“握手”這件事，竟然可以用方程式來求解！

數(shù)學是一種語言，方程式是它的基本表達方式。我們都知道，宇宙的運行遵循某些規(guī)律。我們稱之為科學，并用數(shù)學語言描述這些規(guī)律。這些規(guī)律用數(shù)學語言表述的話，就是方程式。世間萬物，無論是星系的形成，還是孩子鼻子上的雀斑圖案，都跟這些方程式有關(guān)。無論你喜歡與否，也無論你是個單憑感覺躍躍欲試的人，還是個在意秩序與細節(jié)的人，你生活的方方面面都由方程式主導著。方程式并不在乎你理解與否，依舊控制著你周圍的一切事務(wù)。所以，是時候跟數(shù)學的世界變得更熟悉了?！拔帐帧边@件事，也可以用方程式來解答。

你是國家領(lǐng)導人峰會的官方攝影師， 也是捕捉拍攝對象最佳狀態(tài)的專家。主辦方要求你盡量多拍一些握手的照片。但這里有個問題，最后兩位國家元首還有一個小時才能到場。這是一對自視甚高、嘩眾取寵的小丑。他們的發(fā)型讓人摸不著頭腦．政治立場更是可疑。其他100位國家元首中，沒有一個愿意與他們握手。你知道一旦他們到達，所有元首都會停止握手。在這之前，你有時間拍下每一對可能握手的領(lǐng)導人照片嗎?

握手問題在數(shù)學中是一個有著廣泛研究的領(lǐng)域，其中十分出名的是各種各樣又有趣的解決握手問題的方法。為了應對挑戰(zhàn)，知道總共要拍多少張照片會十分有用。我們觀察下面這幾組人，看看他們需要握多少次手。

安娜問候鮑勃，那么目前只握了一次手。

卡拉來了。她需要與安娜和鮑勃握手，所以握手的次數(shù)增加了2 次。

迭戈來了。他需要與安娜、鮑勃和卡拉握手，所以握手的次數(shù)增加了 3 次。

當伊迪絲來的時候，她需要握 4 次手。依此類推。舉個例，當?shù)?25 個人來的時候，他需要和已在那里的 24 個人握手。第 n 個人必須與第 n - 1 個已到場的人握手。所以，要計算 100 個人需要握多少次手，你需要算出 1 + 2 + 3 +…+ 98 + 99。

在這里，你可以簡單地花點時間用計算器，但是連續(xù)整數(shù)相加又是另一個古老的數(shù)學問題。解決這個問題的一種方法是用一些由點構(gòu)成的三角形。如果你有五個人，你需要握 1 + 2 + 3 + 4 次手，你可以用一個三角形的點陣來表示：

你想要得到三角形內(nèi)點的數(shù)量的公式。

矩形中的點的數(shù)量比較容易計算，所以，如果你再加上一個由相同數(shù)量的點組成的三角形，你就得到了一個寬 4 點高 5 點的矩形。

矩形中有 4 × 5 = 20 個 點， 這意味著每個三角形中必須有20 ÷ 2 = 10 個點。歸納一下，你可以看到如果三角形有 r 列，由兩個這樣的三角形組成的矩形就會有 r + 1 行。這意味著矩形中有 r ×（r + 1）個點。為了算出原來三角形的點的數(shù)量，你必須把這個減半，得出公式：

數(shù)學家十分熟悉該公式，也很了解其中的故事。在 18 世紀晚期，德國數(shù)學奇才卡爾·高斯（Carl Gauss）還是一名小學生時，他的老師給他布置了一個任務(wù)：把 1 到 100 的所有數(shù)字相加。傳說高斯發(fā)現(xiàn)了這個捷徑，并當場解決了這個問題，這讓他懶惰的老師既氣惱又尷尬。高斯后來成了最偉大的數(shù)學家之一。

對于 n 個人握手，你需要握 r = n–1 輪，因為你要使握手的輪數(shù)比總?cè)藬?shù)少 1。將公式中的 r 替換為 n–1，得到：

結(jié)果等于 4,950 次握手。拍這些照片，每張照片預計只需10 秒，但總共要花 49,500 秒，也就是 13 小時 45 分鐘。所以沒有辦法在一小時內(nèi)拍完所有的照片。但是會議中心請你來，并不想聽你表示無能為力。讓我們來看看你能做些什么。

刷新世界紀錄的總統(tǒng)

在 1907 年的元旦，美國總統(tǒng)西奧多·羅斯福在白宮舉行了一個開放日，公眾可以來和他們的領(lǐng)導人見面。到白宮大門關(guān)閉之時，羅斯福已經(jīng)和 8,513 個人握手了。這創(chuàng)下了單日握手次數(shù)最多的世界紀錄，這一紀錄保持了近 60 年。最長的握手紀錄是兩對被稱為“握手族”的人士 2011 年創(chuàng)下的，他們在 33 小時 3 分鐘之后才停止握手。

假設(shè)一開始你為各國元首第一輪握手都拍了一張照片。100 個人的話，就是 50 次握手，這將花費 500 秒的時間來拍攝。那么讓我們看看你能在剩下的時間里給多少人拍完整的照片。拍照的時間是握手次數(shù)乘以 10 秒，所以：

你有 1 小時，也就是 60 × 60 = 3,600 秒。我們已經(jīng)用了 500 秒，確保每個人都有至少一張照片，還剩下 3,100 秒。你需要求解的方程是： 3,100 = 5 （n–1）n

首先，方程兩邊同除以 5：

620 =（n–1）n

然后展開括號：

這種方程稱為二次方程，因為未知數(shù) n 是平方的形式。這種方程不像線性方程那么容易解，但如果你把方程變成一邊等于零的形式，你可以使用二次方程求根公式（見緒言）。為了讓我們的方程變成一邊等于零，則方程兩邊同時減去 620：

得數(shù)應為正數(shù)且保留至小數(shù)點后一位，得出 n = 25.4。這意味著你可以拍下 25 個人握手的照片，需要 5 × 24 × 25 = 3,000 秒。這還給我們預留了 100 秒的時間，你可以用這點時間再拍 10 張照片，或者擦擦你額頭上的汗。

你可以用圖來表示所有國家元首握手的情況。如果你把 100 位國家元首當作一個圓周上的點，用點與點之間的連線來代表握手，你會得到一個復雜的圖。此圖名為“神秘玫瑰”，也許是因為它看起來有點像老教堂里那種圓形玫瑰彩色玻璃窗。真正讓人感到不可思議的是，雖然事實上，這個圖完全是由直線構(gòu)成，但它看上去似乎有同心圓和曲線。下圖是 25 人之間握手的玫瑰圖，由愛德華·普拉特（Edward L. Platt）在其個人網(wǎng)站的神秘玫瑰生成器制作。

神秘玫瑰對你的問題并沒有什么幫助，但它看起來確實很棒。

主辦方對你的解決方案很滿意。當一架引人注目的大型直升機和一隊豪華轎車停在會場外的時候，你的任務(wù)也剛好完成。

延伸閱讀：《方程式之美：隱藏在萬事萬物背后的數(shù)學公式》