漢朝人怎樣解方程組？

我們看看漢朝數(shù)學家怎樣解方程組：

“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，實三十九斗；上禾二秉，中禾三秉， 下禾一秉，實三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，實二十六斗。問上、中、下禾實一秉各幾何？”（圖3-2）

這道題出自古代中國著名的數(shù)學典籍《九章算術》，成書于漢朝。禾是稻子， 秉是“捆”“束”的意思，將上述文言翻成大白話，意思是這樣的：

優(yōu)質(zhì)稻子3 捆，普通稻子2 捆，劣質(zhì)稻子1 捆，能碾39 斗米；

優(yōu)質(zhì)稻子2 捆，普通稻子3 捆，劣質(zhì)稻子1 捆，能碾34 斗米；

優(yōu)質(zhì)稻子1 捆，普通稻子2 捆，劣質(zhì)稻子3 捆，能碾26 斗米。

如果有優(yōu)質(zhì)稻子、普通稻子、劣質(zhì)稻子各1 捆，各能碾多少米呢？

讓初中生解這道題，會用x、y、z 分別代表優(yōu)質(zhì)稻子、普通稻子、劣質(zhì)稻子各1 捆所能碾出的稻米，然后列方程組如下：

這個方程組怎么解呢？需要逐個消元，各方程左右項分別乘以某個常數(shù)：

拿②減①，得到④ 5y+z=24。拿③減②，得到⑥：3y+15z=54。將5y+z=24 的左右項各乘以15，得到⑦：75y+15z=360。

拿⑦減⑥，得到 72y=306，求出 y=4.25。 再將 y 的值代入 5y+z=24，求出 z=2.75。 最后將 z 和 y 的值代入 x+2y+3z=26，求出 x=9.25。 x、y、z 分別是 9.25、4.25、2.75，說明 1 捆優(yōu)質(zhì)稻子能碾 9.25 斗米，1 捆普 通稻子能碾 4.25 斗米，1 捆劣質(zhì)稻子能碾 2.75 斗米。 漢朝數(shù)學家解方程組，也要逐個消元，但是過程特別麻煩。他們必須用算籌 在地上擺出一個矩陣，該矩陣可用阿拉伯數(shù)字表示如下：

右邊那列 3、2、1、39，表示 3 捆優(yōu)質(zhì)稻子、2 捆普通稻子、1 捆劣質(zhì)稻子 能碾 39 斗米，相當于方程 3x+2y+z=39。 中間那列 2、3、1、34，表示 2 捆優(yōu)質(zhì)稻子、3 捆普通稻子、1 捆劣質(zhì)稻子 能碾 34 斗米，相當于方程 2x+3y+z=34。 左邊那列 1、2、3、26，表示 1 捆優(yōu)質(zhì)稻子、2 捆普通稻子、3 捆劣質(zhì)稻子 能碾 26 斗米，相當于方程 x+2y+3z=26。 漢朝數(shù)學家通過變換矩陣來消元?！毒耪滤阈g》里記載的第一步變換是“以 右行上禾，遍乘中行”，也就是用右列第一項的數(shù)字 3，去乘中間那列的每一項。 乘過以后，原始矩陣變換如下：

然后讓中列每一項減去右列對應項的某個常數(shù)倍（這里取 2 倍），矩陣變 換成：

然后“又乘其次，亦以直除”，將左邊那列也乘以某個常數(shù)（這里乘以3）， 讓左列減右列，得到：

然后“以中行中禾不盡者遍乘左行，而以直除”，讓左列乘以中列未消去的中間項5，再減去中列各項的某個常數(shù)倍（這里取4 倍），得到：

經(jīng)過以上四步變換，左列數(shù)字出現(xiàn)了兩個零，相當于消去了兩個未知數(shù)，只剩下36 和99，相當于36z=99。99 除以36，得到z=2.75。

沿用前面的變換方法繼續(xù)消元，并代入求解，得到x=9.25，y=4.25，方程組被完整求解。

漢朝還沒有小數(shù)，漢朝數(shù)學家只能用分數(shù)來表示小數(shù)。在《九章算術》里， 這道題的答案是“上禾一秉，九斗四分斗之一；中禾一秉，四斗四分斗之一；下禾一秉，二斗四分斗之三”。用現(xiàn)代話講，優(yōu)質(zhì)稻子每捆碾米九又四分之一斗， 普通稻子每捆碾米四又四分之一斗，劣質(zhì)稻子每捆碾米二又四分之三斗。

將方程組寫成矩陣的形式，再用矩陣變換來消元，最后求得方程組的解，這是漢朝數(shù)學家求解方程組的方法，也是過去兩千年間古代中國絕大多數(shù)數(shù)學家求解方程組的經(jīng)典方法（圖3-3）?，F(xiàn)代高中生或者大學低年級學生學習線性代數(shù)時，遇到比較復雜的方程組，也要把方程組轉(zhuǎn)化成矩陣，再用矩陣變換來消元。由此可見，古代中國數(shù)學家用矩陣求解方程組的方法實在是非常經(jīng)典。

延伸閱讀：《武俠數(shù)學》