外爾：闖入物理瓷器店的數(shù)學(xué)家大象丨賢說八道

外爾是德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，二十世紀(jì)最有影響的思想家。作為數(shù)學(xué)家，外爾是最后的數(shù)學(xué)全才之一；作為理論物理學(xué)家，他對量子力學(xué)、相對論都有根本性貢獻(xiàn)，且創(chuàng)立了規(guī)范場論。外爾是一頭闖入物理學(xué)瓷器店的數(shù)學(xué)家大象。此外，他用優(yōu)雅的文筆為我們闡述數(shù)學(xué)、物理以及作為其基礎(chǔ)的哲學(xué)思想，留下了許多膾炙人口的深刻篇章。

撰文 | 曹則賢（中國科學(xué)院物理研究所研究員）

The person I admire most is Hermann Weyl.

——Michael Atiyah[1]

1 引 子康德 (Immanuel Kant, 1724-1804) 的 Kritik der praktischen Vernunft (實用理性之批判) [2]一書中有這樣的一句廣為流傳的話：

“Zwei Dinge erfüllen das Gemüth mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht, je ?fter und anhaltender sich das Nachdenken damit besch?ftigt: Der bestirnte Himmel über mir und das moralische Gesetz in mir.”

有兩種東西，對它們的思考越是經(jīng)常和持久，它們就越是以嶄新的、不斷增長的驚奇與敬畏充滿心靈：這就是我頭頂?shù)男强蘸臀倚闹械牡赖侣闪睢?/p>

參照這一段， 我愿意這樣寫出我的一個感受：

“Drei Dinge erfüllen das Gemüth mit immer neuer und zunehmender Bewunderung und Ehrfurcht, je ?fter und anhaltender sich das Nachdenken damit besch?ftigt: Der bestirnte Himmel über mir und das moralische Gesetz in mir und die Weylsche Werke vor mir

有三種東西，對它們的思考越是經(jīng)常和持久，它們就越是以嶄新的、不斷增長的驚奇和敬畏充滿心靈，這就是我頭頂?shù)男强蘸臀倚闹械牡赖侣闪詈臀颐媲暗耐鉅柕闹??！?/p>

外爾是個震古爍今的數(shù)理大家。余生性淺薄，初識外爾是通過他的小冊子symmetry (對稱)。進(jìn)入新世紀(jì)的前幾年里，筆者對對稱花樣和對稱性理論產(chǎn)生了強(qiáng)烈的興趣。在閱讀的諸多對稱性文獻(xiàn)中，外爾的symmetry一書引起了我的注意，尤其是插圖67，那是用線條描繪的成都文殊院窗欞的花樣 (圖1)。這讓我對外爾產(chǎn)生了極大的興趣，用流暢的語言講解對稱性還引用了中國古建筑的例子，我猜他一定有一個有趣的靈魂。

圖1. Symmetry一書插圖所臨摹的成都文殊院的窗欞

在日后的研究與教學(xué)中，我經(jīng)常會在不同場合遇到外爾這個名字，也瀏覽(或者叫翻閱，但不能稱為讀過)了他所有的書籍以及部分文章。對于外爾的不斷增長的驚奇與敬畏也就慢慢充滿了我的心靈。撰寫《磅礴為一——通才型學(xué)者的風(fēng)范》一書，如果沒納入關(guān)于外爾的章節(jié)，那將是不可饒恕的疏忽。然而，本書交第一稿時，我卻并沒有這么做，因為我確切地知道理解外爾要比理解愛因斯坦、龐加萊等人更加艱難，勉為其難就沒意思了。后來轉(zhuǎn)念一想，反正過些年我也一樣不能深入理解外爾，為什么要留下一個那么大的遺憾呢？于是，我匆匆地撰寫了這一章，以期成為未來認(rèn)真、深入介紹外爾的前奏。

2 外爾小傳外爾 (Hermann Weyl，1885-1955)，德國數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，二十世紀(jì)最有影響的思想家 (圖2)，因為學(xué)問太過深邃，故他是一般的學(xué)術(shù)世界里缺失的人物。愚以為，可以形象地說，外爾是一頭闖入物理學(xué)世界的數(shù)學(xué)家大象。

圖2. 外爾

外爾1885年出生于漢堡附近的一個小鎮(zhèn)，父母都來自富足家庭。1904-1908年間，外爾在哥廷恩和慕尼黑兩地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)和物理，其在哥廷恩大學(xué)的博士導(dǎo)師是數(shù)學(xué)大神希爾伯特 (David Hilbert, 1862-1943)。1908年，外爾以關(guān)于積分方程的研究獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位。在哥廷恩教了幾年書以后，外爾于1913年到了蘇黎世的瑞士聯(lián)邦理工 (ETH)就任幾何學(xué)教授。在那里，外爾和愛因斯坦 (Albert Einstein, 1879-1955) 熟識，當(dāng)然也就第一時間熟悉了他的相對論，似乎可以說是愛因斯坦的影響讓外爾成了一名理論物理學(xué)家。外爾為廣義相對論的數(shù)學(xué)花了大量精力，尤其是在作為其基礎(chǔ)的微分幾何的拓展問題上。1921年，外爾在蘇黎世遇到了在蘇黎世大學(xué)任教的薛定諤 (Erwin Schr?dinger, 1887-1961)，這可以說是為量子力學(xué)數(shù)學(xué)的拓展埋下了伏筆。外爾于1928-1929年間在普林斯頓大學(xué)作訪問教授，1930年回到哥廷恩大學(xué)接導(dǎo)師希爾伯特的班。此前，哥廷恩大學(xué)曾于1925年召他回去接替克萊因 (Felix Klein, 1849-1925)，但被他拒絕。1933年，外爾移居美國，在普林斯頓高等研究院一直工作到1951年退休。退休后的外爾往來于蘇黎世和普林斯頓兩地，1955年辭世。

外爾在哥廷恩上大學(xué)期間曾修習(xí)過胡塞爾 (Edmund Husserl, 1859-1938) 的哲學(xué)課，由此認(rèn)識了胡塞爾的一個女弟子海倫娜 (Helene Joseph, 1893-1948)，后來成了他的妻子。他們締結(jié)了一段持續(xù)35年 (1913-1948) 的婚姻。不知道外爾對哲學(xué)的興趣是否是那時建立起來了，反正外爾深受胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)哲學(xué) (phenomenological philosphy) 的影響。外爾生性灑脫，終其一生他都追求自己做主的生活理想 (Zeit seines Lebens fühlte er sich demokratischen Idealen verpflichtet)。

外爾是哥廷恩大學(xué)培養(yǎng)出來的學(xué)者，其一生都和哥廷恩的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)相聯(lián)系， 當(dāng)時是由希爾伯特、克萊因和閔可夫斯基 (Hermann Minkowski, 1864-1909) 所代表的。愚以為哥廷恩數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的代表人物也要加上與外爾同時代的諾特 (Emmy Noether, 1882-1935)，而此前則有高斯、黎曼和狄里拆利 (Gustav Lejeune Dirichlet, 1805-1859) 。在外爾所處的時代，數(shù)學(xué)家已不再追求龐加萊或者希爾伯特的那種 貫通 (universalism)，而外爾則是最接近達(dá)到融會貫通境界的。后世的數(shù)學(xué)家阿提亞爵士 (Michael Atiyah, 1929-2019) 在1984年接受采訪時曾感嘆道：“I have found that in almost everything I have ever done in mathematics, Hermann Weyl was there first. (我發(fā)現(xiàn)幾乎所有我做過的數(shù)學(xué)，外爾都捷足先登過。)”

外爾一生著述頗豐，其著作目錄如下：

1.Die Idee der Riemannschen Fl?che (關(guān)于黎曼面的思想), 1913；英文版為The Concept of a Riemann Surface.

2.Raum, Zeit, Materie (空間-時間-物質(zhì))，1918.

3.Das Kontinuum (連續(xù)統(tǒng)), 1918; 英文版為The Continuum.

4.Mathematische Analyse des Raumproblems (空間問題的數(shù)學(xué)分析), 1923.

5.Was ist Materie? (物質(zhì)是什么？), 1924.

6.Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft (數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的哲學(xué)), 1927；英文版為Philosophy of Mathematics and Natural Science.

7.Gruppentheorie und Quantenmechanik (群論與量子力學(xué))，1928; 英文版為The Theory of Groups and Quantum Mechanics.

9.The classical groups：their invariants and representations (經(jīng)典群), 1939.

9.Elementary theory of invariants (不變量理論基礎(chǔ)), 1936.

10.Meromorphic functions and analytic curves (亞純函數(shù)與解析曲線), 1943.

11.Symmetry (對稱), 1952.

12.Riemanns geometrische Ideen (黎曼的幾何思想), 1988.

Die Idee der Riemannschen Fl?che (關(guān)于黎曼面的思想), 1913；英文版為The Concept of a Riemann Surface.

此外，外爾辭世后，后人于1968年編輯出版了他的4卷本全集 (Gesammelte Abhandlungen) 。外爾的著作內(nèi)容不易懂，但讀懂一點就大有收獲，況且其文筆流暢，讀來算是享受。

在外爾的學(xué)問與成就中，數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)的成分雖非渾然一體，卻也不是涇渭分明的。下文將外爾的成就分成數(shù)學(xué)的、物理的和哲學(xué)的，只是為了介紹的方便，不具有嚴(yán)格的意義。

3 外爾的數(shù)學(xué)成就外爾共寫過200余篇論文，是那種出自個人機(jī)杼的、有思想的論文。對大部分外爾的文章，硬要分辨其為數(shù)學(xué)的哪個領(lǐng)域或者是算數(shù)學(xué)還是算理論物理可能是不得體的。在他眼里，數(shù)學(xué)是一個有機(jī)整體，他對整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域的進(jìn)步都有影響，其耕耘的范圍包括分析、拓?fù)洹⑽⒎謳缀?、微分方程、李群、表示理論、調(diào)和分析和分析數(shù)論等。有了貢獻(xiàn)者水平的數(shù)學(xué)，特別是在微分幾何、微分方程、李群和表示理論等領(lǐng)域，加上和愛因斯坦、薛定諤等人過從甚密，外爾參與近代理論物理的奠基是自然而然的事情。

外爾的數(shù)學(xué)生涯開始于分析，包括積分方程和譜理論。1910年外爾以奇性微分方程及其用本征函數(shù)的展開，即后來的自伴隨算符的譜理論，獲得私俸講師資格 (habilitieren)；1911年發(fā)表了über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte(本征值的漸近分布) 一文，證明了在緊致域上拉普拉斯算子本征值的漸近分布，即Weyl law，1912年又用變分原理給出了新證明。外爾后來不斷回到這個問題，他還將之應(yīng)用于彈性體系，得到了外爾猜想。本征值漸近分布，學(xué)量子力學(xué)的看到這個概念會眼睛一亮，這是量子力學(xué)數(shù)學(xué)一大關(guān)啊，而外爾得到這些研究成果時量子力學(xué)這個詞還沒出現(xiàn)呢[3]。

關(guān)于拉普拉斯算符本征值的漸近分布，外爾在1915年指出其第一項正比于系統(tǒng)的體積，除了體積以外的其他參數(shù)不起作用，此乃物理學(xué)家，其中有大名鼎鼎的洛倫茲 (Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928)，在提供了經(jīng)典物理到量子物理橋梁的黑體輻射研究中首先猜測的一個結(jié)果。坦白地說，筆者雖然撰寫過關(guān)于黑體輻射研究的長篇論文，對這一點卻毫不知情。當(dāng)然，黑體輻射、量子力學(xué)和拉普拉斯算子本征值，這里的邏輯關(guān)系是契合的。

1913年外爾發(fā)表了小冊子Die Idee der Riemannschen Fl?che (關(guān)于黎曼面的思想)，對黎曼面進(jìn)行統(tǒng)一處理。此項工作的一個重要意義在于將復(fù)數(shù)從復(fù)平面中解放出來。外爾用點集拓?fù)渥尷杪胬碚摳訃?yán)格，為后來的流形研究樹立了榜樣。黎曼幾何的外爾張量對于理解共形幾何非常重要。

1918年外爾出版Raum-Zeit-Materie（空間-時間-物質(zhì)）一書，此時他已經(jīng)開始思考如何筑牢廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)并加以擴(kuò)展。同一年，外爾發(fā)表了關(guān)于規(guī)范場論的第一篇文章，那是從數(shù)學(xué)上將引力理論同麥克斯韋電磁理論結(jié)合起來的嘗試，詳情見下。也許不算巧合的是，同一年在哥廷根出現(xiàn)了諾特定理，而這是規(guī)范場論的重要基礎(chǔ)。

1923 -1938年間外爾發(fā)展了用矩陣表示表述的緊致群理論。關(guān)于緊致李群他證明了基本的特征標(biāo)表，這是理解量子力學(xué)的對稱結(jié)構(gòu)的關(guān)鍵。外爾還給出了旋量問題的闡述。外爾關(guān)于群論的工作，加上維格納（Eugene Wigner，1902-1995）和馮·諾伊曼（John von Neumann, 1903-1957）的工作，奠立了量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，見下。關(guān)于非緊致群及其表示，特別是海森堡[4] (Werner Heisenberg, 1901-1976) 群，也捎帶著在1927年在外爾量子化的框架中給處理了。李群和李代數(shù)才成了純數(shù)學(xué)和理論物理的主流，外爾功不可沒。

4 外爾的物理成就外爾的物理貢獻(xiàn)在于相對論、量子力學(xué)，以及創(chuàng)立了基于相對論和量子力學(xué)的規(guī)范場論。環(huán)顧天下，有此能力與機(jī)遇故而享此榮耀者，僅此一人而已。愛因斯坦是量子力學(xué)、相對論和統(tǒng)計物理的奠基人；薛定諤是量子力學(xué)奠基人，做出了挽救規(guī)范場論的關(guān)鍵一步。這三人是終生的好朋友，且關(guān)于自然持比較一致的哲學(xué)觀點，實在是物理學(xué)的幸運。

4a) 群論與量子力學(xué)如果將1925年底薛定諤構(gòu)思波動方程算作新量子物理的起點，可以說外爾從一開始就參與了量子力學(xué)的創(chuàng)立。要確立薛定諤方程

的正當(dāng)性，那得有一個能表明它還算靠譜的例子。薛定諤將他的方程應(yīng)用于氫原子求解其定態(tài)波函數(shù)，不過那樣得到的三變量的二階微分方程的解，即便對于當(dāng)時已是數(shù)學(xué)物理教授的薛定諤本人來說，也是很難的。這個工作是在外爾的幫助下才完成的，詳情見下。

薛定諤1926年的量子力學(xué)奠基性論文的題目就是“作為本征值問題的量子化”，而算符的本征值問題可是外爾得出過定理的研究內(nèi)容，簡直是撞到他的槍口上了。量子力學(xué)數(shù)學(xué)的關(guān)鍵概念是希爾伯特空間，而希爾伯特就是外爾的導(dǎo)師。在量子力學(xué)中算符作用于波函數(shù)，那么在波函數(shù)不能得到具體形式的局面下如何研究得到物理？這就得用群論來定性分析算符及其本征函數(shù)和本征值了，而這又撞到外爾的槍口上了。僅僅到了1928年，量子力學(xué)還羽翼未豐呢，外爾的《群論與量子力學(xué)》就出版了，算得上是第一時間趕出來的。外爾的《群論與量子力學(xué)》和維格納1931年的《群論及其在原子譜量子力學(xué)中的應(yīng)用》是從群論角度理解量子力學(xué)的經(jīng)典，它們讓量子力學(xué)有了點學(xué)問的樣子，極大地促進(jìn)了量子理論的發(fā)展。李群的表示論就是為量子力學(xué)量身定做的，而外爾在群表示論和算子譜理論的權(quán)威研究讓他成了新物理學(xué)當(dāng)仁不讓的代言人。由于群論對于一些物理學(xué)家來說太難了，外爾他們當(dāng)時的努力竟然被誣為群瘟 (Gruppenpest)。后來的發(fā)展表明，群論是近代物理最有用的工具。這兩本群論，加上1930年狄拉克 (P.A.M. Dirac, 1902-1984) 的《量子力學(xué)原理》和1932年馮諾伊曼的《量子力學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)》，是量子力學(xué)在建立過程中就形成的經(jīng)典著作，是理解量子力學(xué)之創(chuàng)造的第一手資料[5]。

外爾于1939年在普林斯頓期間出版了The classical groups(經(jīng)典群) 此一經(jīng)典著作。該書共分為10章，包括導(dǎo)論、矢量不變量、矩陣代數(shù)與群環(huán)、對稱群與完全線性群、辛群、特征標(biāo)、不變量的一般理論、再論矩陣代數(shù)，最后一章是補(bǔ)綴。外爾之所以寫這本書，是因為他在1925年就得到了一個半單連續(xù)群的特征，他想用直接代數(shù)構(gòu)造為所有重要的群得到類似的結(jié)果，而當(dāng)其時他已掌握了所有的工具。學(xué)過一點群論的人，對外爾的The classical groups一書會特別有感覺。貫穿The classical groups 一書的是不變量理論 (invariant theory)，故可以和他的Elementary theory of invariants (不變量理論基礎(chǔ)) 一書參照著讀。不變量這個概念會把克萊因、希爾伯特、諾特和外爾聯(lián)系起來，會幫助我們理解什么叫“數(shù)學(xué)傳統(tǒng)”。The classical groups也被認(rèn)為是反映了外爾對數(shù)學(xué)一體性的堅持，人們評價這本書值得一讀再讀十遍地讀 (It’s the kind of book you read ten times—Atiyah)。當(dāng)然，這本書的序言比正文更有名氣。論及書的風(fēng)格，相較于那種給讀者以把他們關(guān)入了一個照明充分的小屋子，其中每一個細(xì)節(jié)都凸顯令人炫目的清晰而毫無陰影的那種印象，外爾寫道：

“I prefer the open landscape under a clear sky with its depth of perspective, where the wealth of sharply defined nearby details gradually fades away towards the horizon.”

我喜歡晴朗天空下有著深遠(yuǎn)景致的開闊地，那里眾多細(xì)節(jié)明晰的近景漸漸融入地平線。

“…The book is primarily meant for the humble who want to learn as new the things set forth therein, rather than for the proud and learned who are already familiar with the subject and merely look for quick and exact information about this or that detail.”
本書主要是給那些謙卑的、想將其中內(nèi)容當(dāng)作新事物學(xué)習(xí)的而非那些驕傲又博學(xué)的、早已熟悉相關(guān)主題故而只是想找點兒關(guān)于這個或者那個細(xì)節(jié)之便捷精確信息的人準(zhǔn)備的。

4b) 廣義相對論與規(guī)范場論相對論與瑞士的蘇黎世和德國的哥廷恩兩個小鎮(zhèn)有關(guān)。在蘇黎世給出狹義相對論幾何的閔可夫斯基是哥廷恩數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的領(lǐng)袖人物，第一個寫出引力場方程的希爾伯特是哥廷恩數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的領(lǐng)袖人物。畢業(yè)于哥廷恩的外爾于1913年到了蘇黎世的瑞士聯(lián)邦理工。外爾與愛因斯坦交好，又秉承哥廷恩的數(shù)學(xué)物理傳統(tǒng)，自然也會對相對論產(chǎn)生濃厚的興趣。廣義相對論涉及微分幾何、不變理論、群論等數(shù)學(xué)，都是外爾的拿手戲。如同閔可夫斯基完善了狹義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，外爾要完善和發(fā)展廣義相對論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。愛因斯坦的廣義相對論論文于1916年3月發(fā)表，1917年夏外爾即開設(shè)了廣義相對論課程，1918年出版了名著Raum-Zeit-Materie (空間-時間-物質(zhì)) 一書，因為，如他所言：

“Es lockte mich, an diesem gro?en Thema ein Beispiel zu geben für die gegenseitige Durchdringung philosophischen, mathematischen und physikalischen Denkens.”

它誘惑我關(guān)于這個主題給一個哲學(xué)的、數(shù)學(xué)的、物理的思想交相滲透的例子。

Raum-Zeit-Materie一書受真學(xué)物理的人的歡迎程度令人側(cè)目，僅僅到了1922年即已出到了第五版，法語和英語譯本也有了，被譽為不會過時的著作 (見1991版序) 。

Raum-Zeit-Materie一書的副標(biāo)題為Vorlesungen über Allgemeine Relativit?tstheorie (廣義相對論教程) ，分為歐幾里得空間、可測度的連續(xù)統(tǒng)、時空相對性和廣義相對論四章，意在展開一個簡單的基本思想 (die Entfaltung einer einfachen Grundidee)。一個數(shù)學(xué)家，在廣義相對論創(chuàng)立不久便及時地提供了廣義相對論的教程，詳細(xì)闡述了流形、聯(lián)絡(luò)與曲率，還有它們的物理詮釋。問題是，外爾是要發(fā)展這門學(xué)問，為這門學(xué)問夯實進(jìn)而拓展其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。這讓我想起了外爾導(dǎo)師希爾伯特的一件軼事。當(dāng)年希爾伯特受德國數(shù)學(xué)學(xué)會的指派撰寫數(shù)論研究的報告，人家希爾伯特當(dāng)時的境界竟然是要趁機(jī)為數(shù)論奠立基礎(chǔ) (lay the foundation)。確實，對于廣義相對論這種學(xué)問，不是外爾這樣的數(shù)學(xué)家還真未必能正確估量其價值——愛因斯坦本人也不行。對付廣義相對論這種學(xué)問，“…die Physik liefert die Enfahrungsgrundlage, die Mathematik das scharfe Werkzeug (物理提供經(jīng)驗基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)提供鋒利的工具) ”，二者缺一不可。

外爾1918年的德語論文“引力與電” (Gravitation und Elektrizit?t) 在其文后即有愛因斯坦從物理角度的詰難，這讓規(guī)范場論差點成了被洗澡水淹死的嬰兒。然而幸運的是，經(jīng)過薛定諤 (1922)、倫敦 (1927)、?？?(1927) 等人的工作，外爾最初的思想實現(xiàn)了同量子理論的結(jié)合，加上其1929年英文的“引力與電子” (Gravitation and the electron)和德文的“電子與引力 I.” (Elektron und Gravitation I.) 這兩篇文章, 其意在建立一個囊括引力、電和物質(zhì)的理論 (eine Gravitation, Elektrizit?t und Materie umfassende Theorie)，規(guī)范場論這門學(xué)問終于得以建立，最后經(jīng)非阿貝爾規(guī)范場論發(fā)展到標(biāo)準(zhǔn)模型，其間的過程波瀾壯闊。更多詳情參見本書的薛定諤一章及拙著《云端腳下-從一元二次方程到規(guī)范場論》，有興趣深入學(xué)習(xí)的讀者請參閱規(guī)范場論方面的原文與專著。

狄拉克方程來自電子的相對論質(zhì)能關(guān)系E^2=(pc)^2+(mc^2)^2，雖然推導(dǎo)過程中狄拉克也是大膽施為，但應(yīng)該說它還是有堅實的物理基礎(chǔ)的。狄拉克方程導(dǎo)致了反粒子的概念，且很快得到了證實 (參見拙著《驚艷一擊》)。與此相反，外爾方程來自將狄拉克方程中的一項之系數(shù)m 設(shè)為零，這樣做當(dāng)然沒有什么物理基礎(chǔ)。這種做物理的方法，未免顯得上不了臺面；沒有物理基礎(chǔ)的推導(dǎo)未能結(jié)出物理的果子，于情于理倒也說得過去。其實，要求存在無質(zhì)量的外爾費米子，從概念上說還有許多困難。將一個已知方程中的一項系數(shù)設(shè)為零，這對數(shù)學(xué)家來說簡直就是舉手之勞。如果外爾做過這樣的研究，得算是他人生的污點。有人愿意頑強(qiáng)地從外爾方程出發(fā)往下編故事是法律保障的自由，但以為大自然非要滿足這個方程就讓大自然太為難了。大自然沒有義務(wù)滿足某個人寫下的方程，哪怕是外爾的方程也不行。

更加有趣的是，關(guān)于外爾方程和外爾費米子的文章、書籍都說是在1929年德文的“電子與引力 I.”一文中外爾得到外爾方程的，然而翻遍原文也不見相關(guān)內(nèi)容，其中曲折，值得進(jìn)一步考證。

作為一個數(shù)學(xué)家，外爾似乎對物理理論該是什么樣兒沒有什么先驗的負(fù)擔(dān)。比如，關(guān)于左右對稱，在1929年那篇經(jīng)典論文中外爾就寫道：

“Wir werden sehen, da? man mit zwei Komponenten auskommt, wenn die Symmetrie von links and rechts aufgehoben wird().……Die Einschr?nkung 2 hebt die Gleichberechtigung von links und rechts auf.”
我們將看到，如果將左右對稱性取消，則兩個分量就夠用了?！拗茥l件2取消了左和右的平權(quán)。

后來的外爾旋量就分為左手的和右手的。三十年后的物理學(xué)界為是否放棄左右對稱性而經(jīng)歷的心靈掙扎，是物理學(xué)史上有趣的一頁。

4 外爾的哲學(xué)成就哥廷恩的數(shù)學(xué)傳統(tǒng)是包括哲學(xué)的。構(gòu)建數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，應(yīng)該是哲學(xué)性的勞動。外爾熟悉古希臘哲學(xué)和德國古典哲學(xué)，大學(xué)時選修過胡塞爾的哲學(xué)課，據(jù)信他對物理的處理方式多基于胡塞爾的現(xiàn)象學(xué)哲學(xué)。外爾所著的Was is Materie?， Raum-Zeit-Materie，Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft（數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的哲學(xué)），以及Das Kontinuum (連續(xù)統(tǒng)) [7]都是哲學(xué)味十足的名篇。后人編纂的Mind and Nature (思維與自然) 收錄的也是外爾的一些哲學(xué)思考。

在1918年的Das Kontinuum一書中，外爾使用羅素 (Bertrand Russell, 1872-1970) 的分支類型論 (ramified theory of types) 的較低層次發(fā)展了謂詞分析的邏輯，他實際上是發(fā)展了經(jīng)典運算的大部，但他既不使用選擇公理也不使用反證，還避免使用康托 (Georg Cantor，1845-1918) 的無限集合。這期間外爾采用的是費希特 (Johann Gottlieb Fichte，1762-1814) 的構(gòu)造主義。在連續(xù)統(tǒng)中，可構(gòu)造的點是分立的存在，而我們需要的不是那種作為點之集團(tuán)的連續(xù)統(tǒng),應(yīng)該構(gòu)造同物理意義自恰的連續(xù)統(tǒng)。該書出版后, 外爾轉(zhuǎn)向了布勞威爾 (L. E. J. Brouwer, 1881–1966) 的直覺主義。后來，外爾又覺得布勞威爾的直覺主義對數(shù)學(xué)施加了太強(qiáng)的限制。1921年，外爾寫了“關(guān)于數(shù)學(xué)新的基礎(chǔ)危機(jī)”一文，在數(shù)學(xué)界引起了極大的騷動。約在1928年后，外爾就公開認(rèn)為數(shù)學(xué)的直覺主義同他對現(xiàn)象學(xué)哲學(xué)的熱情不相容。晚年的外爾認(rèn)為數(shù)學(xué)是“符號構(gòu)造(symbolic construction)”。

1949年，外爾放棄了數(shù)學(xué)的直覺主義的價值。在1949年英文版Philosophy of mathematics and natural science中，外爾寫道:

"Mathematics with Brouwer gains its highest intuitive clarity. He succeeds in developing the beginnings of analysis in a natural manner, all the time preserving the contact with intuition much more closely than had been done before. It cannot be denied, however, that in advancing to higher and more general theories the inapplicability of the simple laws of classical logic eventually results in an almost unbearable awkwardness. And the mathematician watches with pain the greater part of his towering edifice which he believed to be built of concrete blocks dissolve into mist before his eyes.

“數(shù)學(xué)從布勞威爾那里獲得了高度的直覺上的清晰。他成功地以一種自然的方式開啟了分析的發(fā)展，一直保持住了比從前更加緊密的同直接的接觸。不可否認(rèn)的是，為了尋求更加高級、更具一般意義的理論，運用經(jīng)典邏輯的簡單法則最終會導(dǎo)致令人難以容忍的糟糕局面。數(shù)學(xué)家痛苦地看著他以為是用混凝土磚建立起來的大廈之大部眼睜睜地消解在迷霧中" 。

德語的Philosophie der Mathematik und Naturwissenschaft出版于1927年，那一年外爾已對相對論的幾何做了充分的研究、參與了1926年薛定諤量子力學(xué)波動方程解氫原子問題，泡利寫出了他的兩分量量子力學(xué)波動方程，而狄拉克的四分量相對論量子力學(xué)波動方程還要再等來年。在這本書里，外爾談了他關(guān)于數(shù)學(xué)邏輯、公理、連續(xù)統(tǒng)、無限、幾何[8]、時空、方法論、物質(zhì)以及因果律等觀念，而這些在筆者看來，是理解量子力學(xué)和相對論的關(guān)鍵。從筆者個人經(jīng)歷來看，缺乏對這些基本觀念的思考是大學(xué)階段學(xué)習(xí)量子力學(xué)和相對論時感到困惑的緣由。

外爾的科學(xué)哲學(xué)是對我們科學(xué)家有益的學(xué)問，如他所言，die Besch?ftigung mit der Philiosophie der Wissenschaften die Kenntnis der Wissenschaft selbst voraussetzt (拿科學(xué)哲學(xué)說事兒要以科學(xué)知識本身為前提)。如同萊布尼茲，對于外爾來說，數(shù)學(xué)是其哲學(xué)體系的有機(jī)組成部分。因為首先是個職業(yè)科學(xué)家，哲學(xué)家外爾的著作中多有實踐痕跡的表述，或者說，他的哲學(xué)論述是技術(shù)性的。略舉幾例，供讀者品味。

Wir haben die Wahrheit nicht, sondern sie will durch Handeln gewonnen sein

不是我們擁有真理，而是它可通過實踐被獲得；
Eine wahrhaft realistische Mathematik sollte, parallel zur Physik, als ein Zweig der theoretischen Konstruktion der einen realen Welt aufgefa?t warden
真正現(xiàn)實的數(shù)學(xué)應(yīng)該作為關(guān)于現(xiàn)實世界的理論構(gòu)造的一個分支，與物理平行，來理解；
Tats?chlich schreibt die allgemeine Relativit?tstheorie nicht die Topologie der Welt vor, und so mag es kommen, da? die Welt nicht blo? nach dem Unendlichen zu, sondern auch nach innen hinein unerreichbar S?ume tr?gt
實際上，廣義相對論并沒有規(guī)定世界的拓?fù)?，故而可能是這樣，世界不只是朝著無限之外也可能朝著內(nèi)里攜帶著不可抵達(dá)的遲疑。

此書包含大量數(shù)學(xué)與物理的基礎(chǔ)思想，有一定數(shù)學(xué)和物理知識儲備的讀者不妨讀讀，此處恕不詳述。

5 多余的話外爾作為一個職業(yè)數(shù)學(xué)家，但卻對量子力學(xué)、相對論和規(guī)范場論都有根本性的貢獻(xiàn)，原因不外有二：其一，這確實是理論物理，撞到他這個真數(shù)學(xué)家的槍口上了；其二，他和量子力學(xué)和相對論的物理學(xué)家奠基者們有親密的接觸。外爾研究廣義相對論，因為愛因斯坦是他在瑞士聯(lián)邦理工的同事，擴(kuò)展作為廣義相對論基礎(chǔ)的微分幾何的努力最終導(dǎo)向了規(guī)范場論的創(chuàng)立，而碰巧那中間的關(guān)鍵一步來自量子力學(xué)。

外爾1924年出版了具有哲學(xué)意味實際上是學(xué)不分科的Was ist Materie? (什么是物質(zhì)？) 一書，這是一個學(xué)會思考了的學(xué)者對自然存在的思考。不知道是不是受這本書的啟發(fā)，反正20年后薛定諤出版了 What is life? (什么是生命？)一書，一樣的是學(xué)不分科式的著作，一樣的是一個學(xué)會思考了的學(xué)者對自然存在的思考?？赡苎Χㄖ@的書更貼近生活吧，故What is life? 比Was ist Materie? 更為流行。然而，論學(xué)問，尤其是涉及到淵源，筆者可能會給予Was ist Materie?以更高的評價。當(dāng)然，把這兩本書放到一起看會帶來更大的收獲。

至于規(guī)范場論，規(guī)范場論始于外爾1918年的“引力與電”一文，其初始動機(jī)是擴(kuò)展廣義相對論用的微分幾何。希爾伯特第一個寫出廣義相對論場方程，比愛因斯坦早5天。外爾是希爾伯特的學(xué)生，是愛因斯坦的同事, 好象就是通過外爾的介紹，希爾伯特才邀請愛因斯坦于1915年夏去哥廷恩講學(xué)的?？梢哉f，外爾參與廣義相對論的進(jìn)一步發(fā)展是自然而然的事兒。規(guī)范場論其后發(fā)展的硬核思想基礎(chǔ)是1918年的諾特定理。諾特1915年應(yīng)克萊因和希爾伯特之邀到哥廷恩大學(xué)工作。雖然外爾和諾特可能在哥廷恩沒有交集，但無疑地他們都是深受克萊因和希爾伯特影響的哥廷恩學(xué)派頂級人物。1918年，諾特的“不變的變分問題” 和外爾的“引力與電”同時出現(xiàn)絕非偶然，是數(shù)學(xué)物理史上值得關(guān)注的大事件。

1954年出現(xiàn)的楊-米爾斯理論是對規(guī)范場論的提升與拓展。這里的主角楊振寧先生曾談到: “…當(dāng)我還是中學(xué)生的時候，就從父親那里接觸到群論的基本原理，也常常被父親書架上的一本斯派澤關(guān)于有限群的書中的美麗插圖所迷住。” 看看，人家是在中學(xué)生時代就接觸到了群論，而且是通過斯派澤（Andreas Speiser，1885-1970）的書籍。群論是相對論、量子力學(xué)和規(guī)范場論的基礎(chǔ)，先通群論對學(xué)習(xí)理論物理的益處，楊振寧先生可為一例。有趣的是，外爾在1937年的Symmetry一書的序言中赫然寫道:

“Andreas Speiser's Theorie der Gruppen von endlicher Ordnung and other publications by the same author are important for the synopsis of the aesthetic and mathematical aspects of the subject……”

斯派澤的有限群理論以及該作者的其他著述對于(對稱性)這一主題的美學(xué)與數(shù)學(xué)方面的概覽特別重要。

楊振寧先生后來發(fā)展了規(guī)范場論，看來不是偶然的。

羅嗦這么多，我特別想說，一個人要成為大學(xué)者，成長的環(huán)境太重要了。欲做學(xué)問者，須到學(xué)問家窩里去。如果你不明白這個道理，請好好理解維也納圈子 (Viena circle) 是什么意思。外爾的成就是在哥廷恩以外做出來的，可他依然是哥廷恩數(shù)學(xué)傳統(tǒng)的標(biāo)志性人物。在德國詩人海涅 (Heinrich Heine, 1797-1865) 筆下，哥廷恩是一個以香腸和大學(xué)而聞名的城市。這個城市睥睨天下的氣質(zhì)，可以從刻在老市政廳入口處的一句拉丁語口號看出： “Extra Gottingam non est vita, si est vita non est ita (哥廷恩以外沒有生活，有生活那也不是這里那樣的)。在外爾求學(xué)的時代，其導(dǎo)師希爾伯特是數(shù)學(xué)的旗幟，純粹思想的神龕(shrine of pure thought )，至于“全世界想學(xué)數(shù)學(xué)的人們打起背包，到哥廷恩去，那里有希爾伯特”的噱頭，雖說出處可疑，畢竟有其發(fā)生的現(xiàn)實基礎(chǔ)。第二次世界大戰(zhàn)結(jié)束前，美英法盟軍沒有轟炸哥廷恩，算是強(qiáng)盜有文化的案例，也是因為哥廷恩太過令人肅然起敬了。

一個人能成為學(xué)術(shù)巨擘不是偶然的。大抵說來，他應(yīng)該生來聰穎過人，導(dǎo)師也是學(xué)術(shù)巨擘級的，能教他深入的學(xué)問，引導(dǎo)他到學(xué)問的前沿。由此看來，老師們要不遺余力地教多、教深，才算是合格的，這也是一個教師的起碼良知。至于學(xué)生們能走多遠(yuǎn)，那要看學(xué)生們自己的造化。成巨擘的人，心思只可在學(xué)問本身。這樣看來，他還應(yīng)該是富足的，物質(zhì)上與精神上都富足，心無旁騖，不會為了生活所迫違心去做根本算不上研究的研究。

關(guān)于數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系，我總覺得一個人只有實現(xiàn)了物理學(xué)家and數(shù)學(xué)家的運算才可能實現(xiàn)理解數(shù)學(xué)or物理的結(jié)果。實際上，從牛頓、拉格朗日、歐拉、貝努里們、哈密頓、格拉斯曼、龐加萊、希爾伯特、外爾、諾特到眼前的阿諾德、阿提亞、彭羅斯等人，一個大數(shù)學(xué)家沒有對物理學(xué)的基礎(chǔ)性貢獻(xiàn)簡直是不可想象的。反過來，好的物理學(xué)家，如狄拉克、薛定諤、錢德拉塞卡、李政道先生、楊振寧先生等，其數(shù)學(xué)水平也不是一般意義的數(shù)學(xué)愛好者能比的。外爾的一句“In some way Euclid’s geometry must be deeply connected with the existence of the spin representation (歐幾里得幾何肯定以某種方式同自旋表示的存在深度關(guān)聯(lián)) ”讓我渾身一顫，當(dāng)然這主要是因為我數(shù)學(xué)差的原因。

外爾是數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家，也是文采斐然、風(fēng)格獨特的作家，其文筆優(yōu)美、頑皮，有人甚至夸獎他的文風(fēng)是詩意的。多么深沉、嚴(yán)肅的內(nèi)容，外爾都能寫出優(yōu)美的文字來，并且灌注入思想，因此讓人覺得讀來是個享受。外爾1939年在普林斯頓出版The classical groups時在序言中為自己的英語不流利而道歉：

The gods have imposed upon my writing the yoke of a foreign tongue that was not sung at my cradle.

“Was dies heissen will, weiss jeder,
Der im Traum pferdlos geritten.”
諸神給我的寫作強(qiáng)加上了枷鎖，那是我在搖籃中未曾聽過歌聲的語言?！澳鞘鞘裁礃拥母杏X呢，夢到自己胯下無馬還縱橫馳騁的人都知道?！?/p>

這讓英語是native language的人都無地自容。同一年，談?wù)摮橄蟠鷶?shù)同拓?fù)鋵W(xué)的競爭，外爾寫道：

“In these days the angel of topology and the devil of abstract algebra fight for the soul of each individual mathematical domain."

這些日子里，拓?fù)鋵W(xué)的天使和抽象代數(shù)的魔鬼在為每一塊數(shù)學(xué)地盤的靈魂而打斗！

嗯， 天使，魔鬼，還為了靈魂在打斗，這數(shù)學(xué)就顯得比較熱鬧。

不知道數(shù)學(xué)、物理和哲學(xué)的思想在外爾的靈魂里是怎樣打斗的，激烈而且和諧？

參考文獻(xiàn)

1. Emmy Noether, Invariante Variationsprobleme (不變的變分問題), Nachr. D. K?nig. Gesellsch. D. Wiss. G?ttingen 918, 235–57 (1918).

2. Andreas Speiser，Die Mathematische Denkweise，Springer(1952).

3. Hermann Weyl, Invariants, Duke Mathematical Journal 5 (3)，489–502(1939).

4. Hermann Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (群論與量子力學(xué))，S. Hirzel (1928). 英文版為The Theory of Groups and Quantum Mechanics, Dover (1931).

5. Hermann Weyl, Gravitation and the electron, PNAS 15 (4), 323-334(1929).

6. Hermann Weyl, Elektron und Gravitation I. (電子與引力 I.), Z. Phys. 56, 330-352(1929).

7. Hermann Weyl, über die neue Grundlagenkrise der Mathematik (關(guān)于數(shù)學(xué)新的基礎(chǔ)危機(jī)), Springer Mathematische Zeitschrift10, 45-66 (1921).

8. Hermann Weyl, Mind and Nature, Princeton University Press (2009).

9. Hermann Weyl, Philosophy of mathematics and natural science, Princeton University Press (1949).

10. Eugene Wigner, Gruppentheorie und ihre Anwendungen auf die Quantenmechanik der Atomspektren (群論及其在原子譜量子力學(xué)中的應(yīng)用), Vieweg (1931). 英文版為Group Theory: And its Application to the Quantum Mechanics of Atomic Spectra, Academic Press (1959).

11. John von Neumann, Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik, Springer (1932).

12. Michael Atiyah, Hermann Weyl 1885-1955, The national academy press (2002).

注釋

[1] 我最佩服的就是赫爾曼.外爾——邁克爾.阿提亞

[2] 中文譯本名為《實用理性批判》，但這容易讓筆者這樣的糊涂人理解為實用的‘理性批判’。此處故意點明這是關(guān)于‘實用理性’之批判。

[3] Quantenmechanik, 量子力學(xué)，一詞最早出現(xiàn)于1924年

[4] 海森堡因?qū)仃嚵W(xué)的貢獻(xiàn)而作為量子力學(xué)奠基人之一而聞名。實際上，他提出同位旋和交換相互作用的概念才更見水平。

[5] 忽然明白某些地方的量子力學(xué)的教與學(xué)差在哪兒了。

[6] 狄拉克說是自己硬推導(dǎo)出來的。

[7] 連續(xù)統(tǒng)的譯法涉嫌同義反復(fù)。‘統(tǒng)’字本身就是連續(xù)關(guān)系的意義

[8] 雖然初二就學(xué)過，但筆者打死也不敢說自己會歐幾里得幾何。牛頓能用平面幾何證明平方反比力下行星運動的軌跡是圓錐曲線，外爾從歐幾里得幾何能看到自旋表示。信誓旦旦敢說會的，都是因為知道的少。

[9] 球諧函數(shù)，聽著莫名其妙吧？Spherical harmonic function, 其實是球安裝函數(shù)，即用這樣的函數(shù)可以湊出一個球?qū)ΨQ的分布來。Harmony, 本義是安裝到位。