[科普中國]-射影定律

直角三角形射影定理，又稱“歐幾里德定理”，定理內(nèi)容是直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。 公式表達為：如左圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，cd是斜邊ab上的高，則有射影定理如下1：①CD2=AD·DB，②BC2=BD·BA ， ③AC2=AD·AB ； ④AC·BC=AB·CD（等積式，可用面積來證明）

定理介紹簡介

所謂射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高的平方是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項。

設(shè)直角三角形ABC，AB是斜邊，CD是高，則AC的平方=AD×AB

CB的平方=BD×BACD的平方=AD×DB等積式；

AD×AC=AB×AC

推出；AC/AB=AD/AC（比例式）

如圖，∠ABC=90°，CD⊥AB，則AC^2=AD×AB，BC^2=BD×AB，CD^2=AD×BD。以上比例式合稱射影定理。主要用于解決直角三角形斜邊及定點與斜邊的連線的問題，比如說給出AD和BD的長度求AC:BC。

直角三角形射影定理公式: 如圖，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜邊AC上的高，則有射影定理如下：

（1）(BD)^2=AD·DC， （2）(AB)^2=AD·AC ， （3）(BC)^2=CD·CA 。

等積式 （4）AB×BC=AC×BD(可用“面積法”來證明）

直角三角形射影定理的證明

射影定理簡圖(幾何畫板)：

（主要是從三角形的相似比推算來的）

證法一在△BAD與△BCD中，∵∠ABD+∠CBD=90°，且∠CBD+∠C=90°，

∴∠ABD=∠C，

又∵∠BDA=∠BDC=90°

∴△BAD∽△CBD

∴ AD/BD=BD/CD

即BD^2=AD**·**DC。其余同理可得可證

注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。

有射影定理如下：AB^2=AD·AC，BC^2=CD·CA

兩式相加得：AB^2+BC^2=AD**·AC+CD·**AC =（AD+CD)·AC=AC^2 .

即AB^2+BC^2=AC^2（勾股定理結(jié)論）。

證法二已知:三角形中角A=90度，AD是高.

用勾股證射影

∵AD^2=AB^2-BD^2=AC^2-CD^2，

∴2AD^2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BD×CD.

故AD^2=BD×CD.

運用此結(jié)論可得:AB=BD+AD=BD+BD×CD=BD×(BD+CD) =BD×BC， AC=CD+AD=CD+BD×CD=CD(BD+CD)=CD×CB.

綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識進行證明2。

任意三角形射影定理內(nèi)容任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”3：

△ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有

a=b**·cosC+c·**cosB，

b=c**·cosA+a·**cosC，

c=a**·cosB+b·**cosA。

注：以“a=b**·cosC+c·cosB”為例，b、c在a上的射影分別為b·cosC、c·**cosB，故名射影定理。

證明證明1：設(shè)點A在直線BC上的射影為點D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且

BD=c**·cosB，CD=b·cosC，∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB.** 同理可證其余。

證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA

=acosB+(asinB/sinA)cosA=a**·cosB+b·cosA.** 同理可證其它的。

面積射影定理定理內(nèi)容面積射影定理：“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積S乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦。”

COSθ=S射影/S原

(平面多邊形及其射影的面積分別是S原，S射影，它們所在平面所成銳二面角的為θ)

證明思路因為射影就是將原圖形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因為平面多邊形的面積比=邊長的平方比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。那么這個比值應(yīng)該是平面所成角的余弦值。在兩平面中作一直角三角形，并使斜邊和一直角邊垂直于棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），那么三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形的長度比，即為平面多邊形的面積比，而將這個比值放到該平面三角形中去運算即可4。

定理提出者簡介歐幾里得（希臘文：Ευκλειδη? ，公元前325年—公元前265年），古希臘數(shù)學(xué)家，被稱為“幾何之父”。他活躍于托勒密一世（公元前323年－公元前283年）時期的亞歷山大里亞。 他最著名的著作《幾何原本》是歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，總結(jié)了平面幾何五大公設(shè)，被廣泛的認為是歷史上最成功的教科書。歐幾里得也寫了一些關(guān)于透視、圓錐曲線、球面幾何學(xué)及數(shù)論的作品。

本詞條內(nèi)容貢獻者為:

郎奠波 - 副教授 - 黑龍江財經(jīng)學(xué)院