彈性波可以有自旋嗎？

自旋是物理學(xué)的核心概念之一，關(guān)于它的研究為我們打開了奇妙的量子世界。有趣的是，自旋角動(dòng)量不僅存在于量子系統(tǒng)，也存在于經(jīng)典的波動(dòng)系統(tǒng)。長(zhǎng)期以來，人們一直認(rèn)為只有圓偏振的橫波（如電磁波）才有自旋，因?yàn)閷?duì)于彈性縱波（如流體中的聲波）沒有與傳播方向垂直的偏振。事實(shí)果真如此嗎？本文將介紹有關(guān)彈性波自旋的探索。

撰文 | Young

1 引子：從角動(dòng)量談起

相信大家都玩過陀螺，并且了解陀螺的好玩之處：它轉(zhuǎn)速越快，越難摔倒。而要倒下時(shí)，它并不會(huì)在重力的作用下直接倒下，而是歪斜著繼續(xù)旋轉(zhuǎn)。這是因?yàn)橥勇菪D(zhuǎn)的速度越大，它沿著旋轉(zhuǎn)軸方向的角動(dòng)量也就越大，想要改變陀螺旋轉(zhuǎn)軸的方向也就越困難。陀螺的這些性質(zhì)可以用一個(gè)定律來概括：角動(dòng)量守恒。

如今，以陀螺命名的角速度傳感器陀螺儀，已廣泛應(yīng)用于各種場(chǎng)景；無論是大眾消費(fèi)品——手機(jī)，還是人類探索的前沿——衛(wèi)星，都依靠陀螺儀來感知姿態(tài)和方向。雖然它們與玩具陀螺的結(jié)構(gòu)已經(jīng)大相徑庭，但是其核心功能依然是利用角動(dòng)量守恒這一基本的物理規(guī)律來實(shí)現(xiàn)的?？梢哉f，角動(dòng)量相關(guān)的研究，是基礎(chǔ)研究和科技發(fā)展不可或缺的一環(huán)。

在各類物理系統(tǒng)的研究中，波的角動(dòng)量相關(guān)性質(zhì)也備受關(guān)注。比如電磁波里，包括由電磁場(chǎng)偏振特征決定的“自旋”角動(dòng)量和由相位的空間分布決定的“軌道”角動(dòng)量。合理的刻畫和操控電磁波的角動(dòng)量，可以幫助人們提升通信信道和帶寬。類似的，在空氣聲波的研究中，軌道角動(dòng)量也可以被用來提升聲波通信的信道和帶寬，并被用于操控粒子的旋轉(zhuǎn)。相比電磁波，人們更關(guān)注聲波的“軌道”角動(dòng)量。因?yàn)榭諝馐橇黧w，而理想流體中沒有剪切力，一般意義上這表明空氣聲波的速度場(chǎng)沒有旋度。因此，空氣聲波沒有類似于電磁波的，與傳播方向垂直的偏振行為；由“聲波無旋”得出的“聲波沒有自旋角動(dòng)量”也一直是人們的共識(shí)。但是，沒有旋度和沒有自旋角動(dòng)量真的可以畫等號(hào)嗎？

我們知道，聲波描述的其實(shí)是介質(zhì)的彈性振動(dòng)。廣義上，聲波不僅包含空氣等流體介質(zhì)中的聲波，還有固體聲波。我們可以將其統(tǒng)稱為彈性波。為了更系統(tǒng)地探究“空氣聲有沒有自旋角動(dòng)量”這個(gè)問題，我們不妨先看看彈性波的角動(dòng)量是怎樣的。

2 彈性波中的角動(dòng)量

在開始探討彈性波攜帶的角動(dòng)量之前，我們還需要澄清兩個(gè)問題：

（一）我們討論的“自旋”，是量子力學(xué)中的自旋嗎？

對(duì)于宏觀系統(tǒng)，研究波的自旋可以不用量子力學(xué)的知識(shí)。以電磁波為例，在量子光學(xué)中，電磁波的自旋角動(dòng)量其實(shí)就是光子的自旋。但是從宏觀視角研究電磁波，不進(jìn)入量子效應(yīng)的范疇，圓偏振的經(jīng)典電磁場(chǎng)就可以擁有自旋角動(dòng)量了。

（二）既然電磁波的量子化描述是光子，那么彈性波的量子化描述是什么？它有自旋嗎？

彈性波的量子化描述是“聲子”[1]，彈性波和聲子的自旋也可以通過場(chǎng)的量子化描述聯(lián)系起來[2]。雖然聲子自旋早在1961年就有相關(guān)研究，但是先前的研究工作更關(guān)注“橫波”聲子（即剪切振動(dòng)的圓偏振模式），并未回答旋度為零的“縱波”有沒有自旋角動(dòng)量。

此文以下的討論還是以經(jīng)典視角為主。

在經(jīng)典力學(xué)中，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)某一固定點(diǎn)O的角動(dòng)量L的定義為：

其中，r是從點(diǎn)O指向質(zhì)點(diǎn)的位置矢量，p是質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量（即質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量和質(zhì)點(diǎn)速度的乘積），x代表矢量的叉積。如果將彈性介質(zhì)視為一系列質(zhì)點(diǎn)的集合，那么彈性波就是這些質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)（如圖1所示）。這些質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)中相對(duì)于某一固定點(diǎn)O攜帶的角動(dòng)量，就是彈性波攜帶的角動(dòng)量了。

圖1 彈性波可以視為一系列質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)。

值得注意的是，人們常討論的承載彈性波的連續(xù)介質(zhì)，其質(zhì)量微元之間是有位置關(guān)系的要求的，和自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)不同。

圖2 雙星系統(tǒng)。

舉例來說，兩個(gè)自由的質(zhì)點(diǎn)可以進(jìn)行圖2中的雙星運(yùn)動(dòng)。但對(duì)于彈性波，介質(zhì)中任意兩個(gè)質(zhì)量微元更像是一塊布上的兩個(gè)點(diǎn)。在保證布不被撕裂且不發(fā)生整體移動(dòng)的前提下，這兩個(gè)質(zhì)量微元是不能像上面的雙星系統(tǒng)一樣跳二人轉(zhuǎn)的。因此，比起離散的質(zhì)點(diǎn)，彈性波更適合用連續(xù)的“場(chǎng)”來描述。

在沒有彈性波傳播時(shí)，我們?cè)O(shè)質(zhì)量微元相對(duì)于坐標(biāo)系原點(diǎn)的位置矢量為r；有彈性波時(shí)，質(zhì)量微元的位置為u(t)+r，其中u即表示質(zhì)量元偏離平衡位置的矢量，是與時(shí)間相關(guān)的函數(shù)。這樣我們就得到了一個(gè)能夠表征彈性波的，且與時(shí)間相關(guān)的矢量場(chǎng)：u(r, t)，表示每一個(gè)平衡位置r上得到了一個(gè)位移矢量u。平衡位置r與時(shí)間無關(guān)，“布”就不會(huì)發(fā)生整體的移動(dòng)；且我們要求這個(gè)矢量場(chǎng)的導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，也就保證了“布”永遠(yuǎn)是光滑的，不會(huì)被撕裂。因此，我們不妨把質(zhì)點(diǎn)圖換成矢量場(chǎng)u(t)+r的圖，箭頭的起點(diǎn)位于r，箭頭的方向表示u的方向，箭頭的大小表示|u|。以圖3中的固體聲表面波——瑞利波為例，質(zhì)點(diǎn)集合的振動(dòng)可以用一個(gè)隨時(shí)間變化的矢量場(chǎng)描述。

圖3 固體中的瑞利波；左圖為質(zhì)點(diǎn)圖像，右圖為位移場(chǎng)圖像。

那么，我們應(yīng)該如何討論這個(gè)場(chǎng)的角動(dòng)量呢？

不妨讓我們聽從牛爵爺?shù)慕ㄗh，站在巨人的肩膀上。有請(qǐng)數(shù)學(xué)和物理學(xué)界的巨人，埃米·諾特（Emmy Noether）。（編者注：參見《令數(shù)學(xué)眾神欽佩的數(shù)學(xué)家，她提出的定理成為20世紀(jì)物理學(xué)的基石》。）

埃米·諾特（Emmy Noether，1882-1935）

她告訴我們，任何物理系統(tǒng)作用量的微分對(duì)稱性都有一個(gè)對(duì)應(yīng)的守恒律。簡(jiǎn)單來說，就是我們把一個(gè)物理系統(tǒng)的坐標(biāo)系平移一下，旋轉(zhuǎn)一下，甚至扭曲一下，而讓它的作用量保持原樣，那就可以找出對(duì)應(yīng)的守恒量。例如，時(shí)間平移對(duì)稱性對(duì)應(yīng)能量守恒，空間平移對(duì)稱性對(duì)應(yīng)動(dòng)量守恒，空間旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性對(duì)應(yīng)角動(dòng)量守恒。對(duì)于彈性波來說，我們只需要寫出它的拉格朗日量，再給其變個(gè)分，轉(zhuǎn)一下，就能得到彈性波角動(dòng)量的形式了。

至于如何在旋轉(zhuǎn)操作中分出軌道和自旋，我們可以從“算符”和旋轉(zhuǎn)矩陣的語言出發(fā)（注意這并不意味著我們需要考慮量子效應(yīng)才能描述彈性波自旋），給出一種教科書里常用的“懶人”理解方式。對(duì)矢量場(chǎng)做無窮小旋轉(zhuǎn)時(shí)，可以把旋轉(zhuǎn)理解為兩個(gè)部分：對(duì)坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)，在圖4中用藍(lán)線標(biāo)出；對(duì)矢量本身旋轉(zhuǎn)，在圖4用紅線標(biāo)出。前者可以得出“軌道”部分，后者可以得到“自旋”部分。我們可以從中看到“軌道”和“自旋”的差別：前者與空間上的整體分布有

對(duì)于軌道角動(dòng)量和自旋角動(dòng)量的區(qū)別，用表達(dá)式中是否有r來解釋終歸不太直觀。為了更清楚地指出這二者之間的差別，我們可以構(gòu)思一個(gè)極細(xì)的彈性圓環(huán)，并且假設(shè)圓環(huán)振動(dòng)只有軌道角動(dòng)量密度/自旋角動(dòng)量密度，看看對(duì)應(yīng)的振動(dòng)模式是怎樣的。如圖5所示，黑色的圓環(huán)表示圓環(huán)的平衡位置，以這個(gè)圓圈為起點(diǎn)繪制一系列表示u的黑色箭頭。

圖5 只有軌道角動(dòng)量密度（OAM）時(shí)位移場(chǎng)（黑色箭頭）隨時(shí)間的變化。可以看出每一個(gè)位置的位移場(chǎng)都不改變方向，但是振動(dòng)模式整體是在旋轉(zhuǎn)的。

此時(shí)，整個(gè)圓環(huán)的振動(dòng)狀態(tài)在“轉(zhuǎn)圈”，但每一個(gè)黑色箭頭都沒有改變方向，只是在改變大小。這意味著質(zhì)量微元的運(yùn)動(dòng)總是“直來直去”的，單獨(dú)觀察圓環(huán)上某一個(gè)固定位置的振動(dòng)就可以發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量微元自己并沒有在轉(zhuǎn)圈，即自旋角動(dòng)量密度為零（每一個(gè)質(zhì)量微元自己并沒有圓極化的振動(dòng)），但是軌道角動(dòng)量密度不為零——質(zhì)量微元的振動(dòng)狀態(tài)（或能流）在沿著逆時(shí)針方向傳播。那么，如果圓環(huán)上的振動(dòng)模式并不沿著圓環(huán)傳播，是不是就沒有軌道角動(dòng)量了？是的，就像圖6所示的圓環(huán)，它整體的軌道角動(dòng)量就是零。

圖6 只有自旋角動(dòng)量密度（SAM）時(shí)位移場(chǎng)隨時(shí)間的變化?？梢钥闯?，振動(dòng)模式整體上并未旋轉(zhuǎn)，但是每一個(gè)固定位置的位移場(chǎng)在旋轉(zhuǎn)。

顯然，此時(shí)圓環(huán)的振動(dòng)狀態(tài)并沒有沿著圓環(huán)順時(shí)針或者逆時(shí)針傳播，但是表示質(zhì)量微元位移的黑色矢量是在旋轉(zhuǎn)的，也就是這些質(zhì)量微元是攜帶了角動(dòng)量的。所以，這個(gè)圓環(huán)的軌道角動(dòng)量密度為零，但是自旋角動(dòng)量密度非零。

值得注意的是，從以上的分析中我們也能看出，場(chǎng)（波）的自旋即是該場(chǎng)極化矢量（比如位移，速度）隨時(shí)間的旋轉(zhuǎn)，與該場(chǎng)矢量的空間渦旋沒有任何關(guān)系。因此，哪怕在只能傳播純縱波的流體中（其位移場(chǎng)旋度為零），比如空氣聲波，也是可以攜帶自旋角動(dòng)量的[3, 4]。至此，我們終于可以說，“聲波無旋”是得不出“聲波沒有自旋角動(dòng)量”的。

3 彈性波為何“特立獨(dú)行”：雜化自旋的貢獻(xiàn)

通過前文的討論，我們已經(jīng)大概了解了彈性波的自旋角動(dòng)量是什么，也回答了無旋場(chǎng)可以有自旋角動(dòng)量的問題，下一步就該思考彈性波的自旋有什么有趣的特性了。

上式標(biāo)紅的部分，便是純橫波和純縱波中都不會(huì)出現(xiàn)的橫-縱交叉項(xiàng)。我們可以將其稱為彈性波自旋角動(dòng)量中的“雜化”貢獻(xiàn)。“雜化”自旋的存在會(huì)導(dǎo)致彈性波自旋包含更豐富的結(jié)構(gòu)。比如，在表面波系統(tǒng)中，彈性波的自旋分布就顯得“特立獨(dú)行”[5]。

圖7 a-d分別對(duì)應(yīng)著表面水波、表面電磁波、表面空氣聲波和瑞利波。顏色圖的藍(lán)色表示自旋角動(dòng)量密度方向垂直紙面向內(nèi)（負(fù)），紅色代表方向垂直紙面向外（正）；黑色箭頭代表矢量場(chǎng)的大小和方向，其對(duì)應(yīng)的橢圓極化方向在右側(cè)畫出。顯然，最右側(cè)的彈性波表面波與前三個(gè)系統(tǒng)在自旋分布上有顯著差異。

圖7中展現(xiàn)的幾種表面波，它們的矢量場(chǎng)在數(shù)學(xué)上是極其相似的[5]，振幅都會(huì)隨著深度的增加指數(shù)衰減。前三者雖然場(chǎng)的旋度、散度（作為空間域上的幾何性質(zhì)）不盡相同，但是其自旋密度（作為時(shí)間域上的旋轉(zhuǎn)性質(zhì)）是類似的，都是垂直紙面向內(nèi)并且大小隨著深度的增加逐漸減小。彈性表面波（即瑞利波）卻與眾不同，不僅在彈性介質(zhì)表面的自旋方向是垂直紙面向外，并且隨著深度的增加自旋方向還會(huì)翻轉(zhuǎn)。這其實(shí)就是由于“雜化”自旋的存在，導(dǎo)致彈性波與其他系統(tǒng)不同。

如今，彈性波的經(jīng)典理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域。從地震研究、地質(zhì)勘探、無損探傷、聲表面波濾波器等工程應(yīng)用，到以彈性超材料、光-彈、磁-彈耦合體系為平臺(tái)的前沿探索，都需要彈性波的調(diào)控。結(jié)合成熟的彈性波相關(guān)理論，從“彈性自旋”這一新視角出發(fā)，可以給實(shí)際應(yīng)用提供一些新思路。由“雜化”帶來的特性也能夠啟發(fā)一些彈性波特有的調(diào)控手段。

例如，在超聲檢測(cè)中，導(dǎo)波模式的激勵(lì)和識(shí)別很關(guān)鍵。不同的導(dǎo)波模式對(duì)缺陷的響應(yīng)特征不同，選擇性激勵(lì)純凈的導(dǎo)波模式十分重要。這里我們以一類基礎(chǔ)的彈性波導(dǎo)波——蘭姆波為例，比較一下蘭姆波和其他系統(tǒng)中類似的導(dǎo)波，看看他們的自旋分布有什么區(qū)別。

在二維平面的波導(dǎo)中，根據(jù)波導(dǎo)上下兩個(gè)邊界上振動(dòng)模式的對(duì)稱性，導(dǎo)波可分為兩種：對(duì)稱模式（symmetric mode）和反對(duì)稱模式（anti symmetric mode）。

圖8 電磁波的對(duì)稱模式和反對(duì)稱模式。黑色箭頭表示電場(chǎng)。此處對(duì)稱和反對(duì)稱模式上下表面自旋密度的方向相同。

圖9 空氣聲波的對(duì)稱模式和反對(duì)稱模式。黑色箭頭表示速度場(chǎng)。此處對(duì)稱和反對(duì)稱模式上下表面自旋密度的方向相同。

圖10 彈性板波（蘭姆波）的對(duì)稱模式和反對(duì)稱模式。黑色箭頭表示位移場(chǎng)。可以看出，與電磁波和空氣聲波的導(dǎo)波模式不同，蘭姆波的對(duì)稱和反對(duì)稱模式上下表面自旋密度的方向相反。

從圖8-10中我們可以看到，只有彈性波的對(duì)稱/反對(duì)稱模式（S/A模式）呈現(xiàn)出了相反的自旋角動(dòng)量分布。通過計(jì)算（圖11）可以看出，這種S模式和A模式之間的差別正是由“雜化”部分的貢獻(xiàn)決定的。

圖11 彈性板波（蘭姆波）的A0模式和S0模式中，雜化貢獻(xiàn)(Sh)相反，導(dǎo)致總自旋相反。

一般來說，想要控制波在兩個(gè)邊界上的對(duì)稱性，需要在每個(gè)邊界上都安裝一個(gè)激勵(lì)源，即至少兩個(gè)不同位置的激勵(lì)源。但是蘭姆波的A0和S0模式彈性自旋的分布是相反的。這意味著我們只需要在一個(gè)邊界上安裝一個(gè)圓極化偏振的源（手性源），就可以控制該邊界附近的彈性自旋方向，進(jìn)而分別激勵(lì)對(duì)稱、反對(duì)稱模式。

圖12 在單一邊界上利用自旋源反向激勵(lì)A(yù)/S模式。一組相互垂直的壓電片可以控制其附近的偏振模式，激勵(lì)特性的彈性自旋信號(hào)。

圖12中給出了手性源的一種實(shí)現(xiàn)方式：用一組相互垂直的壓電片，分別控制兩個(gè)垂直方向的振動(dòng)相位差，這樣就可以自由控制手性源激勵(lì)的振動(dòng)的自旋方向了。如果按照?qǐng)D12中，在薄板下邊界自旋源激勵(lì)自旋為正的模式，那么我們?cè)谠吹淖髠?cè)（x<0）就可以觀測(cè)到A0模式，在源的右側(cè)（x>0）觀測(cè)到S0模式。

實(shí)驗(yàn)測(cè)量中，可以通過掃場(chǎng)并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行二維傅里葉變換得到頻域信號(hào)。通過對(duì)比測(cè)量結(jié)果和理論上A0/S0的色散，就可以區(qū)分出測(cè)量到的是哪一個(gè)模式了（圖13）。

圖13：實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果，信號(hào)由S>0的手性源激勵(lì)。在源左側(cè)(x<0)，彈性波的信號(hào)在A0模式的色散曲線上，表明該信號(hào)為A0模式；源右側(cè)(x>0)的信號(hào)為S0模式。這表明實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果與圖12中的預(yù)期相符。

4 總 結(jié)

總的來說，從經(jīng)典波的視角出發(fā)，彈性波是可以攜帶自旋角動(dòng)量的。我們可以通過位移場(chǎng)，利用諾特定理來嚴(yán)格定義彈性波的自旋角動(dòng)量的形式。特別地，自旋角動(dòng)量的存在并不依賴于位移場(chǎng)是否有旋度，且彈性波位移場(chǎng)同時(shí)包含旋度/散度為零的成分使其擁有更為豐富的自旋角動(dòng)量結(jié)構(gòu)?！白孕边@個(gè)新的視角可以與彈性波經(jīng)典、成熟的理論相結(jié)合，為彈性波的研究提供新思路。

此外，上文中的討論中并未過多涉及彈性波的量子化版本——“聲子”。聲子作為彈性波場(chǎng)的元激發(fā)，通過量子化過程，被視為一種與晶格振動(dòng)相對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)粒子。在倒空間中，聲子的內(nèi)在特性與實(shí)空間中彈性波的整體特性緊密相關(guān)，類似于電磁波-光子之間的關(guān)系。因此，聲子自旋與彈性波自旋一體兩面，聯(lián)系緊密[2]?？紤]到角動(dòng)量守恒這一基本規(guī)律，彈性波自旋和聲子自旋還可以與光子自旋、電子自旋等相互轉(zhuǎn)化。在涉及到電-聲耦合、光-機(jī)械耦合、磁性-彈性耦合和壓電耦合等過程時(shí)，引入彈性波自旋和聲子自旋，能幫助我們更好地探索自旋相關(guān)的傳感和控制技術(shù)。

角動(dòng)量相關(guān)的研究，是基礎(chǔ)研究和科技發(fā)展不可或缺的一環(huán)，希望隨著我們對(duì)彈性波角動(dòng)量理解的深入，會(huì)有越來越多的有趣、新穎且實(shí)用的內(nèi)容被挖掘。

參考文獻(xiàn)

[1] 物理 51, 855 (2022)

http://www.wuli.ac.cn/article/doi/10.7693/wl20221205

[2] Chinese Physics Letters 39, 126301 (2022)

https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0256-307X/39/12/126301

[3] Proc. Natl. Acad. Sci. 115, 9951 (2018)

https://www.pnas.org/doi/abs/10.1073/pnas.1808534115

[4] National Science Review 6, 707(2019)

https://academic.oup.com/nsr/article/6/4/707/5488454

[5] Phys. Rev. Lett. 131, 136102 (2023)

https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.131.136102

本文受科普中國(guó)·星空計(jì)劃項(xiàng)目扶持

出品：中國(guó)科協(xié)科普部

監(jiān)制：中國(guó)科學(xué)技術(shù)出版社有限公司、北京中科星河文化傳媒有限公司

特 別 提 示

1. 進(jìn)入『返樸』微信公眾號(hào)底部菜單“精品專欄“，可查閱不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關(guān)注公眾號(hào)，回復(fù)四位數(shù)組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。

版權(quán)說明：歡迎個(gè)人轉(zhuǎn)發(fā)，任何形式的媒體或機(jī)構(gòu)未經(jīng)授權(quán)，不得轉(zhuǎn)載和摘編。轉(zhuǎn)載授權(quán)請(qǐng)?jiān)凇阜禈恪刮⑿殴娞?hào)內(nèi)聯(lián)系后臺(tái)。