你有沒有好奇過“天有多高、地有多厚”呢？

“地有多厚 天有多高/地有多厚 天有多高/星星眨著眼/月兒劃問號/彗星拖著長長的尾巴/彩虹來架橋……”還有人記得這首《藍(lán)貓?zhí)詺馊枴返闹黝}曲嗎？是不是暴露年齡了～小時(shí)候的你，有沒有好奇過“天有多高、地有多厚”呢？

如果你平常有戴著運(yùn)動(dòng)手表爬山的習(xí)慣，可能還會(huì)發(fā)現(xiàn)，在爬山途中，手表似乎總會(huì)知道現(xiàn)在有多高，這是怎么做到的？

物理思路 vs 幾何思路

測量高度有物理和幾何兩種思路。我們先說物理思路：如果你站在兩個(gè)地方，測到的重力不同，那就是這兩個(gè)地方距離地心（質(zhì)心）的遠(yuǎn)近不同，即高度不同。這種物理的思路聽著有點(diǎn)浪漫，但對于普通百姓，實(shí)用值約等于零。幾何的思路，從古到今一直被廣泛使用。選擇一個(gè)或多個(gè)觀測點(diǎn)，測量各種角度、邊長距離的數(shù)據(jù)，然后構(gòu)建合適的三角形，就能算出高度。即使現(xiàn)在有衛(wèi)星定位系統(tǒng)（也是幾何思路），我們?nèi)詴?huì)采用這種方法來測山的高度，哪怕是珠穆朗瑪峰。

珠峰測量。圖片來源：可視化星球《我們究竟是如何測量珠峰的？》

隨著人們知道了地球是個(gè)球，而且測量的尺度越來越大，情況就發(fā)生了改變，測得的數(shù)據(jù)要按地面的彎曲做出調(diào)整，同時(shí)，空氣密度不同引起的光線折射偏差也得考慮。更麻煩的是，有些地方根本就測不了，比如，想測一個(gè)海島，站太遠(yuǎn)，島被淹沒在地平線以下，想靠近點(diǎn)，又沒陸地。

后來，人類的天空變得更高，衛(wèi)星能幫我們看清大地的全貌，也讓我們的運(yùn)動(dòng)手表能知道所處的位置有多高。與傳統(tǒng)觀的地面測量不同，衛(wèi)星定位系統(tǒng)需要一個(gè)空間直角坐標(biāo)系，這樣，空間內(nèi)的任何位置都能用坐標(biāo)來表示。在這個(gè)坐標(biāo)系里，原點(diǎn)是地心，Z軸是地球的自轉(zhuǎn)軸（地軸的運(yùn)動(dòng)取均值），X軸指向子午線，Y軸按數(shù)學(xué)老師教的右手方法確定（如下圖所示）。所以，只要測得與4顆不同衛(wèi)星的距離，就能算出你所在位置的坐標(biāo)，進(jìn)而推算出其他有用的數(shù)據(jù)。

制圖：徐靜中

這么一來，衛(wèi)星定位系統(tǒng)確實(shí)解決了原來的曲面和遠(yuǎn)距離問題，但新問題又隨之產(chǎn)生，如何知道衛(wèi)星在空間的準(zhǔn)確位置？又如何精確地測出你與衛(wèi)星之間的距離呢？想要精確，地面和衛(wèi)星使用的時(shí)間得先一致，現(xiàn)在具體是幾點(diǎn)幾分，以及每一秒應(yīng)該有多長，必須相同，但我們地面的時(shí)間是以地球自轉(zhuǎn)為基礎(chǔ)，而衛(wèi)星使用原子時(shí)，這就得協(xié)調(diào)一致。還有，衛(wèi)星離我們那么遠(yuǎn)，飛那么快，時(shí)間流逝的速度和地表是不同的，所以要按照愛因斯坦的相對論做修正。

然后，衛(wèi)星的軌道你得算精準(zhǔn)，這里又涉及很多物理參數(shù)。

再然后，空氣密度不同對電磁波的影響仍然存在，測距時(shí)要考慮。還有，衛(wèi)星信號的接收機(jī)本身可能受到電磁干擾、軟件計(jì)算上的問題也會(huì)造成誤差。其實(shí)，衛(wèi)星定位系統(tǒng)測量的精度未必高于傳統(tǒng)的地面測量。所以，那些要求高的測量，需要空中網(wǎng)絡(luò)（衛(wèi)星系統(tǒng)）與地面網(wǎng)絡(luò)（地面輔助定位的基站）相結(jié)合，兩種數(shù)據(jù)互相矯正。

衛(wèi)星定位與地圖

為了實(shí)際應(yīng)用，我們需要把空間坐標(biāo)的數(shù)值換算成地圖上的位置，也就是讓每個(gè)點(diǎn)都有對應(yīng)的經(jīng)度、緯度、高度。

制圖：徐靜中

要給球面上的點(diǎn)確定經(jīng)緯度不難（如上圖所示），但確定高度就不那么簡單了。因?yàn)椋?strong>高度的起點(diǎn)在哪就是個(gè)問題。我們很容易想到用海平面作為高度的起點(diǎn)，然后把這個(gè)基準(zhǔn)高度延伸到整個(gè)地球?？梢裕?strong>我國就是長期觀察黃海的漲落，算了一個(gè)海平面的平均值作為零海拔，這是測高的起點(diǎn)。但地球不是一個(gè)正球，它有點(diǎn)扁，基準(zhǔn)海平面應(yīng)該按最貼近地球的形狀去延伸，而這個(gè)形狀又必須能用數(shù)學(xué)來表達(dá)。思來想去，人類選擇了橢球體。我國的北斗系統(tǒng)使用2000國家大地坐標(biāo)系，其中默認(rèn)的地球橢球體長半軸為6378137米，短半軸為6356752.31414米。那么，現(xiàn)在確定經(jīng)緯度也要改用這個(gè)橢球體，它比正球體復(fù)雜一點(diǎn)點(diǎn)，如下圖所示。

好啦，咱們只要把黃海高程延伸到整個(gè)橢球體，然后，你所在位置垂直到這個(gè)橢球面的距離就是高度。那運(yùn)動(dòng)手表里真是這樣算的嗎？還不是，因?yàn)樾l(wèi)星定位系統(tǒng)不使用這個(gè)黃海高程延伸的橢球體。

海平面不平

請你想一想，為什么要用海平面作為高度起點(diǎn)？因?yàn)樗婺艽硪粋€(gè)重力相等的面。我們知道，地球的重力分布并不均勻，所以全球的海平面（學(xué)名：大地水準(zhǔn)面）在重力影響下有高有低，不是一個(gè)規(guī)則的球體。如果你要知道最正確的海拔高度，就應(yīng)該是該點(diǎn)垂直到海平面的距離?？墒?，凹凸不平的大地水準(zhǔn)面無法用數(shù)學(xué)表達(dá)，衛(wèi)星定位系統(tǒng)更不會(huì)采用。那衛(wèi)星定位系統(tǒng)用什么做高度起點(diǎn)呢？上文提到過北斗系統(tǒng)使用的2000國家大地坐標(biāo)系，里面具體設(shè)定的那個(gè)橢球體（學(xué)名：基準(zhǔn)橢球體），它就是全球算高度的起點(diǎn)。

之所以設(shè)定這樣的橢球體，是因?yàn)榻?jīng)過多年研究測算，它與地球幾何最吻合，可以代表全球平均的水準(zhǔn)面。很顯然，它不等于我國的黃海高程延伸面。

現(xiàn)在知道了，我們通過衛(wèi)星定位系統(tǒng)測量的高度，比如運(yùn)動(dòng)手表上的讀數(shù)，是上圖左側(cè)的橢球高。至于上圖右側(cè)的正高，也就是純正的海拔高度，你必須知道真實(shí)的大地水準(zhǔn)面在哪里，海面部分它與水面吻合，但陸地部分（尤其在山地），這個(gè)面既看不見又難以定位，所以，我國把黃海高程延伸到整個(gè)陸地，當(dāng)作高度0，形成一個(gè)近似的大地水準(zhǔn)面，你日?？吹降牡貓D、地理標(biāo)志上的高度都是以此為起點(diǎn)的近似海拔高度。

參考文獻(xiàn)：

[1]GPS原理與接收機(jī)設(shè)計(jì) 謝鋼 電子工業(yè)出版社 2017.1

作者｜徐靜中 范琪

審核｜劉松川 中國科學(xué)院空天信息創(chuàng)新研究院高級工程師