俄國(guó)數(shù)學(xué)家阿諾德是20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，師承另一位偉大數(shù)學(xué)家柯爾莫哥洛夫，其天才可見于不滿20歲即解決希爾伯特第13問(wèn)題。阿諾德一生貢獻(xiàn)頗豐，開創(chuàng)了多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域，許多成就直接應(yīng)用于物理學(xué)領(lǐng)域，開創(chuàng)了物理學(xué)研究的新局面。
本文是1995年對(duì)阿諾德的一次采訪，他回憶了自己學(xué)生時(shí)期，云集在莫斯科國(guó)立大學(xué)的諸多數(shù)學(xué)大師；他自己的數(shù)學(xué)英雄；也談到了不同風(fēng)格的數(shù)學(xué)研究和教育，并一如既往地反對(duì)了布爾巴基學(xué)派和美式的研究風(fēng)格。在這些軼事中，我們亦能看出他閃出的智慧火花。
撰文 | S. H. Lui
翻譯 | 哪咤
Utilius scandalum nasci permittur quam veritas relinquatur.
（即使有引發(fā)丑聞的風(fēng)險(xiǎn)，也應(yīng)該說(shuō)實(shí)話。）
——Decretalium V of Pope Gregory IX, 1227–1241
弗拉基米爾·阿諾德（Vladimir Arnol’d）目前是斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所（Steklov Mathematical Institute）和巴黎第九大學(xué)決策數(shù)學(xué)研究所（CEREMADE）的數(shù)學(xué)教授。阿諾德教授于1961年在莫斯科國(guó)立大學(xué)獲得博士學(xué)位。他在動(dòng)力系統(tǒng)、奇點(diǎn)理論、穩(wěn)定性理論、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、磁流體力學(xué)、偏微分方程等領(lǐng)域做出了基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)。阿諾德教授獲得了許多榮譽(yù)和獎(jiǎng)項(xiàng)，包括列寧獎(jiǎng)（Lenin Prize）、克拉福德獎(jiǎng)（Crafoord Prize）和哈維獎(jiǎng)（Harvey Prize）等。
阿諾德（Vladimir Arnol’d，1937-2010） 圖片來(lái)源：mccme.ru
此次訪談?dòng)?995年11月11日進(jìn)行。讀者可能會(huì)對(duì)如下文章感興趣：
1）《對(duì)話弗拉基米爾·阿諾德》[Conversation with Vladimir Igorevich Arnol’d, S. Zdravkovska, The Mathematical Intelligencer, volume 9, pages, 28–32 (1987).]
2）《數(shù)學(xué)三藝》[A mathematical trivium, V. I. Arnol’d , Russian Math. Surveys 46:1 (1991), 271-278.]
3）《俄羅斯數(shù)學(xué)還能堅(jiān)持嗎？》[ Will Russian mathematics survive?. V. I. Arnol’d, Notices of the AMS 40:2 (1993). ]
4）《為什么是數(shù)學(xué)？》[Why Mathematics? by V. I. Arnol’d Quantum, 1994.]
5）《數(shù)學(xué)還能堅(jiān)持嗎？在蘇黎世大會(huì)上的報(bào)告》[Will mathematics survive? Report on the Zurich Congress, V. I. Arnol’d, Mathematical Intelligencer, volume 17, pages 6–10 (1995).]
Lui：請(qǐng)告訴我們一些您早期的教育情況。您從小就對(duì)數(shù)學(xué)感興趣嗎？
阿諾德：俄羅斯的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)可以追溯到古老的商人問(wèn)題。很小的孩子，甚至在對(duì)數(shù)字一無(wú)所知之時(shí)就開始思考這些問(wèn)題了。五到六歲的孩子都很喜歡，也能解出來(lái)，但對(duì)于受過(guò)正規(guī)數(shù)學(xué)訓(xùn)練的大學(xué)畢業(yè)生來(lái)說(shuō)，可能太難了。一個(gè)典型的例子是：
你從一桶酒中舀出一勺酒，然后把它倒進(jìn)一杯茶里。然后從茶杯里再舀一勺（不均勻?。┑够赝袄铩，F(xiàn)在杯子里有一些酒，桶里也有一些茶。在你的操作結(jié)束時(shí)，杯子里酒的量與桶里茶的量，哪個(gè)更多？
稍微大一點(diǎn)的孩子，知道前面幾個(gè)數(shù)字，比如下面這個(gè)問(wèn)題：簡(jiǎn)和約翰想買一本兒童讀物。簡(jiǎn)需要7分錢來(lái)買這本書，而約翰還需要1分錢。他們決定一起只買一本書，但發(fā)現(xiàn)錢還是不夠。這本書的價(jià)格是多少？（要知道俄羅斯的書很便宜?。?/p>
許多俄羅斯家庭都有給孩子出題的傳統(tǒng)，有幾百道這樣的問(wèn)題出給孩子們，我的家庭也不例外。而我第一次真正的數(shù)學(xué)體驗(yàn)是我們學(xué)校的老師I. V. Morozkin出了這樣一個(gè)問(wèn)題：兩個(gè)老婦人在日出時(shí)出發(fā)，每個(gè)人都以恒定的速度行走。一人從A點(diǎn)到B點(diǎn)，另一人從B點(diǎn)到A點(diǎn)，它們?cè)谥形鐣?huì)合，一路不停，分別在下午4點(diǎn)和晚上9點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)和A點(diǎn)。這一天日出是什么時(shí)候？
我花了一整天的時(shí)間思考這個(gè)老問(wèn)題，而答案是一個(gè)發(fā)現(xiàn)（基于現(xiàn)在所說(shuō)的縮放推理（scaling arguments），維度分析（dimensional analysis）或環(huán)面簇理論（toric variety theory），這取決于你的品味）。我當(dāng)時(shí)（1949年）做出發(fā)現(xiàn)后的感覺和所有后來(lái)做出更嚴(yán)肅問(wèn)題的感覺完全一樣——無(wú)論是發(fā)現(xiàn)實(shí)平面曲線的代數(shù)幾何和四維拓?fù)渲g的關(guān)系（1970年），還是發(fā)現(xiàn)焦散線的奇點(diǎn)（singularities of caustics）與波前（wave fronts）之間的關(guān)系，以及單李代數(shù)和Coxeter群之間的關(guān)系（1972年）。我對(duì)這種美妙感覺的渴望，曾經(jīng)是，現(xiàn)在仍是我學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主要?jiǎng)恿Α?/p>
Lui：在莫斯科國(guó)立大學(xué)學(xué)習(xí)是什么感覺？您能給我們講講這些教授嗎？彼得羅夫斯基（Petrovskii）[注1]、柯爾莫哥洛夫（Kolmogorov）[注2]、龐特里亞金（Pontriagin）[注3]、克羅林（Rokhlin） [注4] ……？
阿諾德：上世紀(jì)五十年代我還是學(xué)生的時(shí)候，莫斯科國(guó)立大學(xué)力學(xué)和數(shù)學(xué)系（Mechmat）的氛圍在S. Zdravkovska和P. L. Duren主編的《莫斯科數(shù)學(xué)的黃金歲月》（Golden Years of Moscow Mathematics）一書中有詳細(xì)的描述，該書于1993年由美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)（AMS）和倫敦?cái)?shù)學(xué)學(xué)會(huì)（LMS）聯(lián)合出版。書中包含了許多人的回憶。特別是，我的文章是關(guān)于柯爾莫哥洛夫的，他是我的導(dǎo)師。
當(dāng)我在力學(xué)數(shù)學(xué)系學(xué)習(xí)的時(shí)候，一群偉大的數(shù)學(xué)家齊聚一堂，這是非常罕見的，我從未在其他任何地方見過(guò)這樣的場(chǎng)面。有柯爾莫哥洛夫、蓋爾范德（Gelfand）[注5]、彼得羅夫斯基、龐特里亞金、諾維科夫（P. Novikov）[注6]、馬爾可夫（Markov）[注7]，格爾豐德（Gelfond）[注8]、柳斯特尼克（Lusternik）[注9]、辛欽（Khinchin）[注10]，還有亞歷山德羅夫（Aleksandrov）[注11]等老師教學(xué)，學(xué)生中包括尤里·馬寧（Manin）[注12]、西奈（Sinai）[注13]、諾維科夫（S. Novikov）[注14]、阿列克謝耶夫（V. M. Alexev）[注15]、阿諾索夫（Anosov）[注16]、亞歷山大·基里洛夫（A. A. Kirillov）[注17]，還有我。
柯爾莫哥洛夫關(guān)于現(xiàn)在所謂的哈密頓系統(tǒng)的KAM理論的工作，是他給所有二年級(jí)本科生必修練習(xí)的副產(chǎn)品。其中一個(gè)問(wèn)題是研究某些非平凡完全可積的系統(tǒng)（如重粒子沿著水平旋轉(zhuǎn)環(huán)面的運(yùn)動(dòng)）。當(dāng)時(shí)沒有電腦可用！他觀察到，所有那些經(jīng)典例子中的運(yùn)動(dòng)都是準(zhǔn)周期性的，并試圖在不可積的擾動(dòng)系統(tǒng)中找到更復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)（“混合”（mixing），或用今天的語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，“混沌”（chaos））的例子。
他的嘗試沒有成功。促使他研究的這個(gè)問(wèn)題仍然是懸而未決的——沒有人能夠在一般受擾動(dòng)的系統(tǒng)中找到攜帶混合流的不變環(huán)面。然而，這項(xiàng)工作的副產(chǎn)品遠(yuǎn)比最初關(guān)于混合的技術(shù)性問(wèn)題更重要。人們發(fā)現(xiàn)了持久性非共振環(huán)面（persistent nonresonant tori），“加速收斂”（accelerated convergence）方法和函數(shù)空間中相關(guān)的隱函數(shù)定理，許多哈密頓系統(tǒng)（例如陀螺儀和行星軌道）中運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的證明，以及托卡馬克幾何（Tokamak geometry）中存在磁性表面的證明，后者用于研究受控?zé)岷司圩兊牡入x子體約束。
研究的結(jié)果比原來(lái)的問(wèn)題更重要，這是一個(gè)普遍現(xiàn)象。哥倫布最初的目標(biāo)是找到一條通往印度的新路。新大陸的發(fā)現(xiàn)只是一個(gè)副產(chǎn)品。
我在力學(xué)數(shù)學(xué)系讀書時(shí)，龐特里亞金已經(jīng)非常虛弱，但他也許是最好的講師。他剛剛從拓?fù)淅碚撧D(zhuǎn)向控制理論，他的性格也發(fā)生了很大的變化。他后來(lái)在《俄羅斯數(shù)學(xué)調(diào)查》（Russian Mathematical Surveys）[注18]上發(fā)表的自傳中解釋了他轉(zhuǎn)向應(yīng)用數(shù)學(xué)的原因和他的反猶太主義思想。當(dāng)他向編輯委員會(huì)提交這篇文章時(shí)，克格勃（蘇聯(lián)國(guó)家安全委員會(huì)，KGB）代表建議不要按原文出版，因?yàn)槠溆^點(diǎn)過(guò)于開放。我倒希望以原文出版，現(xiàn)在你找到的都是加工潤(rùn)色過(guò)的了。有些人聲稱，他的反猶太主義可能只是一種恐懼的表現(xiàn)，因?yàn)樗赡苡胁糠知q太血統(tǒng)，而擔(dān)心會(huì)被發(fā)現(xiàn)。
然而，龐特里亞金并不總是這樣！在戰(zhàn)爭(zhēng)期間，他最好的學(xué)生羅克林被德國(guó)人打傷并監(jiān)禁。后來(lái)，羅克林被美國(guó)人解放，他回到蘇聯(lián)，繼續(xù)在戰(zhàn)爭(zhēng)中的蘇軍部隊(duì)服役。有一天，當(dāng)他把一名被俘的德國(guó)軍官移交上級(jí)時(shí)，遇到了一個(gè)醉酒的克格勃軍官，他想立即開槍打死這名德國(guó)軍官。羅克林表示反對(duì)。幸運(yùn)的是，羅克林被他的上級(jí)救了下來(lái)，上級(jí)立即把他調(diào)到了另一個(gè)團(tuán)。然而最終，羅克林和所有被盟軍從德國(guó)集中營(yíng)中救出的人一樣，被送到了俄羅斯北部的古拉格勞改營(yíng)。
幾個(gè)月后，一個(gè)從勞改營(yíng)中解放出來(lái)的人來(lái)到莫斯科，他告訴龐特里亞金，羅克林還活著，但在營(yíng)中挨餓，已經(jīng)奄奄一息。龐特里亞金在柯爾莫哥洛夫、亞歷山德羅夫等人的幫助下，給克格勃領(lǐng)導(dǎo)人貝利亞（Beria）寫了一封信，要求羅克林應(yīng)該立即被釋放，因?yàn)樗撬麄兡且淮钣胁湃A的數(shù)學(xué)家。貝利亞簽署了釋放羅克林的命令，羅克林隨后獲得了一挺機(jī)槍，成了那個(gè)勞改營(yíng)的警衛(wèi)。龐特里亞金等人給貝利亞寫了第二封信，羅克林最終得以返回莫斯科。
羅克林丨圖片來(lái)源：wiki
羅克林從古拉格勞改營(yíng)回來(lái)后，無(wú)權(quán)獲得莫斯科的居民許可 （propiska）。（Propiska是俄語(yǔ)，意思是僅可在特定地區(qū)生活——一個(gè)人不能自由地生活在其他地方。每個(gè)人都要Propiska?。嬏乩飦喗鹜耆?，有權(quán)在莫斯科斯捷克洛夫研究所聘請(qǐng)一名私人秘書。他勇敢地把這個(gè)職位給了羅克林。羅克林后來(lái)成為蘇聯(lián)在拓?fù)鋵W(xué)和動(dòng)力系統(tǒng)方面的領(lǐng)袖數(shù)學(xué)家之一。羅克林對(duì)年輕一代的數(shù)學(xué)家（如諾維科夫、西奈、阿諾索夫和我）有很大的影響，他后來(lái)在圣彼得堡創(chuàng)建了一所非常重要的數(shù)學(xué)學(xué)院[注19]。他的一些杰出學(xué)生包括維爾?？耍╒ershik）[注20]、格羅莫夫（Gromov）[注21]、伊利亞什伯格（Eliashberg）[注22]、維羅（Viro）[注23]，舒斯汀（Eugenii Shustin），圖拉耶夫（Turaev）[注24]和哈拉莫夫（Kharlamov）[注25]。六十年代我在一次莫斯科舉行的研討會(huì)上見到了他。他從一百英里外來(lái)到莫斯科，他只能住在那里。
羅克林是猶太血統(tǒng)，通過(guò)假裝自己是穆斯林在德國(guó)戰(zhàn)俘營(yíng)中幸存下來(lái)。事實(shí)上，他出生在阿塞拜疆的巴庫(kù)。對(duì)龐特里亞金來(lái)說(shuō)，為幫助羅克林而去找貝利亞是冒了極大風(fēng)險(xiǎn)的。即使在龐特里亞金成了反猶太人的積極分子以后，他對(duì)羅克林的評(píng)價(jià)依舊很高。我和龐特里亞金的私交很好。他邀請(qǐng)我去他家做客、參加他的學(xué)術(shù)講座，他對(duì)我的研究真的非常感興趣，特別是奇點(diǎn)理論（Singularity Theory）。部分原因是我們?cè)谖⒎滞負(fù)洹⒖刂普摵筒┺恼摲矫娴墓餐d趣，還一個(gè)重要的原因，他想在國(guó)際會(huì)議上反對(duì)我。龐特里亞金當(dāng)時(shí)是國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟（IMU）的蘇聯(lián)代表，他極力阻撓數(shù)學(xué)會(huì)選舉持不同政見的蘇聯(lián)學(xué)者。（我被列入黑名單，因?yàn)槲液推渌?9名數(shù)學(xué)家簽署了一封信，抗議一位完全健康的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家被關(guān)進(jìn)精神病院。這是消滅持異議分子的一貫手段。）IMU一直非常政治化，所以他得逞了。在龐特里亞金的回憶中，他透露有不少IMU官員表達(dá)過(guò)他們互相批斗的想法。我真想知道他們的名字。巧合的是，我現(xiàn)在處于他以前的位置，是俄羅斯在國(guó)際數(shù)學(xué)聯(lián)盟的代表。
彼得羅夫斯基當(dāng)時(shí)是大學(xué)校長(zhǎng)，他常在學(xué)術(shù)講座前與羅克林在電梯里相見。我覺得他被人看見和羅克林在一起是挺危險(xiǎn)的。當(dāng)時(shí)彼得羅夫斯基的學(xué)術(shù)不再活躍，但是他對(duì)莫斯科數(shù)學(xué)界是極為重要的，他總是為了支持真正的數(shù)學(xué)家們而與共產(chǎn)黨官僚們進(jìn)行艱難的抗?fàn)帯?/p>
他的數(shù)學(xué)品味相當(dāng)古典，更多基于意大利學(xué)派的代數(shù)幾何而非集合論。邁克爾·阿提亞爵士（Michael Atiyah）曾經(jīng)告訴我，彼得羅夫斯基在其關(guān)于微分方程的著作中處理代數(shù)幾何的方式，總是令他感到興奮。其中一篇關(guān)于雙曲偏微分方程空隙（the lacunas of hyperbolic PDEs）的論文，后來(lái)被阿提亞、博特（Raoul Bott）[注26]和加?。↙ars G?rding）[注27]用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)改寫為兩篇長(zhǎng)論文，發(fā)表在《數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)》（Acta Mathematica）上。這是對(duì)一眾所周知的事實(shí)的深遠(yuǎn)概述——在偶數(shù)維空間中（例如，在“平面”世界）不可能進(jìn)行聲學(xué)通信，而在我們的三維世界中，這很容易進(jìn)行。有趣的是，在這篇論文中，彼得羅夫斯基證明了代數(shù)簇的補(bǔ)的上同調(diào)類可以用有理微分形式表示，這個(gè)結(jié)果通常被歸功于格羅滕迪克（Alexander Grothendieck）。
彼得羅夫斯基（在1933年和1938年）關(guān)于實(shí)代數(shù)幾何的工作（與關(guān)于實(shí)的平面代數(shù)曲線形狀的希爾伯特第16問(wèn)題有關(guān)）開創(chuàng)了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支——實(shí)代數(shù)簇的拓?fù)?。這一理論的結(jié)果（例如，用方程的次數(shù)表示的Betti數(shù)的界）在許多數(shù)學(xué)分支中都非常有用，包括復(fù)雜性理論。例如，霍萬(wàn)斯基（Khovanskii）[注28]在其Fewnomial理論[注29]，斯梅爾（StephenSmale）[注30]在“實(shí)的P-NP”問(wèn)題研究中，都應(yīng)用了這個(gè)理論。在西方，這些結(jié)果通常被認(rèn)為屬于托姆（Thom）[注31]和米爾諾（Milnor）[注32]1965年的工作，而彼得羅夫斯基和他的學(xué)生奧萊尼克（Oleinik）[注33]在四十年代發(fā)表的論文包含了更好的估計(jì)（順便說(shuō)一下，托姆和米爾諾引用了這些結(jié)果）。這是極為常見的情況——在當(dāng)今的求職者中，很容易忽略引用俄羅斯的基礎(chǔ)論文。
彼得羅夫斯基從來(lái)就不是蘇共黨員，這是大多數(shù)共蘇聯(lián)共產(chǎn)黨人所不知道的。他的影響力很大，部分原因是他與以前學(xué)生的私人關(guān)系，他們?cè)谔K聯(lián)的官僚系統(tǒng)中獲得了非常高的職位。彼得羅夫斯基當(dāng)選為蘇聯(lián)最高蘇維埃主席團(tuán)的成員，這是蘇聯(lián)的“集體領(lǐng)袖”。他在一次支持基礎(chǔ)科學(xué)的會(huì)議上進(jìn)行了長(zhǎng)久斗爭(zhēng)后，因心臟病發(fā)作倒在了莫斯科的黨中央大樓門口。最后一句話是“我贏了?！?/p>
在他去世后，蘇共和克格勃花了20年的時(shí)間來(lái)摧毀他在力學(xué)數(shù)學(xué)系建立起的數(shù)學(xué)中心。當(dāng)局停止聘用優(yōu)秀的人才擔(dān)任教職，到今天他們也差不多終于毀掉了這個(gè)中心。
Lui：能告訴我們您教授本科生和指導(dǎo)研究生的理念嗎？您在俄羅斯和法國(guó)有多少研究生？
阿諾德：在我指導(dǎo)下進(jìn)行博士論文答辨的有40個(gè)左右。由于幾個(gè)原因，我不能給出確切的數(shù)字。在“停滯時(shí)期”，我不能在莫斯科大學(xué)指導(dǎo)外國(guó)研究生，因?yàn)槲也皇翘K共黨員。留學(xué)生仍然跟著我做研究，但名義上的導(dǎo)師是一些友好的黨員，他們還因此拿了津貼。有些研究生有其他導(dǎo)師，但他們的論文源于我的研討班上的主題，實(shí)際上是我的學(xué)生。比如S. M. Gusein-Zade、Yu. Ilyashenko以及A. I. Neistadt。目前，我在莫斯科有兩個(gè)本科生和三個(gè)研究生，在巴黎有四個(gè)研究生。還有兩三個(gè)計(jì)劃從一月份開始。
我從學(xué)生，尤其是本科生身上，學(xué)到了很多東西。我從不給學(xué)生布置論文題目，那簡(jiǎn)直像包辦婚姻一樣。我只是向他們展示已知的和未知的。
我在莫斯科的學(xué)術(shù)講座大約有三十位數(shù)學(xué)家參加，多數(shù)是我以前的研究生，也一直有其他人，即使我在國(guó)外，講座也照常舉行。這個(gè)講座延續(xù)了大概30年了，不同時(shí)期的參加者有西奈，阿列克謝耶夫，諾維科夫，孔采維奇（Kontsevich）[注34]，貢恰羅夫（Goncharov）[注35]、富克斯（D. B. Fuchs）[注36]、秋琳娜（G. Tjurina）[注37]、秋林（A. Tjurin）[注38]等。
莫斯科的生活非常艱苦，多數(shù)學(xué)生除了做研究外還不得不想辦法掙錢謀生。有些人開始自己創(chuàng)業(yè)，但莫斯科犯罪率很高，自己開公司做生意還有性命之虞。我在莫斯科的一個(gè)研究生剛剛完成論文，還沒來(lái)得及答辨，幾周前失蹤了。我們懷疑他是否還活著。
Lui：你有崇拜的數(shù)學(xué)人物嗎？
阿諾德：我要提到巴羅（Isaac Barrow）、牛頓（然而，他是一個(gè)非常不討人喜歡的人——參見我的書《惠更斯與巴羅、牛頓與胡克》（Huygens and Barrow, Newton and Hooke），Birkh?user出版社 1990年版）、黎曼（Bernhard Riemann），龐加萊（Henri Poincaré）、閔可夫斯基（Hermann Minkowski）、外爾（Hermann Weyl）、柯爾莫哥洛夫，惠特尼（H. Whitney）[注39]，托姆、斯梅爾和米爾諾。有一半的數(shù)學(xué)家是我從克萊因（Christian Felix Klein）的《數(shù)學(xué)在19世紀(jì)的發(fā)展》（Vorlesungen über die Entwicklung der Mathematik im 19）一書中了解的。我從許多數(shù)學(xué)家那里學(xué)到很多，比如蓋爾范德、羅克林、諾維科夫、德利涅（P. Deligne）[注40]和富克斯；也從學(xué)生那里學(xué)到很多，比如霍萬(wàn)斯基、涅霍羅舍夫（Nekhoroshev）[注41]、 瓦爾琴科（Varchenko）[注42]、扎卡爾尤金（Zakalykin）[注43]、瓦西里耶夫（Vassiliev）[注44]、紀(jì)梵塔爾（Gievental）[注45]、戈柳諾夫（Goryunov）[注46]、謝爾巴科夫（O. Scherbak）、契卡諾夫（Yuri Vitalievich Chekanov）和卡扎里安（Maxim Eduardovich Kazarian）。
我深深地感激托姆，他在高等科學(xué)研究所（Institut des Hautes études Scientifiques，IHéS）舉辦的奇點(diǎn)研討班，整個(gè)1965年我?guī)缀跞虆⒓?，這個(gè)研討班深刻地改變了我的數(shù)學(xué)觀。托姆討論數(shù)學(xué)的方式總是令我感到很愉悅，他使用的句子顯然沒有嚴(yán)格的邏輯意義。盡管我從未完全擺脫邏輯的束縛，但一直以來(lái)都被不負(fù)責(zé)任的、沒有確切意義的數(shù)學(xué)思辨之夢(mèng)所毒害?！叭藗兛偰苷业奖康皝?lái)證明定理”，根據(jù)托姆的學(xué)生的說(shuō)法，這就是他的理念。
米爾諾1961年在列寧格勒關(guān)于球面微分結(jié)構(gòu)的演講，給我的導(dǎo)師柯爾莫哥洛夫留下了深刻的印象，以至于他建議我把那些內(nèi)容放在我的研究生課程中。這迫使我向諾維科夫，富克斯和羅克林學(xué)習(xí)微分拓?fù)?。這派上了用場(chǎng)，因?yàn)橐荒旰螅页蔀橹Z維科夫關(guān)于球面的乘積的微分結(jié)構(gòu)的論文答辯評(píng)委之一。
斯梅爾是我1961年來(lái)到莫斯科時(shí)遇到的第一批外國(guó)數(shù)學(xué)家之一。他在動(dòng)力系統(tǒng)方面的研究，對(duì)俄羅斯以及對(duì)我個(gè)人的影響都是極大的。
Lui：您注意到不同文化背景的人研究數(shù)學(xué)的方式有什么不同嗎？
阿諾德：多年來(lái)我一直沒有意識(shí)到這些差異，但差異確實(shí)存在。幾年前，我參加了在華盛頓特區(qū)舉行的國(guó)際科學(xué)活動(dòng)基金會(huì)（ISF）會(huì)議，該組織向俄羅斯科學(xué)家提供資助。一名美國(guó)與會(huì)者建議支持一些俄羅斯數(shù)學(xué)家，因?yàn)椤八墓ぷ骱苡忻朗斤L(fēng)格”。我大為不解，并請(qǐng)他解釋一下。“哦，”那個(gè)美國(guó)人回答說(shuō)，“這意味著他經(jīng)常出差，在各種會(huì)議上展示他的最新研究成果，并且讓這一領(lǐng)域的所有專家都認(rèn)識(shí)他?！倍业挠^點(diǎn)是，ISF應(yīng)該更好地支持那些更有俄羅斯風(fēng)格工作的人，即坐在家里努力證明基本定理，這些定理將是數(shù)學(xué)的永恒基石！
俄羅斯人的工資太低了（現(xiàn)在和過(guò)去都是），如果有人要從事數(shù)學(xué)研究，對(duì)他來(lái)說(shuō)就這意味著數(shù)學(xué)是他的目標(biāo)，而不是賺錢的手段。只要簡(jiǎn)單地改寫西方所不知道的俄羅斯古典成就和思想（或?qū)⑺鼈儸F(xiàn)代化），仍然有可能在西方數(shù)學(xué)界獲得很高的聲譽(yù)。
俄羅斯人對(duì)待知識(shí)、科學(xué)和數(shù)學(xué)的態(tài)度始終符合俄羅斯知識(shí)分子（intelligentsiya）的古老傳統(tǒng)。這個(gè)詞在其他語(yǔ)言中是不存在的，因?yàn)闆]有其他國(guó)家有類似的學(xué)者階層，醫(yī)生、藝術(shù)家、教師等等，他們對(duì)社會(huì)貢獻(xiàn)所獲得的回報(bào)，會(huì)遠(yuǎn)多于個(gè)人或金錢的利益。
我的朋友維爾?？嗽诎屠瑁罱胍k美國(guó)簽證?！澳阍谑ケ说帽さ男剿嵌嗌?？”美國(guó)領(lǐng)事館的工作人員問(wèn)道。在聽到他誠(chéng)實(shí)的回答后，工作人員又問(wèn)：“就這點(diǎn)工資，你還想說(shuō)服我們你會(huì)回到圣彼得堡嗎？”維爾?？嘶卮鹫f(shuō)：“當(dāng)然。錢不是全部！”工作人員非常震驚，維爾?？穗S即獲得了簽證。
一周前我也在申請(qǐng)簽證，他們把我放在等候名單上，要等上三周。理由是我的論文必須在華盛頓接受檢查，因?yàn)槲沂恰绑H子”。我要求解釋?！班?，”他們回答說(shuō)，“每次罪行都有這樣的名字：狗、貓、老虎、駱駝等等?！彼麄兘o我看了名單，“驢子”是一位俄羅斯科學(xué)家的代號(hào)。
俄羅斯數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的另一個(gè)特點(diǎn)是傾向于將所有數(shù)學(xué)視為一個(gè)活的有機(jī)體。在西方，一個(gè)人很有可能成為數(shù)學(xué)模5的專家，而對(duì)數(shù)學(xué)模7一無(wú)所知[注47]。就研究的廣度來(lái)說(shuō)，涉獵廣泛在西方被認(rèn)為是負(fù)面的，反之領(lǐng)域狹窄則在俄羅斯不可接受，程度上兩者相當(dāng)。
法國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)派輝煌了好幾個(gè)世紀(jì)，直到勒雷（Jean Leray）、亨利·嘉當(dāng)（Henri Paul Cartan）、塞爾（Jean-Pierre Serre）、托姆和瑟夫（Jean Cerf）等偉大深刻的工作。布爾巴基學(xué)派（Bourbakists）聲稱所有偉大的數(shù)學(xué)家——用狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）的話來(lái)講——是“用清晰的思想代替盲目的計(jì)算”。布爾巴基宣言中的這句話，翻譯成俄語(yǔ)變成了“用盲目的計(jì)算代替清晰的思想”。譯審是柯爾莫哥洛夫，他精通法語(yǔ)。我發(fā)現(xiàn)這一錯(cuò)誤后大吃一驚，就去找柯爾莫哥洛夫討論。他答道：我不覺得翻譯有什么問(wèn)題，翻譯把布爾巴基風(fēng)格描述得比他們自己說(shuō)的更準(zhǔn)確。遺憾的是，龐加萊（Henri Poincaré）沒在法國(guó)創(chuàng)建一個(gè)學(xué)派。
法國(guó)科學(xué)院最近的一場(chǎng)討論，是體現(xiàn)法國(guó)學(xué)術(shù)界觀念狹隘的一個(gè)典型例子。格羅莫夫多年來(lái)是外籍院士，但他最近加入了法國(guó)國(guó)籍因此不再是外籍院士。問(wèn)題是要把他轉(zhuǎn)成一般的院士。法國(guó)數(shù)學(xué)家們卻對(duì)此反對(duì)，聲稱“這些位置是給真正的法國(guó)人的！”。在我看來(lái)，所有是“真正法國(guó)人”的候選者的水平遠(yuǎn)遠(yuǎn)不及格羅莫夫，他是世界頂尖數(shù)學(xué)家之一。最后，格羅莫夫還是沒當(dāng)上院士。
在法國(guó)教書非常困難，因?yàn)閷W(xué)生們接受了布爾巴基公式化的訓(xùn)練。例如，在巴黎第九大學(xué)四年級(jí)學(xué)生的動(dòng)力系統(tǒng)筆試中，一個(gè)問(wèn)題是找到相平面上哈密頓方程組解的極限，此相平面從某個(gè)給定的初始點(diǎn)出發(fā)，時(shí)間趨于無(wú)窮大。解法是把初始點(diǎn)選在一鞍點(diǎn)的分離線（separatrix）上，極限就是鞍點(diǎn)。
準(zhǔn)備考試題時(shí)，我犯了一個(gè)計(jì)算錯(cuò)誤，相曲線（含初始點(diǎn)的能量級(jí)曲線）變成了一個(gè)閉合橢圓而不是一條分離線。學(xué)生們發(fā)現(xiàn)了這一點(diǎn)，并得出結(jié)論：存在一個(gè)有限的時(shí)間T，在該時(shí)刻，解返回到初始點(diǎn)。利用唯一性定理，他們可以推導(dǎo)出對(duì)于任意正整數(shù)n，解在nT時(shí)刻的值還是初始點(diǎn)。然后得出的結(jié)論是：由于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)刻的極限與任何趨于無(wú)窮遠(yuǎn)時(shí)刻的時(shí)間子序列的極限重合，因此極限等于初始點(diǎn)！這個(gè)解答是由坐在考試大廳不同位置的幾個(gè)優(yōu)等生獨(dú)立給出的。在所有這些推理中，沒有邏輯錯(cuò)誤。這確實(shí)是一個(gè)正確的推算，也能用計(jì)算機(jī)得到相同結(jié)果。但顯然，解題者根本什么都不懂?？梢韵胂蟛紶柊突鶎W(xué)派對(duì)學(xué)生施加了多么可怕的壓力，把（顯然并不笨的）學(xué)生變成了推理機(jī)器！這種公式化的教育對(duì)于任何實(shí)際問(wèn)題都是完全無(wú)用的，甚至是危險(xiǎn)的，會(huì)導(dǎo)致切爾諾貝利式的悲劇。糟糕的是，這種公式化的教育瘟疫正在很多國(guó)家蔓延，受其感染的數(shù)學(xué)前景不容樂(lè)觀。
美國(guó)則面臨著另一種危險(xiǎn)。沒有一個(gè)俄羅斯教授能夠正確解答美國(guó)研究生入學(xué)考試（GRE）中的問(wèn)題。在下面三組中選出與[角度angle，度數(shù)degree]最接近的一組：[時(shí)間time，小時(shí)hour]；[面積area，平方英寸square inch]和[牛奶milk，夸脫quart]。每個(gè)美國(guó)人都會(huì)立即給出正確答案。官方的正確答案是[面積，平方英寸]，解釋是：1度是角度的最小單位，1平方英寸是面積的最小單位，而1小時(shí)包含很多分，1夸脫包含2品脫。我一直很奇怪怎么可能會(huì)有這么多的美國(guó)人克服了如此的困難而成為大數(shù)學(xué)家的。紐約一位成功解決了這個(gè)問(wèn)題的物理學(xué)家告訴我，他有一個(gè)準(zhǔn)確描述這些出題者愚蠢程度的模型。
惠特尼告訴我，一次針對(duì)14歲在校學(xué)生的全國(guó)范圍測(cè)試中，一道關(guān)于數(shù)字80的120%是大于、小于，還是等于80的問(wèn)題，只有30%的學(xué)生得到了正確答案。進(jìn)行測(cè)試的人認(rèn)為30%的學(xué)齡兒童理解百分比。然而，惠特尼向我解釋說(shuō)，就整體樣本而言，真正理解的人數(shù)可以忽略不計(jì)。由于有三種可能的答案，因此正確隨機(jī)選擇的統(tǒng)計(jì)預(yù)測(cè)為33%，還有5%的誤差。
最近，就連美國(guó)國(guó)家科學(xué)院也決定應(yīng)該加強(qiáng)美國(guó)的科學(xué)教育。他們建議從課程中刪除對(duì)美國(guó)孩子來(lái)說(shuō)太難的、不必要的科學(xué)事實(shí)，代之以真正基礎(chǔ)的、初級(jí)的知識(shí)，如所有物體都有屬性，所有的生命都有天性！（參見Nature 372:5606 December 8, 1994.[注48]） 毫無(wú)疑問(wèn)，他們會(huì)在這方面走得很遠(yuǎn)！兩年前，我在《今日美國(guó)》（USA Today）上讀到，美國(guó)父母為不同年齡段的孩子列出了一份真正必要的知識(shí)清單。在十歲時(shí)，他們必須知道水有兩種狀態(tài)，而在十五歲時(shí)，要知道月亮有不同的月相并繞地球旋轉(zhuǎn)。在俄羅斯，我們?cè)谛W(xué)低年級(jí)[注49]里就教孩子們水有三個(gè)狀態(tài)，但在短期來(lái)看，新興的美式文化無(wú)疑會(huì)取得勝利。不過(guò)在自由的美國(guó)體系中，有一些顯著的優(yōu)勢(shì)，比如說(shuō)，高中生可以選修爵士樂(lè)歷史的課程，而不是代數(shù)。
惠特尼去世前幾個(gè)月，仍然活躍在普林斯頓高等研究院，并向我講述了他數(shù)學(xué)研究的故事。他原是耶魯大學(xué)小提琴專業(yè)的本科生，第二年，他被送到歐洲最好的音樂(lè)中心之一。遺憾的是，我忘了是哪個(gè)城市了，但可以肯定，它離阿爾卑斯山不遠(yuǎn)，因?yàn)樗呀?jīng)是一個(gè)登山運(yùn)動(dòng)員了。在那里，學(xué)生必須通過(guò)一門和自己專業(yè)不同的科目的考試?；萏啬釂?wèn)他的同學(xué)當(dāng)時(shí)最流行的科目是什么，他們告訴他是量子力學(xué)。第一節(jié)量子力學(xué)課后，他這么問(wèn)那位著名的授課老師（泡利？薛定諤？或是索末菲？），“親愛的教授先生，好像您講的課有點(diǎn)不對(duì)勁兒，我是耶魯最好的學(xué)生，可您的課我還是一個(gè)字也聽不懂?！痹诘弥萏啬崾且魳?lè)專業(yè)后，老師很有禮貌地回答說(shuō)：“這是因?yàn)槟阈枰恍┍尘爸R(shí)，比如微積分和線性代數(shù)?！被萏啬嵴f(shuō)：“那好，我希望這些不像你的課那么新，應(yīng)該有人寫過(guò)一些教科書吧?！笔谡n老師指點(diǎn)了幾本教材給惠特尼。（請(qǐng)知情者告我此事發(fā)生的地點(diǎn)，這位教授的名號(hào)，以及這幾本書的名字，先此致謝?。┗萏啬釋?duì)我說(shuō)：“三個(gè)星期后，我能聽懂他的課了，學(xué)期末我從音樂(lè)專業(yè)轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)。”
柯爾莫哥羅夫一開始也不是學(xué)數(shù)學(xué)的——他研究的是歷史。他的第一篇論文寫于他17歲時(shí)，在莫斯科大學(xué)由巴赫羅欣（Bakhrushin）[注50]組織的一次研討會(huì)上發(fā)表?？聽柲缌_夫根據(jù)對(duì)諾夫哥羅德（Novgorod）[注51]中世紀(jì)稅收記錄的分析得出了一些結(jié)論。講話結(jié)束后，柯爾莫哥羅夫問(wèn)巴赫羅欣是否同意這些結(jié)論?！澳贻p人，”教授說(shuō)，“在歷史學(xué)中，你至少需要五個(gè)證據(jù)才能得出一個(gè)結(jié)論。”第二天，柯爾莫哥洛夫就轉(zhuǎn)到了數(shù)學(xué)系。在他去世后，這篇論文從檔案中被找出來(lái)重新出版，歷史學(xué)家認(rèn)為他的結(jié)論是對(duì)的。
Lui: 能談一下關(guān)于純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的看法嗎？
阿諾德：根據(jù)路易斯·巴斯德（Louis Pasteur）的說(shuō)法，不存在應(yīng)用科學(xué)——存在的是科學(xué)的應(yīng)用。純數(shù)學(xué)家和理論物理學(xué)家對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)界的普遍看法是，應(yīng)用數(shù)學(xué)家由無(wú)力的思考者組成，他們無(wú)法得出科學(xué)上重要的東西，還有一些人對(duì)金錢比對(duì)數(shù)學(xué)更感興趣。我不認(rèn)為應(yīng)用數(shù)學(xué)界完全匹配這種特性，參見我的文章《應(yīng)用數(shù)學(xué)的歉意》（Apology of applied mathematics，發(fā)表于1996年Russian Mathematical Surveys）。此文總結(jié)了我在1995年7月漢堡工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)國(guó)際會(huì)議開幕式上的演講。我認(rèn)為純粹數(shù)學(xué)和應(yīng)用數(shù)學(xué)的區(qū)別在于社會(huì)而非科學(xué)。純數(shù)學(xué)家因數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)而獲得報(bào)酬，應(yīng)用數(shù)學(xué)家則因解決特定問(wèn)題而獲得報(bào)酬。
當(dāng)哥倫布揚(yáng)帆起航時(shí)，他就像一個(gè)應(yīng)用數(shù)學(xué)家，尋求一個(gè)具體問(wèn)題的解決方案：找到去印度的路。新大陸的發(fā)現(xiàn)可以比作為純數(shù)學(xué)家的貢獻(xiàn)。我不認(rèn)為伽利略的發(fā)現(xiàn)（他立即以美式的商業(yè)化風(fēng)格利用其成果）不如純粹哲學(xué)家帕斯卡的那些重要。真正的危險(xiǎn)不是應(yīng)用數(shù)學(xué)家那幫人本身，而是由數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育的形式化（我認(rèn)為這就是犯罪）造成的純粹數(shù)學(xué)與科學(xué)的分離。希爾伯特-布爾巴基（Hilbert-Bourbaki）的公理演繹式數(shù)學(xué)闡述在本世紀(jì)上半葉占主導(dǎo)地位，幸運(yùn)的是，現(xiàn)在正讓位于龐加萊式幾何數(shù)學(xué)的統(tǒng)一趨勢(shì)，它將深刻的理論洞察力與現(xiàn)實(shí)世界的應(yīng)用相結(jié)合。
順便說(shuō)一下，我在最近的一本美國(guó)書中讀到，幾何是一種不會(huì)在冗長(zhǎng)計(jì)算中犯錯(cuò)誤的藝術(shù)。我認(rèn)為這是對(duì)幾何學(xué)的低估。
我們的大腦有兩個(gè)半球:一個(gè)負(fù)責(zé)多項(xiàng)式的計(jì)算和語(yǔ)言，另一個(gè)負(fù)責(zé)圖形在空間中的定位和現(xiàn)實(shí)生活中所有重要的事情。當(dāng)我們同時(shí)利用兩個(gè)半球時(shí)，數(shù)學(xué)就是幾何。可以參看“The geometry of formulae” by A. G.Khovanskii in the Soviet Sci. Rev. Sect. C: Math.Phys. Rev. V4 (1984)。
編者注：在本文付印時(shí)，阿諾德根據(jù)隨后的通信和事件，提交了一份采訪的新改版。但編輯部收到過(guò)晚，不能列入文章中。
譯者注
[1] 彼得羅夫斯基（Ivan Georgievich Petrovsky，1901-1973），蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，偏微分方程專家。
[2] 柯爾莫哥洛夫（Andrey Nikolayevich Kolmogorov，1903-1987），20世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。在現(xiàn)代數(shù)學(xué)眾多分支有重要影響，特別是在調(diào)和分析，概率論、集合論，信息論，數(shù)論，拓?fù)鋵W(xué)方面做出了重大貢獻(xiàn)。
[3] 列夫·龐特里亞金（Lev Semyonovich Pontryagin，1908-1988），蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，在拓?fù)?，代?shù)，動(dòng)力系統(tǒng)方面有重大貢獻(xiàn)。
[4] 羅克林（Vladimir Abramovich Rokhlin，1919-1984），蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家，在代數(shù)拓?fù)?，幾何方面有重大貢獻(xiàn)。
[5] 蓋爾范德（Israil Moiseevic Gelfand，1913-2009），柯爾莫哥洛夫的學(xué)生，在群論、表示論、泛函分析等多個(gè)領(lǐng)域做出重大貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)教育方面極有影響。
[6] 彼得·諾維科夫（Pyotr Sergeevich Novikov，1901-1975），集合論、數(shù)理邏輯、算法理論群論專家。
[7] 安德烈·馬爾可夫（Andrey Andreevich Markov，1903-1979），俄羅斯著名數(shù)學(xué)家安德烈·馬爾可夫（Andrey Andreyevich Markov，1856–1922）的兒子，主要研究拓?fù)鋵W(xué)、拓?fù)浯鷶?shù)、動(dòng)力系統(tǒng)、算法理論和構(gòu)造性數(shù)學(xué)。他證明了拓?fù)鋵W(xué)中同胚問(wèn)題的不可判定性，引入了正規(guī)算法的概念。
[8] 格爾豐德（Aleksandr Osipovich Gelfond，1906-1968），他深刻地發(fā)展了超越數(shù)論和復(fù)變函數(shù)的插值理論和逼近理論，并解決了希爾伯特第7問(wèn)題。
[9] 柳斯特尼克（Lasar'Aronovich Lusternik，1899-1981），泛函分析領(lǐng)域?qū)＜摇?/p>
[10] 亞歷山大·辛欽（Aleksandr Yakovlevich Khinchin，1894-1959），蘇聯(lián)概率論學(xué)派主要數(shù)學(xué)家之一，數(shù)論、概率論和統(tǒng)計(jì)物理方面都有杰出貢獻(xiàn)。
[11] 帕維爾·亞歷山德羅夫（Pavel Sergeyevich Alexandrov，1896-1982），在集合論和拓?fù)鋵W(xué)方面有杰出貢獻(xiàn)，其編寫的教材影響深遠(yuǎn)。
[12] 尤里·馬寧（Yuri Ivanovich Manin，1937-），非交換代數(shù)幾何奠基人之一，在微分方程、數(shù)論、范疇論和物理學(xué)方面有杰出貢獻(xiàn)，也是最早提出量子計(jì)算理論的數(shù)學(xué)家之一。
[13] 雅科夫·西奈（Yakov Grigorevich Sinai，1935-），俄裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家，柯爾莫哥洛夫的學(xué)生，主要從事動(dòng)力系統(tǒng)理論、遍歷理論和數(shù)學(xué)物理研究，2014年獲得阿貝爾獎(jiǎng)。
[14] 謝爾蓋·諾維科夫（Sergei Petrovich Novikov，1938-），彼得·諾維科夫的兒子，以代數(shù)拓?fù)浜凸伦永碚摲矫婀ぷ鞫劽瑥V義相對(duì)論、量子場(chǎng)論等方面也有建樹。1970年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者，2005年獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。
[15] 弗拉基米爾·阿列克謝耶夫（Vladimir Mikhailovich Alekseev，1932-1980），柯爾莫哥洛夫的學(xué)生，動(dòng)力系統(tǒng)理論專家。
[16] 阿諾索夫（Dmitrii Viktorovich Anosov，1936-2014），龐特里亞金的學(xué)生，動(dòng)力系統(tǒng)理論研究專家。
[17] 亞歷山大·基里洛夫（Alexandre Aleksandrovich Kirillov，1936-），蓋爾范德的學(xué)生，在表示論、拓?fù)淙汉屠钊旱阮I(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)。
[18] 《俄羅斯數(shù)學(xué)調(diào)查》是俄羅斯雙月刊Uspekhi Matematicheskikh Nauk的英文譯本，創(chuàng)刊于1936年。
[19] 即俄羅斯科學(xué)院斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所圣彼得堡分所（St.Petersburg Department of SteklovInstitute of Mathematics of the Russian Academy of Sciences）。
[20] 維?？耍ˋnatoly Moiseevich Vershik，1933-），研究表示論、動(dòng)力系統(tǒng)、遍歷理論、幾何學(xué)等多個(gè)領(lǐng)域有貢獻(xiàn)。他最著名的工作是無(wú)限對(duì)稱群的表示，并將它應(yīng)用到最長(zhǎng)遞增子序列。
[21] 格莫洛夫（Mikhail Gromov，1943-），俄裔法籍?dāng)?shù)學(xué)家，在黎曼幾何、辛幾何、代數(shù)拓?fù)鋵W(xué)、集合幾何群論和微分方程等領(lǐng)域有杰出貢獻(xiàn)。1993年獲沃爾夫獎(jiǎng)，2009年獲阿貝爾獎(jiǎng)。
[22] 伊利亞什伯格（Yakov Eliashberg，1946-），辛拓?fù)渑c切觸拓?fù)涞膭?chuàng)始人之一，2020年獲沃爾夫獎(jiǎng)。
[23] 維羅（OlegYanovich Viro，1948-），拓?fù)渑c代數(shù)幾何專家，尤其擅長(zhǎng)實(shí)代數(shù)幾何，熱帶幾何與扭結(jié)理論。他是1983ICM（華沙）與2000ICM（巴塞羅那）受邀報(bào)告人。
[24] 圖拉耶夫（Vladimir Georgievitch Turaev，1954-）量子拓?fù)渲饕獎(jiǎng)?chuàng)始人，利用經(jīng)典拓?fù)渲械幕炯记稍?維流形的不變量理論以及紐結(jié)與鏈環(huán)理論中引入新的思想與工具。
[25] 哈拉莫夫（Viatcheslav Mikhailovich Kharlamov，1950-）俄裔法籍?dāng)?shù)學(xué)家，代數(shù)幾何，微分拓?fù)鋵＜摇?/p>
[26] 博特（Raoul Bott，1923-2005），匈牙利裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家，在幾何學(xué)方面做出杰出貢獻(xiàn)，2000年獲得沃爾夫獎(jiǎng)。
[27] 加?。↙ars G?rding，1919-2014），瑞典數(shù)學(xué)家，對(duì)偏微分方程領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)。
[28] 霍萬(wàn)斯基（Askold Georgievich Khovanskii，1947-）研究領(lǐng)域?yàn)榇鷶?shù)幾何，交換代數(shù)，奇點(diǎn)理論，微分幾何與微分方程，發(fā)展了代數(shù)幾何中的環(huán)面簇與牛頓多面體理論。創(chuàng)立了稀疏多項(xiàng)式理論。
[29] Fewnomial theory是研究特殊類型多項(xiàng)式的理論，fewnomials也稱作稀疏多項(xiàng)式（sparsepoly nomials）或缺項(xiàng)多項(xiàng)式（lacunarypoly nomials），它們的項(xiàng)數(shù)是給定的，系數(shù)和次數(shù)可以變化。
[30] 斯蒂芬·斯梅爾（Stephen Smale，1930-），美國(guó)數(shù)學(xué)家，菲爾茲獎(jiǎng)（1966）和沃爾夫獎(jiǎng)（2007）獲得者，在拓?fù)鋵W(xué)、動(dòng)力系統(tǒng)，數(shù)理經(jīng)濟(jì)學(xué)等方面做出杰出貢獻(xiàn)。
[31] 勒內(nèi)·托姆（René Thom，1923-2002），法國(guó)數(shù)學(xué)家，突變理論創(chuàng)始人，1958年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者。
[32] 約翰·米爾諾（John Willard Milnor，1931-），美國(guó)數(shù)學(xué)家，在微分拓?fù)洹-理論和動(dòng)力系統(tǒng)等方面做出杰出貢獻(xiàn)，榮獲數(shù)學(xué)三大獎(jiǎng)：菲爾茲獎(jiǎng)（1962）、沃爾夫獎(jiǎng)（1989）和阿貝爾獎(jiǎng)（2011）。
[33] 奧萊尼克（Olga Arsen'evna Oleinik，1925-2001），烏克蘭數(shù)學(xué)家，偏微分方程專家。
[34] 孔采維奇（Maxim Kontsevich，1964-），法國(guó)高等科學(xué)研究所（IHéS）教授，1998年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者。
[35] 貢恰羅夫（Alexander Goncharov，1960-），耶魯大學(xué)教授，蓋爾范德的學(xué)生。
[36] 富克斯（D.B.Fuchs，1939-），俄裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家，拓?fù)淅碚搶＜?，和蓋爾范德共同創(chuàng)立了無(wú)窮維李代數(shù)的上同調(diào)理論。
[37] 加林娜·秋琳娜（Galina Nikolajewna Tjurina，1938-1970），主要研究代數(shù)幾何，是活躍在1960年代蘇聯(lián)頂尖數(shù)學(xué)家中的女?dāng)?shù)學(xué)家。
[38] 安德魯·秋林（Andrei Nikolajewitsch Tjurin，1940-2002），秋琳娜的弟弟，主要從事代數(shù)幾何研究。
[39] 哈斯勒·惠特尼（Hassler Whitney，1907-1989），美國(guó)數(shù)學(xué)家，奇點(diǎn)理論建立者之一，1982年獲沃爾夫獎(jiǎng)。
[40] 德利涅（Pierre Deligne，1944-），比利時(shí)數(shù)學(xué)家，格羅騰迪克的學(xué)生，以證明Weil猜想著名，榮獲數(shù)學(xué)三大獎(jiǎng)：菲爾茲獎(jiǎng)（1978）、沃爾夫獎(jiǎng)（2008）和阿貝爾獎(jiǎng)（2013）。
[41] 涅霍羅舍夫（Nikolai Nikolaevich Nekhoroshev，1946-2008），在哈密頓系統(tǒng)、微擾理論等做出杰出貢獻(xiàn)。
[42] 瓦爾琴科（Alexander Nikolaevich Varchenko，1949-），在幾何學(xué)、撲拓學(xué)和組合數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)物理等領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)。
[43] 扎卡爾尤金（Vladimir Zakalyukin，1951-），在奇點(diǎn)理論和動(dòng)力系統(tǒng)等領(lǐng)域做出杰出貢獻(xiàn)。
[44] 瓦西里耶夫（Victor Anatolievich Vassiliev，1956-），在拓?fù)鋵W(xué)、奇點(diǎn)理論、積分幾何、計(jì)算復(fù)雜性理論等做出杰出貢獻(xiàn)，提出紐結(jié)理論中的Vassiliev不變量。
[45] 紀(jì)梵塔爾（Alexander Givental，1958-），俄裔美籍?dāng)?shù)學(xué)家，主要研究辛拓?fù)浜推纥c(diǎn)理論及其與拓?fù)湎依碚摰年P(guān)系等。
[46] 戈柳諾夫（Victor Vladimirovich Goryunov，1956-），在奇點(diǎn)理論、辛流形和切觸幾何等方面做出杰出貢獻(xiàn)。
[47] 這里以初等數(shù)論中的模p同余為例。比如整數(shù)模5，就將所有整數(shù)劃分成5個(gè)類，每個(gè)整數(shù)可以寫成5t+s的形式，其中t是整數(shù)，s是{0,1,2,3,4}中的某一個(gè)。整數(shù)模7是類似的，每個(gè)整數(shù)可以寫成7p+q的形式，其中p是整數(shù)，q是{0,1,2,3,4,5,6}中的某一個(gè)。
[48] Macilwain,C. Academy report backs 'science for all' plan. Nature372, 489(1994).
https://doi.org/10.1038/372489a0
[49] 原文Primary school在美國(guó)一般指小學(xué)三四年級(jí)以前。
[50] 巴赫羅欣（Sergei Vladimirovich Bakhrushin，1882-1950），俄國(guó)著名歷史學(xué)家。
[51] 諾夫哥羅德（Novgorod）的歷史重要性很高，中世紀(jì)時(shí)期是個(gè)大公國(guó)，后并入莫斯科大公國(guó)。歷史學(xué)家Boris Kiselev評(píng)價(jià)說(shuō)：“彼得大帝開了一扇朝向歐洲的窗戶，而中世紀(jì)的諾夫哥羅德早已將大門敞開?！?/p>
受訪者簡(jiǎn)介
弗拉基米爾·伊戈列維奇·阿諾爾德（俄語(yǔ)：Влади?мир И?горевич Арно?льд，1937年6月12日－2010年6月3日），俄國(guó)數(shù)學(xué)家。20世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，動(dòng)力系統(tǒng)和古典力學(xué)等方面的大師。1957年他19歲時(shí)就解決了希爾伯特第十三問(wèn)題，此后對(duì)多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域都有重大貢獻(xiàn)，包括動(dòng)力系統(tǒng)理論、突變論、拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、經(jīng)典力學(xué)、奇點(diǎn)理論。他最著名的成果是關(guān)于可積哈密頓系統(tǒng)穩(wěn)定性的KAM定理，即柯爾莫哥洛夫-阿諾德-莫澤定理。
采訪者S. H. lui
現(xiàn)為加拿大曼尼托巴大學(xué)（University of Manitoba）數(shù)學(xué)系主任、教授，研究方向?yàn)閿?shù)值分析，應(yīng)用偏微分方程。
本文原文發(fā)表于Hong Kong Mathematics Society Newsletter, 1996.2，原標(biāo)題為An Interview with Vladimir Arnol'd，后經(jīng)Notices of the AMS轉(zhuǎn)載。本文經(jīng)采訪者授權(quán)發(fā)表于《返樸》。
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