李克正：數(shù)學(xué)教育的發(fā)展方向必須掌握在數(shù)學(xué)界

10月31日，中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)等單位為了紀(jì)念中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)事業(yè)開(kāi)拓者和奠基人姜立夫先生（1890年—1978年）誕辰130周年，舉辦了“姜立夫先生誕辰130周年系列活動(dòng)暨中國(guó)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)教育高峰論壇”。在論壇上，多位關(guān)心中國(guó)數(shù)學(xué)教育的有識(shí)之士發(fā)表了自己的觀點(diǎn)，其中2001年頒布的“數(shù)學(xué)新課標(biāo)”再度成為討論的議題（過(guò)往討論可參見(jiàn)《15年前，姜伯駒院士為何怒批數(shù)學(xué)“新”課標(biāo)？》）。《返樸》獲授權(quán)在此刊發(fā)首都師范大學(xué)特聘教授李克正先生在論壇上的發(fā)言（標(biāo)題為編者所加），希望與讀者諸君共同思考。亦歡迎各界來(lái)稿討論。

演講 | 李克正（首都師范大學(xué)特聘教授）

感謝姜伯駒先生（編注：姜伯駒先生為中國(guó)科學(xué)院院士、北京大學(xué)數(shù)學(xué)教授，他在此次會(huì)議上的發(fā)言請(qǐng)關(guān)注今日《返樸》微信同時(shí)推送的另一篇）給了我這個(gè)機(jī)會(huì)，能在這個(gè)會(huì)上領(lǐng)略到很多專(zhuān)家的高見(jiàn)，并也做一個(gè)發(fā)言。

下面講到的“數(shù)學(xué)教育”，明確的就是中學(xué)數(shù)學(xué)教育，因?yàn)槲彝瑫r(shí)參與小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)本科、碩士、博士各級(jí)數(shù)學(xué)教育，深知關(guān)鍵問(wèn)題出在中學(xué)階段。

對(duì)于中學(xué)數(shù)學(xué)教育我所參與的有：與一些中學(xué)合作，聽(tīng)課、交流討論；講課，有普及性的報(bào)告，也有專(zhuān)題課程；通過(guò)北京青少年科技俱樂(lè)部，指導(dǎo)中學(xué)生做數(shù)學(xué)研究，每年指導(dǎo)1-2名；為中學(xué)生寫(xiě)課外讀物。

順便說(shuō)一句，我在少年時(shí)代就讀到很多數(shù)學(xué)家寫(xiě)的中學(xué)生課外讀物，水平都很高，如姜伯駒先生寫(xiě)的《一筆畫(huà)和郵遞路線問(wèn)題》。我現(xiàn)在判斷中學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)常憑他們所讀的課外讀物，高下立見(jiàn)。

花工夫特別大的是我們有一個(gè)“數(shù)學(xué)教育技術(shù)討論班”，辦了很多年，從中走出2名博士和20余名碩士。討論班的成員將中學(xué)近年來(lái)的數(shù)學(xué)統(tǒng)編教材，包括各種版本的（人教版、蘇教版、北師大版、華師大版等等）， 各年度的，從頭至尾討論了至少兩遍， 對(duì)這些教材非常熟悉。討論班成員寫(xiě)的文章都很?chē)?yán)謹(jǐn)。

剛才王長(zhǎng)平（編注：福建師范大學(xué)校長(zhǎng)、教授）講到了課程標(biāo)準(zhǔn)，他的一些看法，對(duì)于業(yè)內(nèi)的有識(shí)之士基本上是共識(shí)，我就不重復(fù)了。這里要講的一點(diǎn)歷史，可能不是在座的諸位都很熟悉的。

大約在20年前， 教育部開(kāi)始制定“新課程標(biāo)準(zhǔn)”。當(dāng)時(shí)主持?jǐn)?shù)學(xué)方面的是幾個(gè)中學(xué)教師，他們對(duì)于數(shù)學(xué)很少了解，但對(duì)于原有的課程做了很大的改動(dòng)，砍掉了很多內(nèi)容，又增加了很多內(nèi)容， 很明顯會(huì)給中學(xué)數(shù)學(xué)教育造成極大的混亂。數(shù)學(xué)界的一些關(guān)注教育的人士，姜伯駒先生、張英伯先生等， 對(duì)此提出異議， 經(jīng)過(guò)艱苦的努力，有了一些發(fā)言的機(jī)會(huì)，得以部分地阻止了“新課標(biāo)”中的嚴(yán)重問(wèn)題。與數(shù)學(xué)相比，其他學(xué)科如物理、化學(xué)、生物等方面的“新課標(biāo)”問(wèn)題要嚴(yán)重得多，就是因?yàn)闆](méi)有專(zhuān)家參與抵制。

對(duì)于“新課標(biāo)”中的改動(dòng)，我覺(jué)得剛才王長(zhǎng)平所說(shuō)的“難”、“易” （所謂“避難就易”） 并非實(shí)質(zhì)，真正的實(shí)質(zhì)是內(nèi)容的取舍，即“what”層面的問(wèn)題， 而不是“how”層面的問(wèn)題。如上所說(shuō)， “新課標(biāo)”在內(nèi)容上的改動(dòng)很大，甚至與在座諸位當(dāng)年的中學(xué)課程內(nèi)容都不可同日而語(yǔ)。

舉例說(shuō)，在初一代數(shù)中就沒(méi)有了多項(xiàng)式的帶余除法，那么后面的輾轉(zhuǎn)相除法、最大公因式和最小公倍式、進(jìn)一步的因式分解、不可約多項(xiàng)式、唯一因子分解定理、高中的余式定理等等就更不可能有了。而有理式的分解就更不會(huì)了，所以很多大學(xué)生不會(huì)做簡(jiǎn)單的積分題如

在線性代數(shù)的學(xué)習(xí)中困難就更大了，例如λ-矩陣的對(duì)角化需要反復(fù)做多項(xiàng)式的輾轉(zhuǎn)相除，不懂帶余除法的人沒(méi)法學(xué)初等因子、相似矩陣、若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形等，甚至有些教科書(shū)將這些內(nèi)容都砍掉了。諸位可以考一下你們的研究生，看看他們是否懂得余式定理。

再舉個(gè)例子，中學(xué)的立體幾何，核心就是三垂線定理，但現(xiàn)在沒(méi)有了。而大學(xué)解析幾何首先要建立空間坐標(biāo)系，這是必須用到三垂線定理的。即使很好的教科書(shū)，在這一點(diǎn)上也只能糊弄，因?yàn)椴豢赡軐⒘Ⅲw幾何從頭至尾講一遍。而中學(xué)現(xiàn)在的立體幾何是這樣講的：空間中有兩條直線都和第三條直線平行，則“由觀察可見(jiàn)”它們也互相平行，這樣就得到一個(gè)定理 (敘述定理但無(wú)證明)，然后就是做題了。每個(gè)部分都是如此。這樣的課程還不如不學(xué)，因?yàn)椤安慌虏欢?，就怕不懂還自以為懂”。

這種情況，大學(xué)教師多少可以看到一點(diǎn)，所以一些大學(xué)對(duì)新生補(bǔ)中學(xué)數(shù)學(xué)， 甚至補(bǔ)很多；一些高校教科書(shū)也在開(kāi)頭專(zhuān)辟一章講中學(xué)數(shù)學(xué)。但問(wèn)題早已嚴(yán)重到“補(bǔ)不勝補(bǔ)”的地步。中學(xué)生在數(shù)學(xué)上缺的“應(yīng)知應(yīng)會(huì)”太多，到了大學(xué)數(shù)學(xué)掛科就在所難免了。

近年來(lái)，數(shù)學(xué)對(duì)于國(guó)家發(fā)展戰(zhàn)略的重要意義，已經(jīng)逐漸成為社會(huì)共識(shí)。那么，鑒于我國(guó)目前發(fā)展的需要，應(yīng)該讓中學(xué)生學(xué)什么數(shù)學(xué)內(nèi)容呢？這個(gè)問(wèn)題需要很深的學(xué)問(wèn)才能回答，而且即使是專(zhuān)家們也會(huì)有很多不同意見(jiàn)。但是我們可以退一步，專(zhuān)考慮“為了將來(lái)上大學(xué)需要學(xué)什么數(shù)學(xué)”， 這個(gè)問(wèn)題不難回答，而且也不會(huì)有很多爭(zhēng)議。

要緊的是，數(shù)學(xué)教育的發(fā)展方向必須掌握在數(shù)學(xué)界，尤其要依靠那些不計(jì)名利投入中學(xué)教育的數(shù)學(xué)大師們。否則無(wú)法避免現(xiàn)很多不良傾向的危害，如教育政治化 （講“公平”， 反“歧視”等）， 以及造假欺騙。

這里說(shuō)的是面向廣大普通學(xué)生的數(shù)學(xué)教育。我們不能只關(guān)心超常教育或精英人才的培養(yǎng)， 因?yàn)闆](méi)有培養(yǎng)天才的土壤，天才也不能成長(zhǎng)起來(lái)。

我在數(shù)學(xué)天元基金三十周年會(huì)議上的報(bào)告也講了上述意見(jiàn)。

上面所說(shuō)的困難現(xiàn)狀，既有挑戰(zhàn)也有機(jī)遇。目前很多高校的“強(qiáng)基”計(jì)劃，有可能通過(guò)招生影響中學(xué)數(shù)學(xué)教育朝健康的方向發(fā)展，請(qǐng)諸位考慮。我們目前正在做的中小學(xué)數(shù)學(xué)測(cè)評(píng)，首先就要在“what”層面上把好關(guān)。希望大家能夠合作。

最后我提一個(gè)建議：趁此會(huì)議建立一個(gè)微信群，邀請(qǐng)關(guān)注教育的數(shù)學(xué)家們加入，作為一個(gè)可以經(jīng)常討論數(shù)學(xué)教育的平臺(tái)。

謝謝大家。