球冠表面積公式

公式

球面被平面所截得的一部分叫做球冠。截得的圓叫做球冠的底，垂直于截面的直徑被截得的一段叫做球冠的高。球冠也可以看成一段圓弧繞經(jīng)過它的一個端點(diǎn)的直徑旋轉(zhuǎn)所成的曲面1。如圖1所示：

假設(shè)球面的半徑是R，球冠的高是h，那么球冠的表面積公式為：

推導(dǎo)過程

假定球冠最大開口部分圓的半徑為 r ，對應(yīng)球半徑 R 有關(guān)系：r = Rcosθ，則有球冠積分表達(dá)：

球冠面積微分元 dS = 2πr×Rdθ = 2πR2×cosθ dθ

積分下限為θ，上限π/2

所以：S = 2πR×R(1 - sinθ)

其中：R(1 - sinθ)即為球冠的自身高度H

所以：S = 2πRH

應(yīng)用

有了這個公式，我們就可以動手計(jì)算北極圈到北極的面積了。

由于北極圈位于北緯66°34’4，地球半徑R= 6370km，我們要計(jì)算圖2中球冠的高：

h=O'N=R（1- sin66°34’）=525( km)，代入球冠面積公式，

得S=2πRh =2π×6370×525 =21027584( km2)

因而北極圈到北極的面積大約是21027584平方公里。

注意：球冠不是幾何體，而是一種曲面。它是球面的一部分，是球面被一個平面截成的，球冠的任何部分都不能展開成平面圖形，球冠的底面是圓而不是圓面，故球冠的面積不能包括底面圓的面積。球面被一個平面截成兩個部分，這兩個部分都是球冠，其中一個球冠的高小于球的半徑，另一個球冠的高大于球的半徑。前面介紹的球冠面積公式對其高小于、等于或大于球半徑的球冠都適用，而球面積公式可看成球冠面積公式當(dāng)h=2R的特例。

球缺的體積

球缺：一個球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直徑被截下的線段長叫做球缺的高2。如圖3所示

球缺是旋轉(zhuǎn)體，它可由弓形繞著與弓形的弦垂直的直徑旋轉(zhuǎn)而得到。球缺也可以看做是球冠和球冠的底所在的圓面所圍成的幾何體。

我們在推導(dǎo)球的體積公式時，是先推導(dǎo)出一個特殊球缺——半球的體積，再2倍后得到的。對于一般的球缺，即h≠R時，它的體積公式的推導(dǎo)方法完全類似，只不過是把球的高R用一般球缺的高h(yuǎn)去代替。所以當(dāng)球的半徑為R，球缺的高為h時，有

V球缺=V圓柱-V圓臺=

=

若球缺的高h(yuǎn)′=2R-h,

∵h(yuǎn)R。這時

V大球缺=V球-V小球缺

=

=

而把公式 中的h換作 則得

∴我們有以下定理：

**定理：**如果球的半徑是R，球缺的高是h，那么球缺的體積是：3