業(yè)余愛好者的兩番重要發(fā)現(xiàn)，幫組合數(shù)學迎來關鍵突破

2023年3月，一個由職業(yè)數(shù)學家和愛好者組成的小團隊發(fā)表了一項重要的工作，他們發(fā)現(xiàn)了一個“帽子”圖形，可以解決平面密鋪領域的“愛因斯坦問題”。僅僅三個月后，他們再進一步，在帽子的基礎上找到了無需鏡像對稱的非周期密鋪圖形。而這些驚人的發(fā)現(xiàn)，是從一位業(yè)余數(shù)學愛好者開始的。

撰文 | 嘉偉

“它竟然就隱藏在眾目睽睽之下?！?/p>

——賓夕法尼亞州摩拉維亞大學名譽數(shù)學教授 Doris Schattschneider

2022年11月中旬，已退休的印刷技師David Smith有了充足的時間去做他最喜歡的事情之一：擺弄和設計拼圖積木。

借助名為 PolyForm Puzzle Solver的軟件包，他構建了一個看起來不起眼的形如帽子（hat）的瓷磚塊（鋪砌塊）。他想看看是否可以僅用這種形狀的瓷磚不留縫隙又不重疊地覆蓋平面。

“我注意到它產生了一種我以前從未見過的組合鑲嵌效果?！彼f，“這是一種棘手的小瓷磚?！?/p>

他向志趣相投的好友、加拿大滑鐵盧大學的計算機科學家Craig Kaplan描述了自己的作品，令后者意識到某種可能性。Smith和Kaplan隨后又邀請另兩位研究人員——美國國家數(shù)學博物館和阿肯色大學的數(shù)學家Chaim Goodman-Strauss 和英國劍橋的軟件工程師 Joseph Samuel Myers——加入他們的團隊。

擁有組合數(shù)學方向博士學位的Myers立刻將所有業(yè)余時間投入到對帽子形瓷磚的分析上，并在短短一周多的時間里，給出了關鍵性的證明過程。Kaplan說：“看到他如此迅速地搞定一切，我們都感到非常震驚?！?/p>

2023年3月20日，這支4人團隊正式向數(shù)學界宣告，他們找到了所謂“Einstein問題”的解：Smith發(fā)現(xiàn)的帽子形瓷磚，以及由帽子形瓷磚連續(xù)變換生成的瓷磚族（剔除少數(shù)幾個例外），全部都是可以非周期密鋪全平面的單一形狀瓷磚。［為什么叫“Einstein（愛因斯坦）”問題，且看后文。］

用“帽子”非周期密鋪全平面。丨圖源：@csk@mathstodon.xyz

一時整個數(shù)學界都為之震動。要知道，在過去半個世紀里，數(shù)學家連一塊可以非周期密鋪全平面的單一形狀瓷磚都未能找到，結果Smith等人在不到半年的時間里，找到了無限多組。

同樣令數(shù)學界匪夷所思的事情是，作為他們研究起點的帽子形瓷磚，竟然是一個如此平平無奇的十三邊形。

形如帽子的瓷磚 | 圖源: @csk@mathstodon.xyz

而且，包括上面4位做出了重要發(fā)現(xiàn)的當事人，當時只怕沒有人能夠想到，就在兩個月后，他們將再次震撼數(shù)學界。
非周期密鋪與Einstein問題

Tiling，一般譯作鋪砌，平鋪或者密鋪，是組合數(shù)學領域里的一個大的分支。大意就是用某些形狀單位，無縫隙且不重疊地覆蓋住某個幾何區(qū)域——可以是平面，也可以是空間；只不過對于后者，用于密鋪的單位從二維瓷磚變成了三維或更高維的“積木”。

比如說，我們可以很“簡單”地用單位正方形瓷磚密鋪二維平面。當然，實際操作是不現(xiàn)實的，但數(shù)學思維賦予了我們一種自由的可能性，讓我們能夠從理性上體悟到，雖然實現(xiàn)它的過程需要無限的時間，但用單位正方形瓷磚密鋪二維全平面，本質上是簡單的。類似于，直線是線段向兩個方向上無限延伸而來，而我們確實可以把握直線這個涉及無限的概念，并把它作為平面幾何的基礎。

如若再略加思考，我們還可以發(fā)現(xiàn)正六邊形同樣可以密鋪平面。類似地，正三角形也可以。下面的密鋪屬于周期性密鋪里最簡單、最顯然的實例。

正六邊形瓷磚的周期性密鋪樣式丨圖源：網絡

我們將要介紹的Einstein問題，則屬于aperiodic tiling——習慣上譯作“非周期密鋪”。所謂“非周期密鋪“，指使用的那組瓷磚在密鋪的同時，要保證拼接成的鑲嵌圖案不具有周期性。顯而易見，正方形和正六邊形瓷磚只能周期性地密鋪平面，而做不到非周期性密鋪。憑借直覺也很容易想到，能夠非周期密鋪平面的那些瓷磚應該具有不對稱的特性，就如前面提到的帽子形瓷磚。此處需要說明的是，我們這里所說的圖案不具有周期性的含義是，當確定所使用瓷磚的形狀之后，無論如何搭配、組合、設計，都永遠無法制造出全局性的周期性圖案，這才能叫作非周期密鋪，而許多密鋪（瓷磚類）是周期性和非周期性同時存在的。因此我們可以把aperiodic tiling翻譯成“本質非周期密鋪”，即完全沒有周期性存在的密鋪。以下如未經說明，提及的“非周期密鋪”均指“本質非周期密鋪”。

數(shù)學家之所以對非周期性做出了如此嚴格的定義，一是為了排除一些過于平凡且無趣的幾何結構，二則是和非周期密鋪的歷史起源相關。歷史上首位系統(tǒng)性研究非周期密鋪的數(shù)學家，是杰出的華裔數(shù)理邏輯學家王浩。

在研究圖靈可計算函數(shù)的時候，王浩發(fā)現(xiàn)，某個可判定性命題與非周期密鋪密切相關。他一度嘗試證明如下猜想：如果對某類瓷磚存在（一般意義上的）非周期密鋪，那么也一定存在周期性的密鋪。

但是不久后，王浩的學生Robert Berger構造出了反例，他用20426種不同的瓷磚構造了本質上的非周期密鋪——無論怎么重新鋪排，都不會出現(xiàn)周期性結構。此后，數(shù)學家對本質非周期密鋪給與了持續(xù)的關注度。數(shù)學界渴望了解，是否可以用更少種數(shù)目的瓷磚集構造出非周期密鋪。

后來的人們成功降低了20426這個數(shù)字，變成了含92種的瓷磚集，然后是6種，最后是2種，即著名的彭羅斯瓷磚，后者來自后來的諾貝爾獎物理學獎得主羅杰·彭羅斯（Roger Penrose）。

關于本質非周期密鋪，上一次重大的發(fā)現(xiàn)要追溯到1974年，數(shù)學家羅杰·彭羅斯發(fā)現(xiàn)的彭羅斯菱形密鋪：使用了一種風箏（淺黃）和一種飛鏢（紅）。技術細節(jié)：需要對圖案做一點點小改動來避免形成右側的菱形（全等的菱形當然可以周期性鋪滿平面），以滿足本質“非周期密鋪”的定義。丨圖源：
https://math.berkeley.edu/~kpmann/penrose%20reading.pdf

那么，是否還可以把數(shù)字降到1呢？

這就是著名的Einstein問題了：是否存在單一形狀的瓷磚，可用它非周期密鋪整個平面？

這里的Einstein，和那位著名的物理學家并無關系，單純是德國幾何學家Ludwig Danzer的雙關語玩笑：在德語里“ein stein”的意思是“一塊石頭”。

現(xiàn)在回到故事開頭，在2023年3月末，David Smith，Joseph Samuel Myers，Craig S. Kaplan和Chaim Goodman-Strauss為Einstein問題畫上了句號。

但故事并沒有結束。

藝術、靈感與最后一塊拼圖

實際上，Smith等人在使用帽子形瓷磚非周期密鋪時，需要用到帽子形的鏡像對稱版瓷磚。在當前的語境下，我們默認，兩個鏡像對稱的瓷磚，是同一種、同一形狀的瓷磚。

上面所有瓷磚形狀都相同（都是所謂的帽子）。然而，可借助染色揭示一些結構：深藍色瓷磚和其它瓷磚是鏡像對稱的。每個深藍色瓷磚都以相同的方式被其他三個淺藍色包圍。丨圖源：@csk@mathstodon.xyz

就像左、右手是鏡像對稱的，無法通過旋轉和平移實現(xiàn)左右手的重合。兩個鏡像對稱的瓷磚同樣不能通過旋轉和平移轉化成彼此。既然如此，它們真的能叫“單一”瓷磚嗎？

在數(shù)學界普遍認可了Smith等人的成果后，一個新的問題立刻浮出了水面：能否找到不借助鏡像對稱，僅通過旋轉和平移，實現(xiàn)非周期密鋪的真正單一形狀的瓷磚。

當時所有人都認為，這個后續(xù)問題只怕十分困難，沒有人期望能在近期做出突破。更沒有人能夠想到答案就在眾人的眼皮底下……

北京時間2023年5月30日凌晨，David Smith，Joseph Samuel Myers等4人發(fā)布了一篇23頁的新論文Achiral aperiodic monotile（之前關于“帽子”形瓷磚論文長達89頁），宣布他們找到了最終的答案。

他們找到了不借助鏡像對稱，僅通過旋轉和平移可以非周期密鋪的真單一形狀的瓷磚，他們將其命名為“Spectre”（姑且翻譯成“幽靈”）。

神奇又簡單的幽靈瓷磚，是一個嚴格手性非周期單形，也就是說，它只能用平移和旋轉來拼成沒有重復圖案的平鋪；即便你想用鏡像反射的瓷磚，也用不了。丨圖源：@csk@mathstodon.xyz

Kaplan在上傳論文后意猶未盡，又興奮地在數(shù)學網絡社區(qū)mathstodon分享了他們最新工作的大量細節(jié)，包括靈感來源、思考方式和證明思路等等。

如前文所述，他們發(fā)現(xiàn)的不是滿足Einstein問題的唯一一個瓷磚單形，而是一組無限的瓷磚集，集合里的多邊形瓷磚都可以滿足Einstein問題——當構造出滿足條件的帽子后，他們通過微妙地調節(jié)帽子的邊，生成的類似圖形也滿足條件。

Kaplan等人發(fā)現(xiàn)，在一定規(guī)則下，這些多邊形瓷磚的形狀其實可被其中兩條邊的邊長唯一決定。他們因此用Tile (a, b)來表示這些多邊形，a和b是特定邊長的數(shù)值。

按照這種表示法，帽子就是Tile (1, √3)。此外Tile (√3, 1) 也是非常受關注的一種構型，它還有一個通俗的名字——海龜（參考其直觀外形）。海龜也能實現(xiàn)非周期密鋪。對于Tile (a, b) ，當a和b在一定范圍內連續(xù)變化時，得到的瓷磚構型總是非周期密鋪的。

另一方面可以證明，邊長全等的多邊形Tile (1, 1) 是一個顯著的例外，在之前仿帽子瓷磚的構造方式里（使用了鏡像對稱的瓷磚），它不是本質非周期的。

但是僅憑上面的知識，還無法帶來突破。突破的靈感來自全然意想不到的藝術領域。

日本的鑲嵌藝術家、平面和立體裝置設計師荒木義明（Yoshiaki Araki）對由帽子系列衍生出的瓷磚鑲嵌和密鋪圖案非常感興趣。他分享了一個演示程序，可以顯示瓷磚Tile (1, 1.01) 的平鋪效果。

4人組里的David Smith雖然沒有數(shù)學工作和教育的背景，但對幾何拼圖的直覺異常之好（不要忘記，正是他率先想出了帽子形）。當他看到荒木義明的演示程序的時候，敏銳地察覺到，瓷磚Tile (1, 1) 或許還有可被進一步挖掘的性質。

一旦找準了方向，似乎一切都豁然開朗。他們發(fā)現(xiàn)，原來最后的答案就在自己的手邊：如果只允許通過平移和旋轉來鋪設瓷磚，那么Tile (1, 1) 能非周期密鋪！

一開始之所以Tile (1, 1) 不成功，是因為他們把它放到了和帽子形同等的允許鏡像對稱的配置里。如果限制鏡像對稱Tile (1, 1) 的使用，反而能實現(xiàn)非周期密鋪！他們稱Tile (1, 1) 為“弱保手性非周期性單瓷磚”。因為如果要求加入鏡像對稱的瓷磚，則其必然不是本質非周期性的！這也就是“弱手性”里“弱”的含義。
到此為止，他們真正找到了不借助鏡像對稱，僅通過旋轉和平移，實現(xiàn)非周期密鋪的單一形狀的瓷磚。

但幾位數(shù)學家還未滿足。他們試圖找到一種“強保手性非周期性單瓷磚"，大致上是說，即便允許加入鏡像對稱的瓷磚，你也用不上！要想密鋪平面，我們只能用單一手性的瓷磚，且必然非周期的。他們利用Tile (1, 1) 等邊的方便屬性，如下圖一樣巧妙地修改其邊緣，便得到了Spectre，“幽靈”。

圖源：參考文獻[3]

為了證明“幽靈”滿足條件，最開始的時候，他們一度認為在“幽靈”上做計算會很有挑戰(zhàn)性，因為它們不像之前的帽子和海龜——“幽靈”不是多邊形。但Joseph發(fā)現(xiàn)，“幽靈”的每一種平鋪都等價于帽子和海龜?shù)幕旌掀戒仯@讓他們可以在風箏網格這個漂亮的離散世界中工作。

顯示了上面描述的幽靈和由帽子+海龜組合之間的等價關系。丨圖源：A chiral aperiodic monotile (uwaterloo.ca)【視頻請前往“返樸”公眾號觀看】

他們證明“幽靈”可以拼成一個分層替代系統(tǒng)，也就是說，在任何由“幽靈”形成的平鋪中，每個“幽靈”都包含在一個無限的、唯一的、越來越大的超級塊（supertile）的層次結構中。超級塊是由多個“幽靈”按照一定的規(guī)則組合而成的更大的形狀。這種分層替代系統(tǒng)保證了“幽靈”的非周期性，亦即它不可能形成有重復單元的平鋪。
這里的“替代平鋪”技術的嚴格定義，就連該領域的專家也很難清楚表述，但它的本質思路卻非常好懂：用一組規(guī)則來把小塊拼成大塊，然后再把大塊按照相同的規(guī)則拼成更大的塊，以此類推，最終形成一個覆蓋整個平面的圖案。替代平鋪有時也可以用來定義非周期密鋪。

替代平鋪技術，用多個小塊拼成相似的大塊。丨圖源：arXiv:
https://arxiv.org/abs/2305.17743.

這支4人團隊給他們剛剛解決的問題命名為 “Vampire Einstein”問題。這又是什么意思呢？
Vampire本意是吸血鬼，據說吸血鬼在鏡子里是沒有影像的。所以，上面的俏皮話翻譯過來，就是“沒有鏡像的Einstein問題”。

思考·補記

David Smith等人的論文提交還不太久，其正確性尚需一段時間的嚴格審核。不過像這種直接構造出具體對象的數(shù)學研究，往往短時間內就足以判斷出其正確與否。目前看來，數(shù)學界已經認可了他們的結論。

早在3月末他們發(fā)布第一篇Einstein問題的論文的時候，就引來了廣泛的關注。關注者不僅僅是數(shù)學工作者，還包括大量的藝術家。除了平面設計藝術家和拼圖愛好者之外，甚至有作曲家嘗試把實現(xiàn)非周期密鋪的算法轉化成旋律，實驗某種新型音樂形式。

2023年7月20日，筆者驚奇地發(fā)現(xiàn)，愛爾蘭著名啤酒品牌white hag，推出了一款應用非周期性瓷磚“帽子”設計包裝的啤酒罐。

這種廣泛的關注，最終給數(shù)學的發(fā)展帶來了意想不到的好處——最后的證明正是受到了日本藝術家荒木義明的作品的啟發(fā)。

現(xiàn)在除了論文的幾位作者之外，最高興的就是這位日本藝術家了。他在論文發(fā)出一天后，非常開心地在社交媒體上分享了論文的截圖，因為幾位作者把他的名字放到了致謝里。

另一個值得思考的是，作為業(yè)余數(shù)學愛好者的David Smith在這一重大數(shù)學進展里所起到的關鍵作用。

事實上，這遠不是業(yè)余愛好者第一次在拼貼幾何領域取得重大突破。擔任郵件分揀員的Robert Ammann在 1970 年代獨立發(fā)現(xiàn)了幾種非周期性密鋪，以及一種名為Ammann bars的非周期性密鋪的系統(tǒng)生成方法；1975 年，加州家庭主婦Marjorie Rice 發(fā)現(xiàn)了一個新的五邊形瓷磚族；隨后Joan Taylor發(fā)現(xiàn)了后來著名的Socolar-Taylor瓷磚。

以至于有位數(shù)學家開玩笑說，在一個具體數(shù)學領域里（這里的“具體數(shù)學”是和“應用數(shù)學”類似的提法，是一個門類。指對象直觀可見的以及和計算機相關的數(shù)學內容），也許業(yè)余愛好者與職業(yè)數(shù)學家最大的不同之處在于，前者“并不需要知道這個問題有多難”，所以才能做出出乎意料的精彩發(fā)現(xiàn)。

這里索性給大家留一個思考題，一個本質上不需要任何數(shù)學知識就能解答的經典骨牌平鋪問題：

最后，關于密鋪，還有很多值得一說的東西。比如，雖然這一次著重介紹的是非周期密鋪，但并不意味著周期性密鋪是個無關緊要的課題。直到2015年，數(shù)學家才借助計算機發(fā)現(xiàn)了第15種也是最后一種可以進行周期性密鋪的五邊形，從而找到了全部的周期性單密鋪多邊形。

周期性密鋪和非周期密鋪，就好比有理數(shù)和無理數(shù)。雖然有理數(shù)確實相對于無理數(shù)要簡單，但仍有大量未知內容尚待挖掘。

此外，除了平面密鋪，高維空間上的非周期密鋪也有很多值得一提的成果。如2022年11月，陶哲軒（Terence Tao）和Rachel Greenfeld宣布推翻了一個高維空間上的“周期性密鋪猜想”。就Einstein問題瓷磚而言，也有所謂的三維Einstein問題瓷磚（如下圖）。

圖源：Socolar–Taylor tile Wikipedia

非周期密鋪在很多數(shù)學領域都有重要的應用和研究價值，比如自動機理論、組合數(shù)學、離散幾何、動力系統(tǒng)、群論、調和分析和數(shù)論，以及晶體學和化學。其中在晶體和化學上最有名的應用，是在理論上為準晶體的結構和性能提供數(shù)學和物理上的解釋。（如果事后諸葛亮的話，我們甚至可以說，非周期密鋪揭示了準晶體的存在性——只不過在自然界里發(fā)現(xiàn)準晶體之前，并未有人意識到這一點。）非周期性密鋪和準晶體之間的關系是一個跨越數(shù)學、物理、化學、材料等多個領域的精彩話題。

參考資料

[1] Hobbyist Finds Math’s Elusive ‘Einstein’ Tile | Quanta Magazine

[2] Craig S. Kaplan (@csk@mathstodon.xyz) - Mathstodon

[3] Achiral aperiodic monotile，https://arxiv.org/abs/2305.17743

[4] Anaperiodic monotile，https://arxiv.org/pdf/2303.10798.pdf

[5] David Smith使用的軟件（PolyForm Puzzle Solver (jaapsch.net)）：
https://www.jaapsch.net/puzzles/polysolver.htm

[6] Craig S. Kaplan分享的工具：
https://cs.uwaterloo.ca/~csk/spectre/

感謝加州理工學院數(shù)學系倪憶教授對本文的審核和指正。

本文受科普中國·星空計劃項目扶持

出品：中國科協(xié)科普部

監(jiān)制：中國科學技術出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

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