文小剛：月新年異的量子拓?fù)湮飸B(tài)丨眾妙之門

以量子霍爾效應(yīng)和高溫超導(dǎo)的發(fā)現(xiàn)為契機(jī)，又受到量子信息科學(xué)起飛的影響，凝聚態(tài)物理有了轟轟烈烈的發(fā)展。特別沿著量子拓?fù)湮飸B(tài)這一主線，使我們對(duì)物質(zhì)的形態(tài)，及其演生出的新的物理性質(zhì)和物理規(guī)律有了更深刻的理解。這些新的物理性質(zhì)可以用來建造各種新器件，如實(shí)現(xiàn)拓?fù)淞孔佑?jì)算的器件。發(fā)現(xiàn)的新的物理規(guī)律，甚至包括了描寫基本粒子的規(guī)律。這好像暗示著，我們周圍的真空就是一個(gè)由眾多量子比特所形成的量子拓?fù)湮飸B(tài)，而基本粒子是這個(gè)量子物態(tài)上的激發(fā)。這導(dǎo)致了一個(gè)信息與物質(zhì)統(tǒng)一的新的世界觀。量子拓?fù)鋺B(tài)之所以有這么多新奇的性質(zhì)和規(guī)律，是因?yàn)槠鋬?nèi)部隱含的多體量子糾纏結(jié)構(gòu)，而不是反映球面環(huán)面的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。量子拓?fù)洳皇峭負(fù)?，而是糾纏。多體量子糾纏是一個(gè)全新的現(xiàn)象，需要用全新的數(shù)學(xué)來描寫。一個(gè)還正在發(fā)展中的抽象數(shù)學(xué)，高階范疇學(xué)，就這樣進(jìn)入了物理。數(shù)學(xué)的前沿和物理的前沿如此的接近，還是牛頓以來的第一次。數(shù)學(xué)物理的相互激勵(lì)，導(dǎo)致了高階范疇學(xué)和凝聚態(tài)物理的蓬勃發(fā)展。這些深刻的進(jìn)展相當(dāng)于一次新的物理革命——第二次量子革命。需要指出的是，這些發(fā)現(xiàn)是由許多科學(xué)家努力完成的，諾獎(jiǎng)僅僅是表彰了其中的一些亮點(diǎn)。本文將延歷史脈絡(luò)介紹這些革命性的工作，短短數(shù)十年，我們對(duì)量子拓?fù)湮飸B(tài)的認(rèn)識(shí)已經(jīng)發(fā)生了翻天地覆的變化。

——文小剛

撰文 | 文小剛

過去三四十年來，凝聚態(tài)物理有許多革命性的進(jìn)展。特別是過去一二十年來，這些驚艷的進(jìn)展以爆發(fā)的形式出現(xiàn)。這些進(jìn)展的一個(gè)主線，是對(duì)量子物態(tài)有了更深刻的理解。下面我將簡單介紹這一方面的發(fā)展。

對(duì)稱所描寫的物質(zhì)世界

我們的世界豐富多彩，各種物質(zhì)形態(tài)千變?nèi)f化?？墒撬羞@些物質(zhì)態(tài)都有相同的組分，都是由質(zhì)子中子電子所組成的。為什么相同組分的物質(zhì)會(huì)有如此多的形態(tài)？各種不同物質(zhì)態(tài)的精髓到底是什么？1940年朗道給出了一個(gè)答案。他認(rèn)為各種物質(zhì)態(tài)之所以不同，是因?yàn)樾纬伤鼈兊馁|(zhì)子中子電子所組成的結(jié)構(gòu)，有不同的對(duì)稱性。從這個(gè)觀念出發(fā)，他發(fā)展了各種物質(zhì)態(tài)（也稱之為相）和它們之間相變的理論。朗道的這一理論，成為所有物態(tài)和所有相變的標(biāo)準(zhǔn)理論，也成為凝聚態(tài)物理的一塊基石。

走出對(duì)稱的世界

1980年整數(shù)量子霍爾效應(yīng)被von Klitzing發(fā)現(xiàn)[1]，其霍爾電導(dǎo)只能取整數(shù)值，與材料無關(guān)。通常一個(gè)材料的電導(dǎo)和它的純度溫度等條件密切相關(guān)，所以這一發(fā)現(xiàn)讓人大摔眼鏡，后來Thouless等四人意識(shí)到[2]，整數(shù)量子化的霍爾電導(dǎo)，和電子能帶的一個(gè)拓?fù)洳蛔兞俊悢?shù)——直接相關(guān)。由陳省身所發(fā)展的關(guān)于陳數(shù)的抽象數(shù)學(xué)理論，就這樣進(jìn)入了凝聚態(tài)物理。整數(shù)量子霍爾效應(yīng)是第一個(gè)量子拓?fù)湮飸B(tài)，其實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)和其拓?fù)淅碚摻忉尪极@得了諾貝爾獎(jiǎng)（1985年 von Klitzing，2016年部分 Thouless）。

其實(shí)Thouless等人關(guān)于整數(shù)量子化霍爾電導(dǎo)的陳數(shù)理論，是基于電子能帶理論的，其只適用于沒有相互作用的電子體系。當(dāng)多電子體系有相互作用的時(shí)候，特別是當(dāng)相互作用比較強(qiáng)的時(shí)候，其物理性質(zhì)根本不能用電子能帶理論來描述。因?yàn)檫@時(shí)候電子能帶根本就無法定義。這樣就產(chǎn)生了一個(gè)疑問，當(dāng)多電子體系有相互作用時(shí)，由電子能帶的拓?fù)湫再|(zhì)所推導(dǎo)出的整數(shù)量子化電導(dǎo)，到底還成立不成立？這一問題被Avron、Seiler、牛謙、Thouless和吳詠時(shí)解決[3-4]。他們針對(duì)有相互作用的多體電子體系，引入了一個(gè)全新的拓?fù)洳蛔兞?。其?shí)整數(shù)量子化霍爾電導(dǎo)是由這一新的拓?fù)洳蛔兞縼碇苯記Q定的，而不是由電子能帶的陳數(shù)來直接決定的，特別是在有相互作用的情況下。這樣第一個(gè)量子拓?fù)湮飸B(tài)的理論就完全建立起來了。

拓?fù)渌鑼懙男率澜?/p>

1982年，讓人更加吃驚的分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)被崔琦，Stormer和Gossard發(fā)現(xiàn)[5]，其霍爾電導(dǎo)只能取一些簡單的分?jǐn)?shù)值，如1/3，2/5等等。形成分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)的電子，是不可分割的基本粒子。但在分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)中，一個(gè)電子的行為表現(xiàn)，和三個(gè)帶電1/3的粒子相同。一個(gè)不可分割的基本粒子好像被拆成三個(gè)帶分?jǐn)?shù)電荷的粒子。這一完全沒想到的發(fā)現(xiàn)也獲得了諾貝爾獎(jiǎng)（1998崔琦，Stormer，Laughlin）。

1986年高溫超導(dǎo)被Bednorz，Müller發(fā)現(xiàn)（又是一個(gè)諾獎(jiǎng)發(fā)現(xiàn)）[6]。這一發(fā)現(xiàn)激勵(lì)了凝聚態(tài)物理理論學(xué)家，發(fā)展出形形色色腦洞大開的理論。其中一個(gè)理論是基于自旋液體的，其中同時(shí)帶電帶自旋的電子，好像自發(fā)地分裂成只帶自旋的自旋子和只帶電的空穴子?？昭ㄗ邮遣Ｉ?，其玻色凝聚可以導(dǎo)致出高溫超導(dǎo)。能產(chǎn)生高溫超導(dǎo)的自旋液體有很多，其中包括于1988年左右提出的手征自旋液體（破壞了宇稱對(duì)稱）[7-8]，和1991年提出Z2自旋液體（由Z2規(guī)范場(chǎng)描寫）[9-10]。很不幸的是，30多年后，這些自旋液體還沒有在實(shí)驗(yàn)材料中找到，雖然在理論上它們是自洽的，而且在某些數(shù)值計(jì)算的模型中被實(shí)現(xiàn)。

整數(shù)量子霍爾態(tài)，分?jǐn)?shù)量子霍爾態(tài)和各種各樣的自旋液體，都超出了朗道對(duì)稱性的理論。這是因?yàn)檫@些物態(tài)都帶有相同的對(duì)稱性，但又屬于不同的相。在朗道對(duì)稱理論中，具有相同對(duì)稱性的物態(tài)一定屬于同一個(gè)相。所以這些量子物態(tài)都超越了朗道對(duì)稱理論，代表了一種新的物質(zhì)形態(tài)。1989年，拓?fù)湫蜻@一概念被引入[11]，用來描寫這一新的物質(zhì)形態(tài)。（拓?fù)湫蜻@一名稱源于其低能有效理論，拓?fù)淞孔訄?chǎng)論[12]。）

拓?fù)湫虮举|(zhì)是量子糾纏

這一新的物質(zhì)形態(tài)的精髓到底是什么？20年后我們發(fā)現(xiàn)這一新的物質(zhì)形態(tài)的精髓（也就是拓?fù)湫虻木瑁┦情L程多體量子糾纏[13]。1989年，量子計(jì)算，多體量子糾纏還不流行。其實(shí)拓?fù)湫驊?yīng)被稱為長程量子糾纏序。我們知道對(duì)稱性，可以用數(shù)學(xué)中的群論來完全描寫。而長程多體量子糾纏，是一個(gè)全新的自然現(xiàn)象，需要用一個(gè)全新的數(shù)學(xué)語言來描寫。通過近十幾年的研究，我們發(fā)現(xiàn)，這一新的數(shù)學(xué)語言是一種很抽象的數(shù)學(xué)：融合高階范疇學(xué)。

長程量子糾纏（拓?fù)湫颍┠墚a(chǎn)生很多新奇的物理現(xiàn)象：分?jǐn)?shù)電荷[14]，分?jǐn)?shù)自旋[15]，自旋電荷分離[7-10]，拓?fù)浜啿11]，分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)[15-16]，甚至non-Abelian統(tǒng)計(jì)[17-18]。拓?fù)浜啿⒑蚽on-Abelian統(tǒng)計(jì)是拓?fù)淞孔佑?jì)算的基礎(chǔ)[19]。拓?fù)湫蜻€展現(xiàn)了拓?fù)淙⒃恚和負(fù)湫虮黄溥吔缤耆珱Q定[20-21]。

沒有拓?fù)湫虻男峦負(fù)湮飸B(tài)——拓?fù)浣^緣體

整數(shù)量子霍爾效應(yīng)有一個(gè)簡單的推廣：當(dāng)自旋向上的電子數(shù)目和自旋向下的電子數(shù)目分別守恒的時(shí)候，如果這兩種電子感受到方向相反的磁場(chǎng)，這些電子會(huì)產(chǎn)生整數(shù)量子化的自旋霍爾電導(dǎo)。這代表了一種新的物質(zhì)態(tài)，被稱為量子自旋霍爾態(tài)。可是如何在一塊材料中，讓自旋向上和自旋向下的電子感受到方向相反的磁場(chǎng)，從而實(shí)現(xiàn)這一種新的物質(zhì)態(tài)？這好像是不可能的事情。

后來人們發(fā)現(xiàn)電子的一個(gè)相對(duì)論性效應(yīng)，自旋軌道耦合，在適當(dāng)?shù)那闆r下可以讓自旋相反的電子感受到相反方向的有效磁場(chǎng)。2003年前后，張首晟等人，Kane等人，在這方面展開了大量的研究[22-23]。當(dāng)時(shí)遇到的一個(gè)攔路虎是，一般材料中的自旋軌道耦合，同時(shí)也破壞了自旋向上和自旋向下的電子數(shù)目分別守恒，這使自旋霍爾電導(dǎo)無法定義。整數(shù)量子化的自旋霍爾電導(dǎo)更加無從談起。這使得自旋軌道耦合無法產(chǎn)生量子自旋霍爾態(tài)。

這時(shí)的一個(gè)研究思路是，試圖重新定義自旋霍爾電導(dǎo)，使這個(gè)新的定義，即使在自旋向上和自旋向下的電子數(shù)目不分別守恒時(shí)也能成立，從而實(shí)現(xiàn)量子自旋霍爾效應(yīng)。很遺憾的是這一思路最后沒有成功，浪費(fèi)了幾年寶貴的時(shí)間。

2005年，Kane和Mele發(fā)現(xiàn)[24]，當(dāng)有自旋軌道耦合的時(shí)候，電子能帶會(huì)有一個(gè)全新的Z2拓?fù)洳蛔兞俊＿@一新的拓?fù)洳蛔兞亢土孔幼孕魻栯妼?dǎo)毫無關(guān)系。它的發(fā)現(xiàn)代表了一個(gè)全新的量子拓?fù)湮飸B(tài)。這一通過理論發(fā)現(xiàn)的新的量子拓?fù)湮飸B(tài)，后來被稱為拓?fù)浣^緣體。這一理論預(yù)言很快被實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)和證實(shí)，開啟了拓?fù)浣^緣體的研究方向和熱潮。拓?fù)湫虻耐負(fù)淙⒃硗瑯舆m用于拓?fù)浣^緣體，并在其發(fā)展中起了很大作用。

拓?fù)浣^緣體不是量子自旋霍爾態(tài)。不幸的是，一些文獻(xiàn)把量子自旋霍爾態(tài)和拓?fù)浣^緣體這兩種不同的拓?fù)湮飸B(tài)混為一談，給初學(xué)者造成了很大的困惑。另外，拓?fù)浣^緣體沒有長程量子糾纏，不含有拓?fù)湫?。也有一些文獻(xiàn)混淆了拓?fù)浣^緣體和拓?fù)湫?，造成了混亂。

含有拓?fù)湫虻牧孔幼孕后w和量子霍爾態(tài)，是超越朗道對(duì)稱理論的量子物態(tài)。不含拓?fù)湫虻耐負(fù)浣^緣體，也是超越朗道對(duì)稱理論的量子物態(tài)。我們知道拓?fù)湫虻木枋情L程多體量子糾纏。那么拓?fù)浣^緣體的精髓是什么？也許有人會(huì)說：拓?fù)浣^緣體的精髓是電子能帶的Z2拓?fù)洳蛔兞?。其?shí)這種說法不完全正確。電子能帶的Z2拓?fù)洳蛔兞恐贿m用于沒有相互作用的電子體系，因?yàn)橹挥袥]有相互作用的電子體系才能被電子能帶來刻畫。而拓?fù)浣^緣體這一新的量子物態(tài)，不僅出現(xiàn)于沒有相互作用的電子體系之中，也出現(xiàn)于含有強(qiáng)電子相互作用的體系。這時(shí)電子能帶的Z2拓?fù)洳蛔兞窟@一理論將不再適用。所以我們又回到了原點(diǎn)，拓?fù)浣^緣體的精髓和真實(shí)內(nèi)涵到底是什么？

拓?fù)浣^緣體的內(nèi)涵——對(duì)稱保護(hù)的短程糾纏

這一探索有一個(gè)不同的起點(diǎn)。很早我們就知道，由1/2自旋所形成的，帶有反鐵磁相互作用的一維自旋系統(tǒng)，由于強(qiáng)量子漲落，不能形成一個(gè)自旋序的無能隙的反鐵磁態(tài)。但它能形成近似于自旋序的無能隙量子態(tài)。這時(shí)人們普遍認(rèn)為由1自旋所形成的，帶有反鐵磁相互作用的一維自旋系統(tǒng)，由于有較弱量子漲落，也一定會(huì)形成近似于自旋序的無能隙量子態(tài)。1983年，Haldane指出這一猜想并不正確[25]（這也是他獲得2016諾獎(jiǎng)的一個(gè)原因）。他發(fā)現(xiàn)，只有半整數(shù)自旋形成的一維自旋系統(tǒng)，能形成近似于自旋序的無能隙量子態(tài)。而整數(shù)自旋形成的一維自旋系統(tǒng)，只能形成完全沒有自旋序的有能隙量子態(tài)。Affleck，Kennedy，Lieb，Tasaki和后來的吳大琪發(fā)現(xiàn)[26-27]，這些有能隙的量子態(tài)有分?jǐn)?shù)化現(xiàn)象：體系的邊界會(huì)產(chǎn)生一個(gè)有效自旋，其自旋值只是原來形成一維自旋體系的自旋值的一半。那么這些有能隙，又有邊界分?jǐn)?shù)化的量子物態(tài)，是不是超越朗道對(duì)稱理論的新的量子物態(tài)？這一問題困惑了物理學(xué)家二三十年。直到2012年，這一問題才得到圓滿的解決[28]，其答案是有時(shí)候是，有時(shí)候不是。我們發(fā)現(xiàn)由偶整數(shù)自旋所形成的有能隙量子態(tài)，并沒有超越朗道對(duì)稱理論，是老的量子物態(tài)。而由奇整數(shù)自旋所形成的有能隙量子態(tài)，是超越朗道對(duì)稱理論的新型量子物態(tài)[29]。這一新型量子物態(tài)并沒有長程量子糾纏（也就是說沒有拓?fù)湫颍?/p>

一個(gè)量子物態(tài)，如果沒有拓?fù)湫?，大家一直以為這個(gè)量子物態(tài)一定是一個(gè)能被朗道對(duì)稱理論所描寫的老的量子物態(tài)。的確，如果沒有對(duì)稱性，這一觀點(diǎn)是正確的。因?yàn)槿绻麤]有對(duì)稱性，所有沒有拓?fù)湫虻牧孔芋w系都屬于同一個(gè)相。這與朗道對(duì)稱理論的結(jié)論相吻合：如果沒有對(duì)稱性，所有有能隙的量子體系都屬于同一個(gè)相。

但是如果有對(duì)稱性，我們會(huì)有完全不同的結(jié)論。2009年顧正澄和我研究了奇整數(shù)自旋所形成的有能隙量子態(tài)[29]。我們發(fā)現(xiàn)這些有能隙量子態(tài)沒有拓?fù)湫?，只具有短程量子糾纏。它們和0自旋所形成的有能隙量子態(tài)具有完全相同的對(duì)稱性，同時(shí)又都不含有拓?fù)湫??？善婀值氖牵覀冇职l(fā)現(xiàn)這兩種有能隙的量子態(tài)又屬于不同的相。這說明在有對(duì)稱性的情況下，不含有拓?fù)湫蛲瑫r(shí)又具有相同對(duì)稱性的量子態(tài)，完全可以屬于不同的相。這超出了朗道對(duì)稱理論的認(rèn)知，屬于新的一類量子態(tài)。我們把這一類量子態(tài)，稱為對(duì)稱保護(hù)平庸態(tài)（這里平庸指不含拓?fù)湫颍？梢蚱浞謹(jǐn)?shù)化的邊界自旋，當(dāng)時(shí)已經(jīng)有很多人把整數(shù)自旋所形成的有能隙量子態(tài)，稱為拓?fù)湮飸B(tài)。所以我們把這一類量子態(tài)，又稱為對(duì)稱保護(hù)拓?fù)鋺B(tài)。兩種名字的英文縮寫都是SPT。一個(gè)名字，兩種理解，因人而異，各取其用。

因?yàn)橥負(fù)浣^緣體不含拓?fù)湫?，但帶有?duì)稱性，并受對(duì)稱性保護(hù)，所以拓?fù)浣^緣體的精髓和內(nèi)涵是對(duì)稱保護(hù)的短程多體量子糾纏，是屬于一種SPT量子物態(tài)。這一理解適用于沒有相互作用的電子體系，也適用于有相互作用的電子體系，又適用于有相互作用的玻色子體系，是一個(gè)本質(zhì)上的理解。

短程多體量子糾纏是一個(gè)比較簡單的量子現(xiàn)象，加上對(duì)稱性也沒有復(fù)雜很多。一兩年后我們就發(fā)現(xiàn)了描寫這一物理現(xiàn)象的數(shù)學(xué)語言：群的上同調(diào)理論[30]。這也是一個(gè)比較抽象的近代數(shù)學(xué)。

21世紀(jì)屬于量子糾纏

一個(gè)全新的物理現(xiàn)象，常常需要一個(gè)全新的數(shù)學(xué)語言。而數(shù)學(xué)語言的發(fā)展又能幫助我們建立這一物理現(xiàn)象的完備理論。凝聚態(tài)物理最新的一些發(fā)展正反映了這一歷史規(guī)律。這些發(fā)展和量子計(jì)算，基本粒子理論和量子引力理論都有非常廣泛深刻的聯(lián)系，甚至指出了一個(gè)物質(zhì)與信息統(tǒng)一的新的世界觀。這似乎也揭示了21世紀(jì)物理的主角應(yīng)該是量子糾纏。

參考文獻(xiàn)

[1] K. v. Klitzing, G. Dorda, and M. Pepper, Phys. Rev. Lett. 45, 494 (1980).

[2] D. J. Thouless, M. Kohmoto, M. P. Nightingale, and M. den Nijs, Phys. Rev. Lett. 49, 405 (1982).

[3] J. E. Avron and R. Seiler, Phys. Rev. Lett. 54, 259 (1985).

[4] Q. Niu, D. J. Thouless, and Y.-S. Wu, Phys. Rev. B 31, 3372 (1985).

[5] D. C. Tsui, H. L. Stormer, and A. C. Gossard, Phys. Rev. Lett. 48, 1559 (1982).

[6] J. G. Bednorz and K. A. Mueller, Z. Phys. B 64, 189 (1986).

[7] V. Kalmeyer and R. B. Laughlin, Phys. Rev. Lett. 59, 2095 (1987).

[8] X.-G. Wen, F. Wilczek, and A. Zee, Phys. Rev. B 39, 11413 (1989).

[9] N. Read and S. Sachdev, Phys. Rev. Lett. 66, 1773 (1991).

[10] X.-G. Wen, Phys. Rev. B 44, 2664 (1991).

[11] X.-G. Wen, Phys. Rev. B 40, 7387 (1989).

[12] E. Witten, Commun.Math. Phys. 121, 351 (1989).

[13] X. Chen, Z.-C. Gu, and X.-G. Wen, Phys. Rev. B 82, 155138 (2010), arXiv:1004.3835.

[14] R. B. Laughlin, Phys. Rev. B 23, 5632 (1981).

[15] F. Wilczek, Phys. Rev. Lett. 48, 1146 (1982).

[16] J. M. Leinaas and J. Myrheim, Nuovo Cim B 37, 1 (1977).

[17] X.-G. Wen, Phys. Rev. Lett. 66, 802 (1991).

[18] G. Moore and N. Read, Nucl. Phys. B 360, 362 (1991).

[19] A. Kitaev, Ann. Phys. 303, 2 (2003).

[20] X.-G. Wen, Phys. Rev. B 43, 11025 (1991).

[21] L. Kong, X.-G. Wen, and H. Zheng, (2015), arXiv:1502.01690.

[22] S. Murakami, N. Nagaosa, and S.-C. Zhang, Science 301, 1348 (2003), arXiv:cond-mat/0308167.

[23] C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, 226801 (2005), arXiv:cond-mat/0411737.

[24] C. L. Kane and E. J. Mele, Phys. Rev. Lett. 95, 146802 (2005), arXiv:cond-mat/0506581.

[25] F. Haldane, Phys. Lett. A 93, 464 (1983).

[26] I. Affleck, T. Kennedy, E. H. Lieb, and H. Tasaki, Phys. Rev. Lett. 59, 799 (1987).

[27] T.-K. Ng, Phys. Rev. B 50, 555 (1994).

[28] F. Pollmann, E. Berg, A. M. Turner, and M. Oshikawa, Phys. Rev. B 85, 075125 (2012), arXiv:0909.4059.

[29] Z.-C. Gu and X.-G. Wen, Phys. Rev. B 80, 155131 (2009), arXiv:0903.1069.

[30] X. Chen, Z.-C. Gu, Z.-X. Liu, and X.-G. Wen, Science 338, 1604 (2012), arXiv:1301.0861.