古人如何知道冬至是哪一天？其實(shí)，是用影子算出來(lái)的

出品：科普中國(guó)

作者：柯棋瀚（中國(guó)科學(xué)院自然科學(xué)史研究所）

監(jiān)制：中國(guó)科普博覽

今天是冬至，北半球一年中白晝最短的日子。大早醒來(lái)看到這篇文章的你，也許還沒(méi)能看到太陽(yáng)從窗外升起。

熟悉天文學(xué)的讀者可能知道，現(xiàn)代天文學(xué)是以春分作為一年的開(kāi)始，兩次春分之間的間隔就是一個(gè)回歸年。

但在中國(guó)歷法中，卻將冬至作為一歲之始，一歲的長(zhǎng)度（歲實(shí)）是兩次冬至之間的間隔。在中國(guó)人的觀念中，冬至的時(shí)候寒冷到達(dá)了極點(diǎn)，陰氣盛極而衰，陽(yáng)氣開(kāi)始生發(fā)，因此是生命的起點(diǎn)，于是把冬至作為一個(gè)太陽(yáng)年的起始，這是中國(guó)天文學(xué)的獨(dú)特之處。

今天，我們有各種各樣的電子日歷提醒我們各種節(jié)氣的到來(lái)，但在古代，人們是怎么判定冬至的到來(lái)呢？

立桿為影

在冬至附近的一段時(shí)間，歷家（即研究、制定歷法的人）會(huì)用“圭（guī）表”測(cè)量正午影子的長(zhǎng)度，以此確定冬至的確切時(shí)刻。立起來(lái)的桿稱作“表”，表高為八尺（約1.8米），地面上測(cè)量影子長(zhǎng)度的大尺子叫做“圭”（又叫量天尺），圭表朝向正北，每日正午的時(shí)候，太陽(yáng)在正南，就可以測(cè)得一天中最短的影子。有了冬至附近數(shù)日的正午影長(zhǎng)數(shù)據(jù)，便能算出冬至的確切時(shí)刻了。

圭表測(cè)量示意圖

（圖片來(lái)源：《中國(guó)古代天體測(cè)量學(xué)及天文儀器》圖11-3）

冬至測(cè)影在中國(guó)有著非常悠久的歷史。在中國(guó)古代天文學(xué)中，圭表測(cè)影最主要的作用是推定冬至?xí)r刻，因此觀測(cè)精度就非常重要。

位于北京古觀象臺(tái)后院的圭表模型

（圖片來(lái)源：北京古觀象臺(tái)官網(wǎng)）

而在古希臘天文學(xué)中，測(cè)影則主要是為了論證宇宙模型，因此古希臘人并不需要過(guò)分追求精度。這樣的思路也影響到中世紀(jì)，圭表測(cè)影技術(shù)在歐洲一直沒(méi)有得到很好的發(fā)展，這也使得歐洲在很長(zhǎng)一段時(shí)間里都將一年的長(zhǎng)度定為365.25天。

在阿拉伯世界，對(duì)太陽(yáng)的觀測(cè)主要靠日晷而非圭表，原因在于穆斯林每天需要做五次禱告，這就要求要有準(zhǔn)確的時(shí)間。

實(shí)際上，如果從天文觀測(cè)的角度來(lái)說(shuō)，太陽(yáng)直射點(diǎn)在冬至附近移動(dòng)緩慢，好幾天內(nèi)可能都難以觀察到日影長(zhǎng)度的變化，而在春分秋分點(diǎn)附近移動(dòng)最快，很容易就能觀察到日影變化，選用春分來(lái)測(cè)量晷影、考算歲實(shí)是更好的選擇。但很多事情并不是單一因素可以決定的，中國(guó)人對(duì)天道的認(rèn)知在此時(shí)勝過(guò)了出于天文觀測(cè)的考量。

冬至的具體時(shí)刻如何計(jì)算？

在測(cè)得冬至附近幾個(gè)正午影長(zhǎng)的數(shù)據(jù)之后，應(yīng)該怎樣計(jì)算冬至的具體時(shí)間呢？換句話說(shuō)，怎樣通過(guò)計(jì)算得知一年中影長(zhǎng)最長(zhǎng)的時(shí)刻呢？

《宋書(shū)·律歷志》留下了一段祖沖之計(jì)算冬至?xí)r刻的方法，翻譯成現(xiàn)代語(yǔ)言，參照示意圖，就是：

大明五年十月十日（公元461年11月27日）（A），測(cè)量得到影長(zhǎng)a=10.7750尺（約2.5米）；

十一月二十五日（公元462年1月11日）（B），影長(zhǎng)b=10.8175尺；

十一月二十六日（C），影長(zhǎng)c=10.7508尺。

祖沖之假設(shè)影長(zhǎng)以冬至為中心對(duì)稱，影長(zhǎng)的變化是一條直線（當(dāng)然，實(shí)際情況是類(lèi)似拋物線的曲線，且并不以冬至為中心對(duì)稱）。

a和b、c很接近，所以冬至日期在十月十日和十一月二十五、二十六日的中點(diǎn)，該年十月有30天，所以十月十日到十一月二十五日有45日，所以冬至在十一月三日。那么具體時(shí)刻是什么呢？

祖沖之這樣算：“令后二日影相減,則一日差率也。倍之為法，前二日減，以百刻乘之為實(shí)，以法除實(shí)，得冬至加時(shí)在夜半后三十一刻?！奔?b-a)/[(b-c)*2]=(10.8175-10.7750)/[(10.8175-10.7508)*2]≈0.3186，也就是三日零點(diǎn)加上0.3186日，1日=100刻，得到冬至在十一月三日31刻。

祖沖之測(cè)算冬至?xí)r刻法示意圖

（圖片來(lái)源：作者據(jù)《中國(guó)科學(xué)技術(shù)史（天文學(xué)卷）》圖4-13重制）

祖沖之并沒(méi)有解釋為什么要這樣算，我們可以按下面這樣理解。設(shè)A為十月十日正午，B為十一月二十五日正午，C為十一月二十六日正午，a、b、c分別為這三日的正午影長(zhǎng)。則必可在B、C之間找到影長(zhǎng)也等于a的F點(diǎn)。祖沖之假設(shè)影長(zhǎng)以冬至點(diǎn)為中心對(duì)稱，作均勻線性變化。則BC之間影長(zhǎng)每日變化b-c尺，每刻變化(b-c)/100尺。所以BF=(b-a)/(b-c)日=(b-a)/(b-c)×100刻。

又設(shè)D為AB的中點(diǎn)（即AD=DB），則D為十一月三日夜半。設(shè)E為AF中點(diǎn)，即E為冬至?xí)r刻，在十一月三日的某一刻。

由圖可見(jiàn)，DE+EF=DB+BF，已知AD=DB，AE=EF，則DE+AE=AD+BF，因此BF=DE+(AE-AD)=2DE，所以DE=1/2BF=(b-a)/[(b-c)×2]。

**這就是中國(guó)古代推算冬至?xí)r刻的算法。**我們只要找出三個(gè)點(diǎn)A、B、C，其中A在冬至前，B、C是冬至后相鄰的兩天，且A的數(shù)值在B、C之間，那么冬至的日期就在AB中點(diǎn)的那天，具體時(shí)刻就是(B-A)/(B-C)/2。如果連續(xù)測(cè)量幾年的冬至?xí)r刻，取平均值，就能算出一個(gè)回歸年的長(zhǎng)度。

分毫畢現(xiàn)

從祖沖之以來(lái)，冬至測(cè)影的算法至少就一直沒(méi)變過(guò)，那么冬至?xí)r刻觀測(cè)精度的提高是怎么實(shí)現(xiàn)的呢？

靠的是觀測(cè)儀器的改進(jìn)。

測(cè)影的表自古以來(lái)都是八尺高，到了元代，郭守敬將表加高到四丈（1丈=10尺，合9.81米），在大都、上都、陽(yáng)城等全國(guó)五處地方都設(shè)立了高表，可惜留存至今的僅有位于陽(yáng)城（今登封告成鎮(zhèn)）的一處。陽(yáng)城高表直接用磚石修造的觀星臺(tái)來(lái)代替銅表，這樣做的好處是節(jié)省費(fèi)用，省時(shí)省工。

臺(tái)頂架了一條橫梁，橫梁和下方的直壁留有一些空隙。圭則直接躺在地上，由水槽來(lái)保證水平。正午陽(yáng)光穿過(guò)橫梁，在圭上投下一道陰影，這就是影子的長(zhǎng)度。影子相較以前的測(cè)量方法更長(zhǎng)，因此測(cè)量就會(huì)更加精確。

位于登封告成鎮(zhèn)的郭守敬觀星臺(tái)

（圖片來(lái)源：大河網(wǎng)）

有一個(gè)小細(xì)節(jié)值得注意。新表的長(zhǎng)度（四丈）是舊表的五倍（八尺）。為什么設(shè)計(jì)成五倍，而不是四倍或者六倍呢？

在中國(guó)古代，最小長(zhǎng)度單位是毫，約等于現(xiàn)在的0.024毫米；那么五毫就相當(dāng)于0.12毫米（0.024*5=0.12mm）。

郭守敬希望“毫厘差異分別”，也就是影長(zhǎng)要能夠精確到一毫（0.024毫米），但是肉眼能夠識(shí)別的最小長(zhǎng)度大約是0.1毫米，在傳統(tǒng)的八尺表下無(wú)法實(shí)現(xiàn)這樣的讀數(shù)。若將圭表放大五倍，就能讀取最小五毫（1.2毫米）的數(shù)據(jù)，折算成八尺表，就是一毫。這是郭守敬選擇四丈高表的原因。

但是還有一個(gè)問(wèn)題是，當(dāng)表的長(zhǎng)度增加之后，影子就會(huì)變得模糊。我們?cè)谏钪幸材芨惺艿玫?，太?yáng)底下，自己的影子邊緣似乎很柔和，一點(diǎn)也不分明。

為解決這個(gè)問(wèn)題，郭守敬發(fā)明了“影符”，實(shí)際上就是一個(gè)傾斜著的有一個(gè)小孔的銅板。

將影符放在量天尺上影端虛影處,使得太陽(yáng)、橫梁、小孔呈一條直線，光線透過(guò)小孔，在量天尺上投一下個(gè)小光斑，橫梁的陰影在光斑上顯現(xiàn)出一道米粒大小的陰影，邊角分明，微調(diào)影符位置，使得陰影正好處在光斑的中間，這樣就可以讀到準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)。這正是利用的小孔成像原理。

復(fù)原銅制影符

（圖片來(lái)源：肖堯《登封四丈高表與圭表測(cè)影》）

通過(guò)這兩項(xiàng)改進(jìn)，再加上連續(xù)數(shù)年的不懈觀測(cè)，以及古代的觀測(cè)記錄，郭守敬測(cè)量出了自古以來(lái)最準(zhǔn)確的回歸年數(shù)值：365.2425日，與當(dāng)時(shí)的精確數(shù)值365.2422日相比，誤差只有26s。巧合的是，我們現(xiàn)在使用的格里高利歷一年的長(zhǎng)度也是365.2425日。

貫通古今的理想

冬至測(cè)影在中國(guó)有著非常悠久的歷史。傳說(shuō)冬至測(cè)影從三千年前的周公就開(kāi)始了，但真正的起點(diǎn)應(yīng)該更早，部落時(shí)代的人們可能就已經(jīng)會(huì)測(cè)量日影了。而留存至今最早的有明確數(shù)據(jù)的記載，是上文祖沖之的觀測(cè)結(jié)果。

此后，歷代歷家測(cè)量了六組數(shù)據(jù)，得出六個(gè)可靠的冬至?xí)r刻。在祖沖之測(cè)量冬至日的817年之后，郭守敬也接過(guò)了接力棒，進(jìn)行了自古以來(lái)最準(zhǔn)確的測(cè)量。

郭守敬在《授時(shí)歷議》中說(shuō)，將這六組數(shù)據(jù)，取相距日數(shù)，用相距年數(shù)來(lái)除，就能得到相應(yīng)那段時(shí)間的回歸年長(zhǎng)度，用祖沖之測(cè)影（公元461年）到他自己測(cè)影（公元1278年）的日數(shù)除以年數(shù)，得到每年長(zhǎng)度為365.2425日。

他具體是怎么算的呢？郭守敬也沒(méi)有給出解釋，我們可以自己來(lái)算算。

上文已知，祖沖之推算出的461年冬至是十一月三日3186分，郭守敬測(cè)算出來(lái)的1278年冬至是十一月二十九日未初三刻，換算成萬(wàn)分制就是5750分，兩次測(cè)影相隔298403日、817年。用日數(shù)除以年數(shù)，(298403.5750-0.3186)/817=365.242664，和郭守敬說(shuō)的365.2425略有差距，這說(shuō)明他應(yīng)該還考慮了其他多方面因素。

數(shù)百年測(cè)量的價(jià)值還在于極小的誤差。在計(jì)算回歸年長(zhǎng)度時(shí)，即使我們把具體時(shí)刻都去掉，只保留整數(shù)日，298403/817=354.242350，這比365.2425更符合當(dāng)時(shí)的理論值。也就是說(shuō)，在這么長(zhǎng)的時(shí)間跨度中，我們只要知道冬至是在哪一天，就能算出非常精密的回歸年長(zhǎng)度。這正是這項(xiàng)超長(zhǎng)期觀測(cè)的意義所在。

結(jié)語(yǔ)

古代歷家相信，天道流轉(zhuǎn)恒常不變，歷法的追求就是盡量吻合天道。因此在制定歷法時(shí)，歷家一方面自己測(cè)算當(dāng)時(shí)的影長(zhǎng)，一方面又要利用古代的天象記錄，把盡可能多的數(shù)據(jù)納入自己的歷法之中，這樣才能下可推今，上可考古。古代天文記錄不僅有冬至?xí)r刻（用來(lái)測(cè)定一歲起始、測(cè)算回歸年），還有中星記錄（用來(lái)計(jì)算歲差）、日月食記錄等等，這些記錄都是在制作歷法時(shí)需要考慮到的。不過(guò)，受限于天象記錄的模糊性以及歷法技術(shù)本身的水平，還是有相當(dāng)一部分古代記錄難以符合歷法，在預(yù)測(cè)日食時(shí)也不時(shí)失敗，歷家雖然盡量擴(kuò)大“歷數(shù)之常”的范圍，但也對(duì)“天道之變”無(wú)可奈何。昭明而又難測(cè)的天道一直高懸在歷家頭頂，敬天法古的精神同樣在歷法中流淌著。

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