構(gòu)造沒(méi)有詳細(xì)的闡述。費(fèi)米面附近的電子對(duì)金屬的性質(zhì)有重要的影響，了解和掌握費(fèi)米面的構(gòu)造以及其在布里淵區(qū)中的填充情況是對(duì)金屬中電子的物理特性獲得深刻理解的一個(gè)根本問(wèn)題。

絕對(duì)零度下，電子在波矢空間（k空間）中分布（填充）而形成的體積的表面稱(chēng)為費(fèi)米面。由于在絕對(duì)零度時(shí)電子都按照泡利不相容原理填滿(mǎn)于費(fèi)米面以下的量子化狀態(tài)中，所以費(fèi)米面也就是k空間中費(fèi)米能量所構(gòu)成的表面，且費(fèi)米面是一等能面。實(shí)際晶體的能帶結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜，相應(yīng)的費(fèi)米面形狀也很復(fù)雜，最簡(jiǎn)單的情況是理想電子氣的費(fèi)米面，它是一個(gè)以kF為半徑的費(fèi)米球。

費(fèi)米能級(jí)是電子占有態(tài)和未占有態(tài)的界面，在三維空間中費(fèi)米能級(jí)就是k空間中能量為EF的曲面，即E=EF（k）=C所構(gòu)成的曲面為費(fèi)米面。費(fèi)米面附近的電子對(duì)金屬的性質(zhì)有重要影響，如金屬的電子比熱、電子的脫出功、金屬電導(dǎo)等主要決定于費(fèi)米面附近的電子，有人甚至把有金屬定義為有費(fèi)米面的固體。2

布里淵區(qū)角頂附近的費(fèi)米面在導(dǎo)體中靠近布里淵區(qū)角頂?shù)馁M(fèi)米面具有特殊的凝聚和破缺效應(yīng)。這種效應(yīng)有可能導(dǎo)致電子氣的相變。因此，有必要對(duì)此角頂附近的電子分布作更深入的數(shù)值計(jì)算，研究費(fèi)米面的特征。在計(jì)算中同時(shí)考慮晶格的周期場(chǎng)和電子（自旋平行）的交換能。為了具體化，我們以鋁金屬為實(shí)例進(jìn)行計(jì)算。

計(jì)算方法是從角頂開(kāi)始，將電子放入角內(nèi)一層一層的等能量費(fèi)米面，各方向射線(xiàn)上的k波矢量值不相同。用變分法求出角頂近旁單電子Bloch波及其能級(jí)。然而加入電子間的交換能計(jì)算費(fèi)米面上電子的能量;由上一層的費(fèi)米面確定出下一層加上去的費(fèi)米面。晶格周期場(chǎng)采取Heine所給值。

計(jì)算結(jié)果給出不同波矢量組的費(fèi)米面;費(fèi)米面上電子能量，費(fèi)米面電子數(shù)。費(fèi)米面不呈球形而是有幾個(gè)極大和極小的扭曲面，中間突出，在邊界上低平。當(dāng)波矢量增大時(shí)，扭曲程度縮小。電子能量先變小然后到極小值，之后便急速上升。在極小時(shí)，電子密度達(dá)到1018個(gè)/cm3的量級(jí)，相當(dāng)于有相關(guān)長(zhǎng)度10-8cm.

為了能粗估分布角區(qū)中電子有對(duì)角分布對(duì)稱(chēng)時(shí)破缺的可能性，在附錄中估計(jì)了在同一角區(qū)中和不同角區(qū)中兩個(gè)電子的交換能。初步計(jì)算結(jié)果，在極小值附近，兩電子在不同角區(qū)中交換能比在同一個(gè)角區(qū)中交換能要小3倍。這就說(shuō)明有破缺的可能性。這個(gè)破缺和Bloch有關(guān)最低能級(jí)中無(wú)穩(wěn)電流的分析論證，將在另一文中發(fā)表。這破缺的來(lái)源是由于:當(dāng)波矢量增大時(shí)，簡(jiǎn)供的波函數(shù)急速轉(zhuǎn)變成非簡(jiǎn)拼的前進(jìn)波，這使交換能突然變少，而交換能的凝聚作用引起費(fèi)米面按角頂不同而各自分裂。這種分裂必然引起相變。而極小值的出現(xiàn)就是破缺的開(kāi)始。3

UGe2在鐵磁態(tài)下費(fèi)米面1.UGe2的晶格結(jié)構(gòu)及色散關(guān)系Shick和Pickett研究認(rèn)為，UGe2的結(jié)構(gòu)是準(zhǔn)二維結(jié)構(gòu)，在這里我們把它看作二維正方格子，則它的倒空間也是正方格子，它的第一布里淵區(qū)也是平面正方形，如圖2所示.

2.費(fèi)米面若我們?nèi)「顸c(diǎn)上電子半滿(mǎn)，即取μ=0，取σh = 0.5t,溫度為絕對(duì)零溫。則令εk=0，根據(jù)式子得到有磁場(chǎng)時(shí)的費(fèi)米面.因?yàn)槎S正方格子第一布里淵區(qū)（如圖2所示）為正方形，關(guān)于kx、ky和原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，所以只需畫(huà)出第一象限的費(fèi)米面，如圖3所示。

圖3中，二維動(dòng)量空間范圍是kx∈（0，π）；ky∈（0，π）。圖中由坐標(biāo)（0, 1）到坐標(biāo)（0, 1）的斜細(xì)直線(xiàn)為UGe2處于非鐵磁態(tài)時(shí)電子的費(fèi)米面，而直的斜線(xiàn)左下面的粗的曲線(xiàn)表示的是自旋向下電子的費(fèi)米面，直斜線(xiàn)右上方的粗曲線(xiàn)表示自旋向上電子的費(fèi)米面。4