1 背景

“蓋聞天地之數(shù)，有十二萬九千六百歲為一元。將一元分為十二會，乃子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥之十二支也。”源自《西游記》第一回第一段。

其實，我國歷史早期采用的是天干地支紀年法。

10天干為：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

12地支為：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

天干地支紀年法的規(guī)則為：第一列為天干、第二列為地支，天干與地支的每一個組合代表一年。需要注意的是：10天干豎向出現(xiàn)完成一輪后，繼續(xù)按照10天干的順序循環(huán)出現(xiàn)；同樣，12地支豎向出現(xiàn)完成后一輪后，繼續(xù)按照12地支的順序循環(huán)出現(xiàn)。例如：甲子、乙丑…癸酉、甲戌…直至癸亥完成一個循環(huán)。

2 問題

那么問題來了，天干地支紀年法一個循環(huán)需要多少年？

3 列舉法

解決該問題最簡單的方法是列舉法，即把左右的組合都列舉出來。列舉法的結果如下，很明顯，60年能夠完成一個循環(huán)，即人們常說的“六十甲子”。

4 數(shù)學方法

下面采用數(shù)學方法計算該問題。

4.1 問題剖析

根據(jù)天干地支紀年法的規(guī)則

10天干為：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；

12地支為：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥。

第一年的組合為“甲子”，第二年的組合為“乙丑”，最后一年的組合為“癸亥”。

那么， “癸”和“亥”第一次相遇（組合）是天干地支紀年法的最后一年。

首先，看10天干，“癸”只在第10，20，30…,即10的倍數(shù)（10*a）的年份出現(xiàn)；然后，看12地支，“亥”只在第12，24，36…，即12的倍數(shù)(12*b)的年份才出現(xiàn)。很明顯，“癸”和“亥”第一次相遇（組合）是在第n年，n=10*a=12*b。

n也就是10和12的最小公倍數(shù)。

4.2 解決問題

下面采用短除法計算10和12的最小公倍數(shù)

5 題外話

（1）采用天干地支紀年法，今年是什么年？

（2）根據(jù)十二生肖，今年是什么年？

（3）十二生肖與十二地支，都含有數(shù)字12，二者有什么關系呢？