理發(fā)師能不能給自己刮胡子

在一個小鎮(zhèn)中，有一條關(guān)于刮胡子的法令——鎮(zhèn)上的男士必須每天都刮胡子。但法令并沒有要求必須自己刮胡子，那些不想自己刮胡子的人，可以去找理發(fā)師。但法令還規(guī)定：不給自己刮胡子的人，就由理發(fā)師為他刮胡子。

小鎮(zhèn)上只有一名理發(fā)師，他也是位男士?，F(xiàn)在請你想一想，這位理發(fā)師能給自己刮胡子嗎？根據(jù)規(guī)定，作為理發(fā)師，他只能給“不給自己刮胡子的人”刮胡子。那么，如果他不給自己刮胡子，他就可以給自己刮胡子。而如果他給自己刮胡子，他又不能給自己刮胡子。理發(fā)師就此陷入兩難之中，這就是著名的理發(fā)師悖論。

理發(fā)師悖論其實是羅素悖論的通俗版本。伯特蘭·羅素是英國著名的哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家，他年輕時曾立志為數(shù)學(xué)尋找牢靠的地基，在此過程中，他發(fā)現(xiàn)了羅素悖論。

要理解羅素悖論，還得從集合說起。數(shù)學(xué)家們最初對集合的界定比較隨意，一堆東西放在一起就可以稱為一個集合。集合中的每個個體又叫集合的元素，一個集合中的元素都屬于這個集合。一群松鼠可以組成一個集合，所有的自然數(shù)可以組成集合，所有唐朝詩人加上所有的自然數(shù)也可以組成一個集合?；谶@種簡單樸素的集合界定，羅素構(gòu)造出了這樣一個集合S：S由一切不是自身元素的元素所組成。

那么，問題來了：S是否屬于S呢？

如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S。所以，無論回答是或否都會產(chǎn)生矛盾。

羅素悖論看起來像個普通的智力游戲題，實則非常深刻。由于當(dāng)時的大部分?jǐn)?shù)學(xué)都是建立在這樣樸素的集合概念基礎(chǔ)上，而羅素所發(fā)現(xiàn)的正是這種樸素的集合定義的大漏洞，所以它動搖的是數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)。

對于羅素悖論的嚴(yán)重后果，德國數(shù)學(xué)家、邏輯學(xué)家和哲學(xué)家弗雷格有著既難過又清醒的認(rèn)識，他在《算數(shù)基礎(chǔ)規(guī)律》第二卷的跋（bá）中寫道：“對一名追求嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)的作者而言，沒有什么比在工作完成之后發(fā)現(xiàn)整個大廈的地基被動搖更不幸的了。而恰逢這一卷的印刷即將完成之時，伯特蘭·羅素先生的一封信正把我置于這樣的境地?！?/p>

不僅弗雷格，當(dāng)時正在致力于給數(shù)學(xué)尋找一個堅固基礎(chǔ)的羅素自己也深受這個悖論的折磨。弗雷格用跋中的另一段話揭示了當(dāng)時的數(shù)學(xué)家和邏輯學(xué)家所處的窘境：“在證明中使用了概念的外延、類、集合的每一個人，都與我處于同樣的地位。成為問題的不僅是我建立算術(shù)的特殊方式，而是算術(shù)是否完全有可能被給予一個邏輯基礎(chǔ)。”

不過，羅素悖論也有積極意義。在羅素悖論提出之后，有關(guān)集合的理論升級換代，從素樸集合論升級到了更嚴(yán)謹(jǐn)、更基礎(chǔ)的公理集合論。而羅素本人，除了給出類型論來應(yīng)對自己發(fā)現(xiàn)的羅素悖論，還和英國數(shù)學(xué)家懷特海合作寫出了被后世譽(yù)為“20世紀(jì)邏輯圣經(jīng)”的《數(shù)學(xué)原理》。

（作者張立英系中國科學(xué)院哲學(xué)研究所教授）