動(dòng)植物也懂斐波那契數(shù)列？這是大自然進(jìn)化的“隱藏技能”嗎？

一般來說，“高小”畢業(yè)的學(xué)生也大概聽說過斐波那契數(shù)列這個(gè)數(shù)學(xué)問題。那么，這個(gè)數(shù)學(xué)問題怎么和生物力學(xué)扯上了關(guān)系呢？還很“美”？！

在很長一段時(shí)間里，數(shù)學(xué)和力學(xué)其實(shí)是不分家的，現(xiàn)在也是“若即若離”“藕斷絲連”的狀態(tài)。扯遠(yuǎn)啦！我們還是重點(diǎn)介紹斐波那契數(shù)列的生物力學(xué)之美，到底有多美。

一、什么是斐波那契數(shù)列？

1.斐波那契數(shù)列的定義與生成規(guī)則

斐波那契數(shù)列最初由中世紀(jì)意大利的數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契(1175-1250)在研究兔子生崽的問題時(shí)發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象和規(guī)律。如果每對(duì)兔子（一雄一雌）每月能生殖一對(duì)小兔子（假設(shè)也是一雄一雌，下同），且兔子在出生兩個(gè)月后，就有繁殖能力，如果所有兔子都不死，那么一年以后可以繁殖多少對(duì)兔子？我們不妨拿新出生的一對(duì)小兔子來分析一下。從圖1可以看出兔子隨著月份增加而長大并繁殖的情況。

圖1 兔子隨著月份增加而長大并繁殖的情況

最后兔子的總對(duì)數(shù)形成這樣一個(gè)數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21……這便是斐波那契數(shù)列，也叫“兔子數(shù)列”。這個(gè)數(shù)列的生成規(guī)則是：從第三項(xiàng)開始，每一項(xiàng)都是數(shù)列中前兩項(xiàng)之和，比如：2=1+1，3=1+2，5=2+3，8=3+5……

2.斐波那契數(shù)列與黃金分割的關(guān)系

黃金分割是指將整體一分為二，較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值約為0.618（如圖2所示），而這個(gè)數(shù)的倒數(shù)是1.618，是不是完美的巧合？這個(gè)比例被公認(rèn)為是最能引起美感的比例，因此被稱為黃金分割（在英文里，“黃金XX”往往用來形容XX完美、權(quán)威的含義）。它經(jīng)常出現(xiàn)在自然界和藝術(shù)中，被認(rèn)為是美的象征。

圖2 黃金分割線

現(xiàn)在，讓我們來看看斐波那契數(shù)列與黃金分割之間的關(guān)系。這里有個(gè)非常有趣的現(xiàn)象。如果取斐波那契數(shù)列中相鄰兩個(gè)數(shù)的比值，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)：隨著項(xiàng)數(shù)的不斷增加，前一項(xiàng)與后一項(xiàng)比值會(huì)越來越接近黃金分割比。具體來說，當(dāng)我們?cè)陟巢瞧鯏?shù)列中取較大的兩個(gè)連續(xù)的數(shù)字并計(jì)算它們的比值時(shí)，這個(gè)比值會(huì)趨近于黃金分割比。例如，21/34 ≈ 0.6176，89/144=0.6181，這已經(jīng)非常接近黃金分割比了。因此，斐波那契數(shù)列也被稱為黃金分割數(shù)列。

大家都是“識(shí)數(shù)”的人，認(rèn)識(shí)這個(gè)數(shù)，又有何意義？

舉個(gè)“栗子”：與黃金分割有關(guān)的幾何圖形有“黃金矩形”和“黃金螺線”。黃金矩形的長寬之比為黃金分割率；亦即，矩形的短邊為長邊的 0.618倍。在黃金矩形里靠著三邊做成一個(gè)正方形，剩下的那部分則又是一個(gè)黃金矩形。可以依次再做成正方形和黃金矩形，周而復(fù)始（圖3左）……

圖3 黃金矩形（左）和黃金螺線（右）

黃金螺線，也稱斐波那契螺旋線，是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的螺旋線。它是這樣做出來的：在以斐波那契數(shù)為邊的正方形拼成的長方形（即黃金矩形）中畫一個(gè)90度的扇形，連起來的弧線就是斐波那契螺旋線（圖3右）。自然界中存在許多斐波那契螺旋線的結(jié)構(gòu)（圖4），滿足最完美的黃金比例，這是大自然的精妙設(shè)計(jì)。在生物學(xué)中，許多動(dòng)植物的生長過程都遵循著斐波那契數(shù)列的規(guī)律，如花瓣的數(shù)量、菠蘿表面的鱗片排列等。這種現(xiàn)象被稱為“斐波那契現(xiàn)象”，是自然界中普遍存在的一種規(guī)律。

圖4 自然界的各種斐波那契螺旋線結(jié)構(gòu)

這些動(dòng)植物為什么會(huì)選擇斐波那契數(shù)列作為它們的“設(shè)計(jì)藍(lán)圖”呢？這背后又隱藏著怎樣的科學(xué)機(jī)理呢？這么巧，那么美，一定有道理。

3.斐波那契數(shù)列在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域的應(yīng)用

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列的應(yīng)用非常廣泛。這種黃金分割的性質(zhì)使得斐波那契數(shù)列在幾何學(xué)和藝術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，例如在建筑設(shè)計(jì)、繪畫和雕塑中都可以看到黃金分割比的影子。除此之外，斐波那契數(shù)列還在代數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)和數(shù)論等領(lǐng)域有著重要的應(yīng)用。例如，在代數(shù)學(xué)中，斐波那契數(shù)列的通項(xiàng)公式是“遞歸算法”的經(jīng)典例子。

在組合數(shù)學(xué)中，許多組合問題都可以轉(zhuǎn)化為斐波那契數(shù)列的求解問題。在數(shù)論中，研究斐波那契數(shù)列中的素?cái)?shù)分布、斐波那契數(shù)列的模運(yùn)算性質(zhì)等。

在計(jì)算機(jī)科學(xué)中，斐波那契數(shù)列可以用于實(shí)現(xiàn)高效的查找和排序算法，如斐波那契查找和斐波那契排序。同時(shí)，斐波那契數(shù)列也在密碼學(xué)、數(shù)據(jù)壓縮等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。

在金融領(lǐng)域，斐波那契數(shù)列也被用來分析股票價(jià)格和市場(chǎng)趨勢(shì)。斐波那契回撤水平是一種流行的技術(shù)分析工具，用于確定價(jià)格可能反彈或反轉(zhuǎn)的點(diǎn)位。

如果細(xì)說，那就是一個(gè)長長的列表。在此就像風(fēng)一樣先掠（略）過。下面說生物力學(xué)主題。

二、斐波那契數(shù)列的生物力學(xué)之美

自然界中的斐波那契數(shù)列是一種令人驚嘆的現(xiàn)象。道理在哪里？生物力學(xué)里。

先認(rèn)識(shí)一個(gè)概念——形態(tài)學(xué)。

形態(tài)學(xué)是研究生物體外部形態(tài)和結(jié)構(gòu)的學(xué)科，它關(guān)注生物體如何通過其形態(tài)來適應(yīng)環(huán)境和實(shí)現(xiàn)其功能。從生物力學(xué)的角度來看，動(dòng)植物選擇斐波那契數(shù)列作為其形態(tài)學(xué)特征的基礎(chǔ)，可能是因?yàn)樗鼈冊(cè)陂L期的自然選擇過程中發(fā)現(xiàn)，這樣的結(jié)構(gòu)能夠更好地適應(yīng)環(huán)境，提高生存和繁殖的成功率。這是生存競爭、優(yōu)化的結(jié)果。可以被理解為一種優(yōu)化策略，這種策略有助于生物體在生長、發(fā)展和適應(yīng)環(huán)境方面實(shí)現(xiàn)最佳效果。當(dāng)然，這只是籠統(tǒng)地說說大道理。下面具體解釋詳細(xì)的小道理。從形態(tài)學(xué)的角度來看，穩(wěn)定性和適應(yīng)性是生物體形態(tài)與功能緊密相連的兩個(gè)關(guān)鍵方面。

穩(wěn)定性是指生物體在面對(duì)外部擾動(dòng)時(shí)能夠保持其形態(tài)和結(jié)構(gòu)不變的能力。在形態(tài)學(xué)上，穩(wěn)定性通常與生物體的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度和剛度有關(guān)。

適應(yīng)性是指生物體能夠根據(jù)其生活環(huán)境和需求而調(diào)整其形態(tài)和結(jié)構(gòu)的能力，以增加生存和繁殖的機(jī)會(huì)。

在形態(tài)學(xué)上，適應(yīng)性表現(xiàn)為生物體的形態(tài)和結(jié)構(gòu)與其生存環(huán)境之間的匹配。

（1）從強(qiáng)度的角度分析斐波那契數(shù)列的力學(xué)問題

通過采用斐波那契數(shù)列的形態(tài)，生物體能夠以一種高效和最優(yōu)的方式利用空間和資源，同時(shí)保持結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。例如，樹木的樹枝和樹葉的分叉方式符合斐波那契數(shù)列（圖5中的樹枝長度和直徑等幾何參數(shù)），樹木的枝干通過其粗壯的基部和分支結(jié)構(gòu)來抵抗風(fēng)力和重力的作用，從而保持整體的穩(wěn)定性。

圖5 樹枝的形態(tài)（左）和人體血管樹的形態(tài)（右）

通過模擬風(fēng)力對(duì)植物結(jié)構(gòu)的受力分析，可以研究斐波那契數(shù)列對(duì)植物結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的影響。為了簡化而又能說明白道理，我們把樹枝模擬為懸臂梁進(jìn)行受力分析（圖6）。不管是受到集中力或者均布力的風(fēng)力作用，懸臂梁（樹枝）所承受的彎矩都是根部最大、末梢最??；如果懸臂梁的截面大小是均等的，那么由此而產(chǎn)生的應(yīng)力分布也是根部最大、末梢最小，后果就是根部很容易因?yàn)槭芰Υ?、?qiáng)度不足而折斷。為了避免這種情況發(fā)生，樹枝根部的直徑都比較粗大，從根到梢的直徑逐步減小。樹枝都是這么長的，這也是大家容易理解的。這是從強(qiáng)度的角度分析斐波那契數(shù)列的力學(xué)問題。

圖6 把樹枝模擬為懸臂梁進(jìn)行受力分析

從受力分析的角度來看，斐波那契數(shù)列在自然界中的廣泛應(yīng)用也有其合理之處。這種穩(wěn)定性不僅有助于樹木在惡劣環(huán)境中的生存，還為其提供了穩(wěn)定的支撐，使其能夠向上生長并展開枝葉以進(jìn)行光合作用。

那位看官說了，樹枝并不都是長成這個(gè)樣子?。?！沒錯(cuò)，樹枝形態(tài)還會(huì)受到其他因素（如材料、外部環(huán)境等）影響。這里不展開論述。與樹枝的形貌類似，人體循環(huán)系統(tǒng)中的血管樹也有類似樹枝的形態(tài)，這其中也受到生物力學(xué)原理（如莫里法則、等切應(yīng)力原理等）的作用。也按下不表，繼續(xù)分析斐波那契數(shù)列。

在動(dòng)植物中，許多結(jié)構(gòu)都呈現(xiàn)出斐波那契螺旋形態(tài)，如向日葵的花瓣、松果的鱗片、海螺的殼等。這些螺旋形態(tài)不僅美觀，而且具有極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。斐波那契數(shù)列的特性使得這些螺旋形態(tài)在生長過程中能夠保持穩(wěn)定的形態(tài)，同時(shí)有效地分散外部力的作用，從而增強(qiáng)生物體的生存能力。

現(xiàn)在，讓我們想象一個(gè)簡化的向日葵花瓣受力分析模型。假設(shè)每片花瓣都受到兩個(gè)主要力的作用：一個(gè)是來自花莖的支撐力，另一個(gè)是來自相鄰花瓣的擠壓力。在理想情況下，如果每片花瓣受到的力都是均勻的，那么整個(gè)花朵的結(jié)構(gòu)就會(huì)非常穩(wěn)定。斐波那契數(shù)列在這里發(fā)揮作用的方式是，它通過影響花瓣的數(shù)量和排列，間接地影響了每片花瓣受到的力。由于斐波那契數(shù)列的特性，相鄰兩片花瓣之間的角度（如果我們把花瓣看作是圍繞花中心排列的點(diǎn)）是逐漸變化的，并且這種變化遵循一種特定的規(guī)律。這種規(guī)律確保了每片花瓣都有足夠的空間來生長，同時(shí)也保證了整個(gè)花朵的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。具體來說，當(dāng)外部力（如風(fēng)或昆蟲的觸碰）作用于花朵時(shí)，這種力會(huì)沿著花瓣的螺旋排列方向分散開來。由于斐波那契數(shù)列的特性，這種力的分散是非常均勻的，沒有哪個(gè)部分會(huì)受到過多的壓力或拉力。這就好像是在一個(gè)緊密排列的軍隊(duì)中，每個(gè)士兵都能夠均勻地分擔(dān)來自外部的壓力，從而保持整個(gè)隊(duì)伍的穩(wěn)定性。

有興趣和能力的小伙伴，可以嘗試用結(jié)構(gòu)拓樸優(yōu)化設(shè)計(jì)的方法來算一下向日葵葵花籽的形態(tài)為什么是菱形而且呈斐波那契螺旋的形態(tài)分布。從數(shù)學(xué)和力學(xué)角度優(yōu)化后的結(jié)果，就是我們看到的向日葵的真實(shí)形貌。

（2）從剛度的角度分析斐波那契數(shù)列的力學(xué)問題

樹葉的葉脈分布也經(jīng)常呈現(xiàn)出黃金比例。大連理工大學(xué)郭旭教授團(tuán)隊(duì)針對(duì)自然界中樹葉葉脈黃金比例分布之謎開展了深入研究。他們基于結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化理論的仿生研究，探求使得樹葉剛度最大化的葉脈分布構(gòu)型（圖7）。

圖7 典型樹葉的最優(yōu)葉脈分布構(gòu)型

研究發(fā)現(xiàn)葉脈主干首段與次段（A/B）呈現(xiàn)近似黃金比例分布時(shí)，樹葉的結(jié)構(gòu)剛度最大，即樹葉變形最小，從而使其具有最大的等效光照面積，提高葉肉組織的光合作用效率。上述結(jié)果初步證實(shí)了樹葉葉脈分布是力學(xué)性能最優(yōu)化驅(qū)動(dòng)下的演化結(jié)果。該研究結(jié)果不僅可以解釋葉脈分布的奧秘，而且為設(shè)計(jì)天線、柔性電子器件等加筋板殼結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了很有借鑒意義的指導(dǎo)原則。

（3）動(dòng)物的斐波那契數(shù)列

許多動(dòng)物的骨骼和肌肉結(jié)構(gòu)也呈現(xiàn)出與斐波那契數(shù)列相似的分級(jí)分叉形態(tài)，這種形態(tài)不僅可以提高動(dòng)物的運(yùn)動(dòng)效率，還能夠有效地保護(hù)它們免受外界傷害。海螺的殼呈現(xiàn)出一種對(duì)數(shù)螺旋的形態(tài)（圖8左），這種形態(tài)不僅美觀，而且具有極強(qiáng)的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性。在受到外力沖擊時(shí)，這種對(duì)數(shù)螺旋的結(jié)構(gòu)能夠有效地分散沖擊力，保護(hù)海螺內(nèi)部的軟組織不受傷害。

圖8 海螺（左）和貓科動(dòng)物（右）中的斐波那契數(shù)列

動(dòng)物的四肢骨骼和肌肉結(jié)構(gòu)可能也受到斐波那契數(shù)列的影響。例如，研究顯示，貓科動(dòng)物的四肢骨骼長度比接近斐波那契數(shù)列（圖8右），這種結(jié)構(gòu)可能有助于提高動(dòng)物的運(yùn)動(dòng)效率和穩(wěn)定性。通過模擬動(dòng)物運(yùn)動(dòng)過程中的受力情況，可以研究斐波那契數(shù)列對(duì)動(dòng)物運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性的影響，有助于它們?cè)谏婧透偁幹斜３謨?yōu)勢(shì)。生物組織的生長過程可能也遵循斐波那契數(shù)列。例如，研究表明，某些細(xì)胞分裂方式可能遵循斐波那契數(shù)列，這種生長模式可能有助于維持組織結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定（就像兔子下小兔子的數(shù)列一樣）。通過模擬細(xì)胞分裂過程中的受力情況，可以研究斐波那契數(shù)列對(duì)生物組織生長穩(wěn)定性的影響。

（4）從最小作用量原理的角度來理解斐波那契數(shù)列的穩(wěn)定性

最小作用量原理是物理學(xué)中的一個(gè)基本原理，也被稱為哈密頓原理，是經(jīng)典力學(xué)中的一個(gè)基本原理。它指出在自然界中，物理系統(tǒng)的演化總是遵循使得作用量達(dá)到極小的路徑。在靜態(tài)或平衡態(tài)的情況下，這一原理與勢(shì)能最低原理是密切相關(guān)的，因?yàn)橄到y(tǒng)往往會(huì)尋求勢(shì)能最小的狀態(tài)，這是一種穩(wěn)定的狀態(tài)。

在生物形態(tài)學(xué)中，這個(gè)原理可以被解釋為生物體在進(jìn)化過程中會(huì)選擇一種能夠最小化能量消耗、最大化資源利用和應(yīng)對(duì)環(huán)境挑戰(zhàn)的形態(tài)策略。例如，向日葵花瓣按照斐波那契數(shù)列的螺旋狀方式排列，這樣的排列方式可能使得花朵在開放時(shí)能夠最大程度地展開，同時(shí)保持結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性。這種穩(wěn)定性有助于保護(hù)花朵免受外部損傷，同時(shí)也使得花朵能夠更加有效地進(jìn)行光合作用。又如，樹木的分支結(jié)構(gòu)、動(dòng)物的骨骼形態(tài)等都可以通過減少彎曲和扭曲來降低勢(shì)能，從而增加穩(wěn)定性。還有如松果的鱗片、鸚鵡螺的殼等結(jié)構(gòu)都表現(xiàn)出一種優(yōu)美的螺旋形態(tài)，這種形態(tài)可能是通過最小化能量消耗和最大化結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性來演化的。

（5）從最小作用量原理的角度來理解斐波那契數(shù)列的適應(yīng)性

許多生物體的形態(tài)和結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)出斐波那契數(shù)列的特點(diǎn)，如花瓣的數(shù)量、松果的鱗片排列等。這種數(shù)列的特點(diǎn)在于其相鄰兩項(xiàng)之比逐漸逼近黃金分割比，這使得形態(tài)在視覺上更加和諧。這種外觀的和諧之美不是目的，根本的生物力學(xué)之美才是原因。事實(shí)上，這種斐波那契數(shù)列的排列方式是一種空間填充策略，它允許花瓣在有限的空間內(nèi)以最大化的方式展開，從而最大化地接受陽光和進(jìn)行光合作用，有助于植物在生長和發(fā)育過程中能夠以最有效的方式利用空間和資源，從而提高生存和繁殖的機(jī)會(huì)。因此，斐波那契數(shù)列在形態(tài)學(xué)上的體現(xiàn)可以被視為一種適應(yīng)性策略。

三、小結(jié)

斐波那契數(shù)列與自然界之間確實(shí)存在著一種神秘而有趣的聯(lián)系。這種聯(lián)系不僅展示了數(shù)學(xué)的魅力，也揭示了自然界中隱藏的力學(xué)奧秘。從生物力學(xué)的角度來看，斐波那契數(shù)列在自然界中的出現(xiàn)可以被理解為一種優(yōu)化策略，這種策略有助于生物體在生長、發(fā)展和適應(yīng)環(huán)境方面實(shí)現(xiàn)最佳效果。這種數(shù)列的特性使得生物體能夠以最有效的方式利用空間和資源，保持穩(wěn)定的形態(tài)，同時(shí)有效地分散外部力的作用，從而增強(qiáng)生物體的適應(yīng)性和生存能力。

當(dāng)然，我們目前對(duì)斐波那契數(shù)列與自然界關(guān)系的理解還只是冰山一角，未來還有更多的科學(xué)問題需要我們?nèi)ヌ剿骱徒獯?。期待各界朋友提出更有趣的問題、提供更專業(yè)的解讀、揭示更精彩的發(fā)現(xiàn)。