拉格朗日乘數(shù)法

基本信息

定義介紹

設(shè)給定二元函數(shù)z=?(x,y)和附加條件φ(x,y)=0，為尋找z=?(x,y)在附加條件下的極值點(diǎn)，先做拉格朗日函數(shù) ，其中λ為參數(shù)。

令F(x,y,λ)對(duì)x和y和λ的一階偏導(dǎo)數(shù)等于零，即

F'x=?'x(x,y)+λφ'x(x,y)=01

F'y=?'y(x,y)+λφ'y(x,y)=0

F'λ=φ(x,y)=0

由上述方程組解出x,y及λ，如此求得的(x,y)，就是函數(shù)z=?(x,y)在附加條件φ(x,y)=0下的可能極值點(diǎn)。

若這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，由實(shí)際問(wèn)題可直接確定此即所求的點(diǎn)。

拉格朗日乘數(shù)法是求具有約束條件下多元函數(shù)最值問(wèn)題的有效方法，“只要把拉格朗日函數(shù)在區(qū)域內(nèi)部的駐點(diǎn)及函數(shù)在區(qū)域邊界上駐點(diǎn)的函數(shù)值加以比較，最大的（最小的）就是函數(shù)的最大值（最小值）”。3

幾何意義

設(shè)給定目標(biāo)函數(shù)為 ，約束條件為 。1

如圖1所示，曲線 為約束條件 ， 為目標(biāo)函數(shù)的等值線族。

在 、 偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù)的條件下，目標(biāo)函數(shù) 在約束條件 下的可能極值點(diǎn) ，從幾何上看，必是目標(biāo)函數(shù)等值線曲線族中與約束條件曲線能相切的那個(gè)切點(diǎn)。

因?yàn)閮汕€在切點(diǎn)處必有公法線，所以目標(biāo)函數(shù)等值線在點(diǎn) 處法向量 與約束條件曲線在點(diǎn) 處法向量 平行，即

也就是說(shuō)，存在實(shí)數(shù) ，使下式成立

需要注意的是，目標(biāo)函數(shù)等值線與約束條件曲線的切點(diǎn)未必就是目標(biāo)函數(shù) 在約束條件 下的極值點(diǎn)（如圖1中的 點(diǎn)）。

證明

以三元函數(shù)為例，即求目標(biāo)函數(shù)：u=f(x,y,z) 在限制條件：①G（x,y,z）=0 ② H（x,y,z）=0下的極值。

假定f,G,H具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，且Jacobi矩陣：1

注釋：這里表示的是2x3的矩陣，Hx和Gx分別表示H,G對(duì)x求偏導(dǎo)。

在滿足約束條件的點(diǎn)處是行滿秩，即Rank(J)=2。

先考慮取到條件極值的必要條件，上述約束條件實(shí)際是空間曲線的方程。設(shè)曲線上一點(diǎn)( , , ) 為條件極值點(diǎn)，由于在該點(diǎn)處rank(J)≠0，不妨假設(shè)在( , , )點(diǎn)處 ，則由隱函數(shù)存在定理，在點(diǎn)( , ,)附近由該方程可以確定 y=y(x),z=z(x)，其中 =y( ), =z( )，它是這個(gè)曲線方程的參數(shù)形式。

將它們帶入目標(biāo)函數(shù)，原問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)：

的無(wú)條件極值問(wèn)題， 是函數(shù) （x）的極值點(diǎn)，因此有 '（x）=0。

也就是

這說(shuō)明向量2gradf( , , )與向量 正交，即與曲線在點(diǎn)( , , )的切向量正交，因此這點(diǎn)的梯度grad f(,,)可以看做是曲線在點(diǎn) ( , , ) 處的法平面上的向量。在根據(jù)平面上任意一個(gè)向量都可以有一對(duì)不共線的向量線性表示，又由于這個(gè)法平面是由grad G(x0,y0,z0)與gradH( , , )張成的，因此，存在常數(shù)a,b使得 gradf( , , )=a*grad G(x0,y0,z0)+b*gradH(x0,y0,z0**)**。

這就是點(diǎn)(,,)為條件極值點(diǎn)的必要條件。

將上述方程寫成分量的形式，就可以得到。

求極值

求函數(shù)f(x,y,z)在條件φ(x,y,z)=0下的極值。1

方法（步驟）是：

1.做拉格朗日函數(shù)L=f(x,y,z)+λφ(x,y,z),λ稱拉格朗日乘數(shù)；

2.求L分別對(duì)x,y,z,λ求偏導(dǎo)，得方程組,求出駐點(diǎn)P(x,y,z)；

如果這個(gè)實(shí)際問(wèn)題的最大或最小值存在，一般說(shuō)來(lái)駐點(diǎn)只有一個(gè)，于是最值可求。

條件極值問(wèn)題也可以化為無(wú)條件極值求解，但有些條件關(guān)系比較復(fù)雜，代換和運(yùn)算很繁，而相對(duì)來(lái)說(shuō)“拉格朗日乘數(shù)法”不需代換，運(yùn)算簡(jiǎn)單一點(diǎn)，這就是優(yōu)勢(shì)。

條件φ(x,y,z)一定是個(gè)等式，不妨設(shè)為φ(x,y,z)=m

則再建一個(gè)函數(shù)g(x,y,z)=φ(x,y,z)-m

g(x,y,z)=0以g(x,y,z)代替φ(x,y,z)

在許多極值問(wèn)題中，函數(shù)的自變量往往要受到一些條件的限制，比如，要設(shè)計(jì)一個(gè)容積為 V的長(zhǎng)方體形開(kāi)口水箱，確定長(zhǎng)、寬和高，使水箱的表面積最小.。設(shè)水箱的長(zhǎng)、寬、高分別為 x,y,z， 則水箱容積V=xyz。

焊制水箱用去的鋼板面積為 S=2xz+2yz+xy

這實(shí)際上是求函數(shù) S 在 V 限制下的最小值問(wèn)題。

這類附有條件限制的極值問(wèn)題稱為條件極值問(wèn)題，其一般形式是在條件限制下，求函數(shù)F的極值。

條件極值與無(wú)條件極值的區(qū)別

條件