山的高度和天體的形狀

宇宙中有各種各樣的天體，包括密度較高、自成一體的恒星、行星、矮行星和小行星等，以及由彌散氣體組成的星際介質(zhì)云，還有由這些天體組成的更大的天體，例如星團(tuán)和星系。星團(tuán)和星系的形狀多種多樣。星際介質(zhì)云密度低，易受到其他天體物理過程的影響，遠(yuǎn)離平衡態(tài)，形狀通常不規(guī)則。而在那些密度較高、自成一體的天體中，恒星是由氣體組成的，行星中有一些是氣體行星，有一些是巖石質(zhì)行星，而矮行星和小行星大多是巖石組成的。

恒星和氣體行星的形狀通常都接近球形，因?yàn)樵谄胶鉅顟B(tài)下，這些天體的表面是引力勢的等勢面，而引力勢的等勢面接近于球面。這有點(diǎn)像航天員在空間站里喝水時(shí)，水會(huì)自然形成一個(gè)水球。巖石質(zhì)行星和矮行星的形狀接近球形，而小行星的形狀通常都不規(guī)則。巖石形狀不規(guī)則容易理解，但為什么有的巖石質(zhì)天體形狀接近球形呢？這背后的原因可以從地球上的山的高度講起。我們先來看一下一個(gè)巖石質(zhì)天體表面的起伏能有多大。

山的高度

地球上海拔最高的山峰是珠穆朗瑪峰，海拔8848米。但要說地球上從山腳算起最高的孤立山體，應(yīng)該是夏威夷大島的冒納凱阿火山（Mauna Kea，夏威夷語的意思是“白山”），從海底的山腳算起，到山頂有10千米多一點(diǎn)。未來地球上還會(huì)有更高的山么？大概不會(huì)有了?？梢詮睦碚摵蛯?shí)例兩方面來說明這個(gè)問題。

一方面，巖石的強(qiáng)度是有限度的，所以山的高度一定有上限。具體說，當(dāng)一座山由于擾動(dòng)降低一個(gè)很小的高度h，所釋放出來的重力勢能如果能熔化山的底部厚度為h的一層巖石，使其變?yōu)榱髯凅w，那么這座山的高度就達(dá)到了極限。因?yàn)榧词股皆僭龈?，由于山底部巖石的熔化也會(huì)將高度降低。所以山的極限高度反比于重力。按照巖石主要成分為二氧化硅計(jì)算，地球上山的高度極限大約為14.5千米，就是10千米的量級[1]。

另一方面，夏威夷大島有另外一座火山，還在不斷活動(dòng)，但是噴發(fā)物的堆積不再顯著增加山的高度，而是向周圍流動(dòng)形成了非常長的山坡，這座火山就是莫納羅亞火山（Mauna Loa，夏威夷語的意思是“長山”），從海底的山腳算起，這座山的高度也差不多是10千米。不斷的噴發(fā)讓這座山成為了地球上最大的孤立山體，但并沒有讓它的高度增長很多。青藏高原一直處于被擠壓隆起的狀態(tài)，也沒有產(chǎn)生高度超過10千米的山。

天體上的山

和地球上一樣，其他天體上山的高度也有極限。在重力小的天體上，山的極限高度會(huì)增加?；鹦侵亓Υ蠹s是地球的三分之一，所以火星表面山的極限高度可以達(dá)到40千米。事實(shí)上，火星上有太陽系最高的山體——大約22千米高的奧林匹斯山（Olympus Mons）。這是一座火山，巖漿的流動(dòng)造就了平緩的山坡，你站在這座山的山坡上的時(shí)候，你可能意識(shí)不到你站在一座山上，因?yàn)樯狡绿骄徚?。太陽系中另一座典型的高山是灶神星（Vesta）上的瑞亞西爾維亞（Rheasilvea）環(huán)形山的中央峰，高度達(dá)到大約22千米。這座中央峰是撞擊造成的波在中央?yún)R聚產(chǎn)生的。不過這座山比理論上能達(dá)到的極限高度低很多。

圖1. 火星上的奧林匹斯山（版權(quán)：NASA /MOLA Science Team / O. de Goursac, Adrian Lark）

圖2. 灶神星南極，可以看到瑞亞西爾維亞（Rheasilvea）環(huán)形山的中央峰（版權(quán)：NASA /JPL-Caltech /UCLA /MPS /DLR /IDA）

天體的形狀：高山使其偏離球形

在平均密度相同的情況下，天體的質(zhì)量正比于半徑的三次方，表面重力正比于半徑，所以天體表面的山的極限高度反比于半徑。而山的極限高度和半徑的比值反比于半徑平方。在地球上，山的極限高度（大約為14.5千米）和地球半徑（大約為6400千米）的比大約為1/441。和地球相比，對于密度相似、半徑更小的天體，其表面的山的極限高度更大，山的極限高度和半徑的比值更大。

在一個(gè)半徑300千米的天體表面，山的極限高度和半徑的比值接近于1。此時(shí)，表面起伏已經(jīng)達(dá)到半徑的量級，所以已經(jīng)沒法分辨什么是山了，這個(gè)天體形狀已經(jīng)極大偏離球形。實(shí)際上，我們看到的半徑小于300千米的小行星都是形狀不規(guī)則的。我們看到的半徑最小的接近球形的天體是谷神星（Ceres），半徑大約470千米。灶神星半徑大約為260千米，其形狀已經(jīng)偏離球形了。這符合我們的預(yù)期。

圖3. 谷神星，半徑大約470千米，形狀接近球形。（版權(quán)：SO/L.Cal?ada /NASA /JPL-Caltech /UCLA /MPS /DLR /IDA /SteveAlbers /N.Risinger）

圖4. 灶神星，半徑大約260千米，形狀偏離球形（版權(quán)：NASA /JPL /DLR /IDA）

越小的天體越不圓嗎?

從上面的論述來看，似乎越小的天體形狀越不規(guī)則。但上面的論述假設(shè)了平均密度差不多。但實(shí)際上，宇宙中有些天體的物理?xiàng)l件和地球以及小行星都非常不同，它們具有極高的密度。以中子星為例，半徑10千米，質(zhì)量和太陽一樣大，于是在其表面重力非常強(qiáng)，大約是地球表面重力的千億倍。所以中子星表面的山可能只有不到微米的高度，但由于中子星物質(zhì)所能承受的力有很大不確定性，這個(gè)值也有很大的的不確定性。總地來說，中子星表面應(yīng)該非常平滑，沒有什么起伏。白矮星的密度比中子星小一些，表面重力也小一些，但白矮星表面的起伏可能也不會(huì)超過1厘米。總的來說，只要一個(gè)天體在理論上所允許的表面起伏遠(yuǎn)小于其半徑，這個(gè)天體的形狀就是接近球形的。

參考文獻(xiàn)
[1].趙凱華，《定性與半定量物理學(xué)》，2008，高等教育出版社
[2].天體參數(shù)參考了https://solarstory.net/

作者：錢磊（中國科學(xué)院國家天文臺(tái)副研究員）