近視宅男買早餐，看不清價目表也能“算”出單價?。?

不少同學(xué)在初學(xué)線性代數(shù)時感到迷茫、痛苦，體會不到課程的實際意義。這很大程度上是因為，教材為了由淺入深、循序漸進，須從基礎(chǔ)的抽象概念講起，而真正直觀的部分，往往要等到后面的細(xì)分領(lǐng)域或具體應(yīng)用。于是初學(xué)者往往知其然，不知其所以然；只見樹木，不見森林。希望本文能讓你換個視角，以輕松有趣的日常眼光，看到一個不一樣的線性代數(shù)。

本文是系列文章《N文粗通線性代數(shù)》的第三篇。我們在上篇文章中通過矩陣初等變換來引入矩陣的逆及其性質(zhì)，討論了線性方程組的求解過程。線性方程組解的結(jié)果只有三種可能：無解，有唯一解，有無窮多個解。那么，這其中又有什么規(guī)律呢？

撰文 | 吳進遠

上回書說到，某近視宅男，某日下樓到早點鋪買早餐。眼鏡忘在家里，看不清黑板上寫的價目。于是，宅男就一邊排隊，一邊聽著前邊顧客買早點的品種數(shù)量，和服務(wù)員小妹報的總價，據(jù)此計算各種早點品種的單價。

圖1

一通采集數(shù)據(jù)，分析計算之后，近視宅男求出了線性方程組系數(shù)矩陣的逆矩陣，算出了食品單價，買了早餐。一邊吃，一邊陷入了沉思。

（1）幾筆買賣定乾坤？

我們知道，只有正方形的矩陣才可以求出逆矩陣。具體在我們這個買早餐的問題中，三個未知數(shù)，需要正好三筆交易，或者說三個線性方程，才可以求出未知的食品單價。但在現(xiàn)實世界中，我們完全可能遇到不是正好三筆買賣的情況，這些情況下，我們的計算會遇到什么問題呢？

從直覺上我們知道，方程個數(shù)少于未知數(shù)的個數(shù)，肯定無法求出唯一解?？墒牵偃缍呦嗟?，就一定能求出唯一解嗎？更進一步，要是方程的個數(shù)比未知數(shù)的個數(shù)還多，情況又會怎么樣？我們下面一步步地分析一下：

為了直觀地討論這些問題，我們把三種食品的單價畫在一個三維的坐標(biāo)系中。下面的這些圖中：

水平方向是油餅單價x1，

豎直方向為茶葉蛋單價x2，

而豆腐腦的單價x3則指向紙面之外。

圖2

上面這個圖中畫出了一個平面（紅色），它是線性方程組中的第一個方程的圖像，也就是第一個顧客那筆買賣。

這位顧客買了一個油餅、一個茶葉蛋、一碗豆腐腦，總價14元。

僅僅根據(jù)第一筆買賣，我們顯然無法算出三種食品的單價，但我們多少還是獲得了一些信息。具體說，我們知道這三種食品的單價一定在這個平面的某一個點上。

比如這個平面和橫軸相交在x1=14這個點上，這個點對應(yīng)于油餅14元，茶葉蛋和豆腐腦免費。

盡管在現(xiàn)實中很少有老板這么定價，但這個點所對應(yīng)的這一組單價與這一個方程是沒有矛盾的。事實上，整個平面上所有的點都與這個方程沒有矛盾，而真實的單價也處于這個平面上，就是我們圖中標(biāo)出的藍色圓點。

的確，僅僅知道一筆交易，或者一個方程，我們沒有足夠的信息確定真實的單價?，F(xiàn)在我們引入第二筆買賣，這個方程在圖3中對應(yīng)另一個平面（綠色）。

圖3

這個平面與第一個平面在一條直線上相交。這就是說，同時滿足兩個方程的單價組合，只能處于這條直線上。盡管真實單價組合確實位于這條直線上，但我們?nèi)匀粺o法確認(rèn)其準(zhǔn)確位置。同時符合這兩個方程的，仍然有無窮多個解。

顯然，我們需要引入第三筆買賣。第三筆買賣對應(yīng)的線性方程，在下面圖中對應(yīng)紫色的平面。

圖4

這個新的平面與前面兩個平面相交在一個共同的空間點上，這就是這個問題中真實的單價組合。因此，如果有N個未知數(shù)，至少要有N個方程才能求出唯一解。

那么，是不是方程數(shù)等于未知數(shù)個數(shù)就一定能求出唯一解呢？不一定。假設(shè)在買早餐這個例子中，宅男沒有聽清楚顧客3的交易數(shù)據(jù)，只用顧客1、2、4的交易數(shù)據(jù)來求解，就無法得到唯一解。

為了讀者理解方便，我們把幾位顧客的購買數(shù)據(jù)重新列在下表：

大家仔細(xì)觀察，就會發(fā)現(xiàn)這位顧客4的交易數(shù)據(jù)是顧客1、2兩組數(shù)據(jù)的線性組合：5×（顧客1數(shù)據(jù)）-（顧客2數(shù)據(jù)）。

因此，顧客4的數(shù)據(jù)沒有提供任何新的信息，這一方程對應(yīng)著圖5中紫色的平面。而這個平面，與前面兩個平面相交于同一條直線，這條直線上的所有點都同時滿足三個方程。

圖5

不難想象，即使我們再增加若干方程，但如果新增加方程是原有方程的線性組合，則新增方程仍然不能提供新的信息，或者新的約束，所以仍然無法得到唯一解。這些方程畫在上面的圖中，是一組平面，而這些平面都相交于一條公共的直線。

（2）秩的那些事

線性方程組 Ax=y 解的性質(zhì)，和矩陣A的秩（rank）關(guān)系密切。所謂秩，是指矩陣中線性獨立的行或列的最大個數(shù)。前面買早餐的例子中，顧客1、2、3的三筆交易互相線性獨立，因此這一個矩陣的秩rank(A)=3。而如果不包含顧客3，只考慮顧客1、2、4這三筆交易，則我們只能找到兩個線性獨立的行，第三行只是前兩行的線性組合。因此，這樣一個矩陣的秩 rank(A)=2。

一個矩陣的列數(shù)m對應(yīng)于方程組的未知數(shù)個數(shù)，而它的秩rank(A)則是線性獨立的方程數(shù)的最大個數(shù)，也可以看成是能夠提供獨立信息的約束的個數(shù)。當(dāng)rank(A) = m，我們管這種情況叫做列滿秩，這時方程組如果有解，則其解是唯一的。

如果rank(A)<m，我們管這種情況叫做欠秩，方程組如果有解，則其解不是唯一的，而是有無數(shù)個。

如果一個矩陣是“矮胖”的，或者說它的行數(shù)小于列數(shù)，顯然它不可能是列滿秩的?！鞍帧本仃噷?yīng)的方程組沒有唯一解，如果有解也是無窮多個解。

當(dāng)行數(shù)大于列數(shù)，矩陣變成“瘦高”的，對應(yīng)的方程組才可能有唯一解（如果有解的話）。但在有解的前提下，具體什么情況還要看它是不是列滿秩。

這兩種情況通過前面的例子很容易理解。

（3）什么叫無解？

讀者可能會問，為什么要強調(diào)方程組“如果有解”呢？難道還有方程組無解的情況嗎？的確如此。

一個方程組里，每添加一個方程，就可能增加一個約束。這樣，在理想的情況下，有效的約束夠了，就可以幫助我們找到方程組的解。

繼續(xù)增加方程，則可以幫助我們驗算，檢查前面算得對不對。

可是，在我們往方程組里添加方程時候，完全可能添亂，加進去自相矛盾的方程。這種情況下，這個方程組是沒有解的。

比如買早餐的例子中，第一個顧客買了一個油餅、一個茶葉蛋、一碗豆腐腦，服務(wù)員小妹報價14元。假設(shè)另一個顧客買了兩個油餅、兩個茶葉蛋、兩碗豆腐腦，這時報價應(yīng)該是28元。假定顧客是位廣東人，服務(wù)員小妹貼心地按照廣東話來發(fā)音，于是我們的宅男就完全可能把“二十八”誤聽為“一三八”。這樣一來，我們就遇到了一個自相矛盾的方程組。

在現(xiàn)實世界，數(shù)據(jù)采集傳輸中出現(xiàn)錯誤的情況非常普遍，因此方程組自相矛盾的情況也會非常普遍，而且自相矛盾的花樣可能會非常復(fù)雜。為了搞清楚方程組有沒有解，就需要用到另一個矩陣的秩：就是增廣矩陣(A|y)的秩rank(A|y)。這里說的增廣矩陣，就是把方程組Ax=y當(dāng)中的y與A拼在一起。這里，y是縱向的一列數(shù)字，它可以看成是一個向量。而A當(dāng)中各個列，也分別是同樣維數(shù)的向量。

不難看出，如果方程組Ax=y有解，則y就一定是A當(dāng)中各個列向量的線性組合。我們把y添加到A當(dāng)中，新增加的這一列，與其他各個列是線性相關(guān)的。這樣一來，增廣矩陣(A|y)的秩rank(A|y)就不會比原矩陣A的秩rank(A)大。因此，方程組有解就等價于rank(A|y)=rank(A)。

反之，如果添了一列之后，秩增加了，即rank(A|y)=rank(A)+1，則方程組必然是自相矛盾的，沒有解。

我們把前面談到的這些情況列個表出來，就一目了然了。

這里需要指出，當(dāng)矩陣A不是滿秩的時候，如果方程有解就會有無窮多個解，但不同情況下的“無窮多個”是不一樣的。具體說，就是解空間的維數(shù)等于m-rank(A)。

比如我們買早餐的例子中，m=3。當(dāng)只有第一個顧客數(shù)據(jù)時，rank(A)=1，這時解空間是一個平面，解空間的維數(shù)等于（m-rank(A)）= 3-1 = 2。

在第二個顧客，乃至第四個顧客的數(shù)據(jù)加進來后，rank(A)=2，這時解空間的維數(shù)等于 3-2 = 1，解空間是一條直線。

當(dāng)?shù)谌齻€顧客的數(shù)據(jù)加進來后，rank(A)=3，這時解空間的維數(shù)等于 3-3 = 0，于是解空間成為一個點，解的個數(shù)從無窮多變成了1，方程存在唯一解。

（4）零元購與齊次線性方程組

我們有時候會遇到齊次線性方程組，也就是Ax=0?！褒R次”的意思說的是方程中只有未知數(shù)x的一次方項，沒有常數(shù)項，或曰沒有未知數(shù)x的0次方項，因此各個項中的方次是“齊”的。

由于方程組右邊等于0，因而它的增廣矩陣的秩顯然不會增加。因此齊次線性方程組肯定是有解的，我們用肉眼就可以看出x=0顯然是方程的解。

可是問題來了，除了x=0這樣一個平凡解，齊次線性方程組Ax=0還會不會有不等于0的解呢？從前面討論我們知道：rank(A)<m的情況下，方程組有無窮多個解，因此，齊次線性方程組確實會有非0解。

為了便于理解，我們畫出下面這個圖，圖中的每個平面相當(dāng)于一個線性方程，這三個平面對應(yīng)的方程是線性無關(guān)的。每個方程的右端常數(shù)項都等于0，其幾何意義是每個平面都經(jīng)過原點。

圖6

上面圖中，三個平面只存在唯一一個公共交點，也就是原點。因此，當(dāng)rank(A)=m的時候，方程組有唯一解，也就是說，只有x=0這樣一個平凡解。

如果三個平面對應(yīng)的方程存在線性相關(guān)（比如秩等于2），它們之間的空間關(guān)系就可能看起來像這樣：

圖7

由于每個方程右邊也都等于0，因此每個平面也都經(jīng)過原點。不過由于三個方程是線性相關(guān)的，這三個平面有無窮多個公共點。

在秩等于2的情況下，這些公共點構(gòu)成一條直線，這條直線也通過原點。這樣，除了x=0這一個平凡解，這條直線上其他地方也是方程組的解，或者說，這個齊次線性方程組存在非0解。

在實數(shù)中，只有0乘以一個數(shù)其乘積才會是0。因此對于非零解，我們有時不容易想象。實際上，一堆不完全是0的數(shù)和另一堆不完全是0的數(shù)相乘，它們的乘積相加，確實可能得出一個0。這種情況并不難發(fā)生，比如只要兩組數(shù)相乘之后，乘積有正有負(fù)，它們就完全可能相互抵消為0。再比如所有不等于0的數(shù)在矩陣相乘時都完美錯過，都與0相乘，則結(jié)果也是0。

在線性代數(shù)中，所有元素都為0的矩陣叫零矩陣。零矩陣與任何矩陣相乘自然會得到零矩陣，但反過來卻不一定。事實上，兩個非零矩陣相乘，也完全有可能得到零矩陣。一個存在非零解的齊次線性方程組，實際上就是兩個非零矩陣相乘得到零矩陣的例子。

齊次線性方程組在我們買早餐的例子中會是什么情形呢？首先，我們的宅男聽到前面的所有交易的結(jié)果都是0，可以想象這種“零元購”是個非常歡樂的情況。過去學(xué)?；蛘邌挝坏氖程茫械臅r候因為管理員經(jīng)營有方，經(jīng)常能到菜市場采購到便宜的食材，一年下來會結(jié)余很多，于是到年底就會有一天“吃結(jié)余”。顯然，如果所有食品的單價都為0，就會出現(xiàn)吃結(jié)余或者零元購的結(jié)果。

但是反過來卻不一定。比如，僅僅根據(jù)下面兩個顧客的購買數(shù)據(jù)，我們并不能確認(rèn)所有食品單價都是0：

第一個顧客買了一個油餅、一個茶葉蛋、一碗豆腐腦，0元；

第二個顧客買了兩個油餅、四個茶葉蛋、四碗豆腐腦，0元。

因為除了所有食品都不要錢的情況，我們完全可能找到使這兩個方程成立的非零解。比如設(shè)想：

油餅、茶葉蛋、豆腐腦的單價0元、X元、-X元，上面兩個方程就可以成立。

這一組單價表示油餅不要錢，茶葉蛋一顆X元，而買一碗豆腐腦不但不收錢，還會倒送X元的禮品券。這種情況在做買賣上聽著不很合理，但在理論中，卻是齊次線性方程組理論上存在的非零解。

現(xiàn)在，如果把第三位顧客的數(shù)據(jù)加進去：

假定他買了一個油餅、三個茶葉蛋、三碗豆腐腦，0元；

我們?nèi)匀徊荒艽_認(rèn)所有食品單價都是0。因為他的購買數(shù)量向量是前兩位的線性組合（第二位購買數(shù)量向量 - 第一位購買數(shù)量向量）。

只有再來顧客，他的購買數(shù)量向量與前幾位的線性無關(guān)，整個矩陣變成了列滿秩的，我們才能得到新方程組的唯一解，即所有單價都為0。（未完待續(xù)）

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