策略與博弈：囚徒困境中的納什均衡剖析

策略與博弈：囚徒困境中的納什均衡剖析

納什均衡是博弈論中的核心概念之一，由數(shù)學(xué)家約翰·納什在1950年代提出，用于描述一種多人決策的穩(wěn)定狀態(tài)。納什均衡在經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、生物學(xué)等多個(gè)學(xué)科中都有廣泛的應(yīng)用，被認(rèn)為是理解戰(zhàn)略性互動(dòng)中個(gè)體行為的關(guān)鍵。

一、納什均衡的定義

納什均衡發(fā)生在一個(gè)博弈中，當(dāng)所有參與者都選擇了自己的策略，并且沒(méi)有任何一個(gè)參與者能夠通過(guò)改變自己的策略而單獨(dú)獲得更好的結(jié)果時(shí)。換句話說(shuō)，每個(gè)參與者的策略都是對(duì)其他參與者策略的最佳反應(yīng)。

二、如何找到納什均衡

找到納什均衡通常需要分析每個(gè)參與者在其他參與者策略已定的情況下的最佳反應(yīng)。這可以通過(guò)構(gòu)造最佳反應(yīng)對(duì)應(yīng)的方程或通過(guò)圖形方法來(lái)實(shí)現(xiàn)。

三、納什均衡的實(shí)際例子

囚徒困境是展示納什均衡最有名的例子之一。在這個(gè)例子中，兩個(gè)犯罪嫌疑人被捕后分別審訊，他們可以選擇“合作”（即不揭發(fā)對(duì)方）或“背叛”（即揭發(fā)對(duì)方）。

警方向每位囚徒提出以下選擇：

10. 如果一名囚徒招認(rèn)而另一名囚徒不招認(rèn)，招認(rèn)的囚徒將獲釋作為獎(jiǎng)勵(lì)，而另一名囚徒將因此罪名被判十年徒刑。
11. 如果兩名囚徒都招認(rèn)，他們將因合作而獲得減輕的刑罰，各被判五年徒刑。
12. 如果兩名囚徒都不招認(rèn)，他們將因輕罪名各被判兩年徒刑。 囚徒們的困境在于，他們無(wú)法相互溝通，因此無(wú)法保證對(duì)方的選擇。每個(gè)囚徒的選擇都會(huì)直接影響到對(duì)方的結(jié)果，以及自己的結(jié)果。

如果囚徒A信任囚徒B也不會(huì)招認(rèn)，他可能選擇不招認(rèn)，希望兩人都只被判兩年。然而，如果此時(shí)B背叛了A，選擇招認(rèn)，那么A將被判十年，而B(niǎo)將獲釋。

反之亦然，如果B信任A不招認(rèn)而自己也選擇不招認(rèn)，但A背叛了B招認(rèn)，那么B將被判十年，A將獲釋。

如果兩人都不信任對(duì)方，擔(dān)心被對(duì)方背叛，最“安全”的選擇就是兩人都招認(rèn)，雖然這意味著兩人都將被判五年。

在囚徒困境中，雖然合作（即兩人都不招認(rèn)）會(huì)帶來(lái)較輕的總體懲罰（兩年乘以二），但每個(gè)囚徒面臨的個(gè)人風(fēng)險(xiǎn)和不確定性導(dǎo)致他們選擇自保的策略——招認(rèn)。因此，納什均衡在這里是兩人都選擇招認(rèn)的情況，盡管這不是最優(yōu)的社會(huì)結(jié)果（即“帕累托最優(yōu)”）

四、納什均衡的變體

1. 完全信息的子博弈納什均衡： 在某些博弈中，如棋類游戲，每個(gè)動(dòng)作和決策都是公開(kāi)的，參與者可以看到對(duì)方的每一步行動(dòng)。在這類博弈中，分析可能會(huì)進(jìn)一步細(xì)化到子博弈納什均衡，即在博弈的每一個(gè)階段，參與者的策略都形成一個(gè)納什均衡。

2. 不完全信息的貝葉斯納什均衡： 在現(xiàn)實(shí)生活中，博弈常常涉及不完全信息，即參與者對(duì)其他參與者的信息了解不完整。在這種情況下，每個(gè)人需要根據(jù)對(duì)其他人信息的預(yù)期來(lái)制定策略，這種均衡狀態(tài)被稱為貝葉斯納什均衡。

3. 重復(fù)博弈中的納什均衡： 當(dāng)相同的博弈重復(fù)進(jìn)行多次時(shí)，參與者可能會(huì)基于以前的行為來(lái)調(diào)整自己的策略，這可能導(dǎo)致與一次性博弈不同的均衡結(jié)果。例如，在反復(fù)進(jìn)行的囚徒困境中，合作可能成為一種可行的策略，尤其是當(dāng)博弈的未來(lái)回合對(duì)參與者來(lái)說(shuō)足夠重要時(shí)。

參考文獻(xiàn)

Nash, J. (1950). "Equilibrium Points in N-person Games." Proceedings of the National Academy of Sciences 36(1): 48-49.

Osborne, M.J., & Rubinstein, A. (1994). A Course in Game Theory. MIT Press.

Fudenberg, D., & Tirole, J. (1991). Game Theory. MIT Press.