神奇蟲(chóng)洞，不止科幻

許多人都應(yīng)該聽(tīng)說(shuō)過(guò)“蟲(chóng)洞”，無(wú)論是從科幻角度可穿越時(shí)空的遐想，亦或是從理論物理學(xué)前沿的學(xué)術(shù)新聞里感到不明覺(jué)厲，可蟲(chóng)洞究竟是什么？它如何成為連接時(shí)空的結(jié)構(gòu)，只是物理學(xué)家的玩具嗎？事實(shí)上，近年來(lái)在量子引力的研究中，蟲(chóng)洞潛藏著我們?nèi)晕窗l(fā)現(xiàn)的深意。

撰文 | 安宇森

蟲(chóng)洞（wormhole）是一種神奇的時(shí)空結(jié)構(gòu)，同時(shí)物理學(xué)的研究也愈加證明，蟲(chóng)洞是連接量子理論和引力理論的鑰匙。本文擬從洛倫茲（包含時(shí)間和空間）蟲(chóng)洞和歐幾里得蟲(chóng)洞兩個(gè)方面，來(lái)介紹蟲(chóng)洞這一基本概念，及其在理論物理學(xué)中的作用。

洛倫茲蟲(chóng)洞

首先，我們介紹洛倫茲蟲(chóng)洞。洛倫茲蟲(chóng)洞是時(shí)空中可能存在的蟲(chóng)洞結(jié)構(gòu)，它是真實(shí)存在的物理客體。

關(guān)于?洞最早的研究啟發(fā)?卡爾·薩根的?說(shuō)《接觸》（Contact），這本?說(shuō)也被成功的影視化了，由羅伯特·澤?吉斯指導(dǎo)的同名影?《超時(shí)空接觸》（Contact）?受好評(píng)。在最初?說(shuō)的原稿中，作者利??洞來(lái)實(shí)現(xiàn)時(shí)空隧道。但是其好友Kip Throne卻表?擔(dān)憂，作為研究?義相對(duì)論的?家，他很清楚?洞是很難作為時(shí)空隧道這種結(jié)構(gòu)的。但是這激發(fā)了Kip Throne的研究興趣，從?后來(lái)開(kāi)展了最初關(guān)于?洞的?系列研究。

蟲(chóng)洞和能量條件

時(shí)空穿越是科幻愛(ài)好者?個(gè)永恒的興趣，?可穿越的?洞似乎是實(shí)現(xiàn)它的?個(gè)很好的路徑。因此?洞研究的?個(gè)重要的??，即研究它的可穿越性。通常的?義相對(duì)論研究中，都是知道?個(gè)物質(zhì)分布，然后研究這個(gè)物質(zhì)分布會(huì)給出的時(shí)空形狀；然?蟲(chóng)洞研究中，物理學(xué)家的?的是實(shí)現(xiàn)特定的時(shí)空形狀——因此Morris和Throne考慮反其道??之，先給出關(guān)于時(shí)空結(jié)構(gòu)的限制，然后再通過(guò)愛(ài)因斯坦場(chǎng)?程進(jìn)?物質(zhì)分布的求解。

最初的計(jì)算是在球?qū)ΨQ坐標(biāo)系下進(jìn)?的，他們發(fā)現(xiàn)如果要想滿?特定的?洞時(shí)空結(jié)構(gòu)，那么所需要的物質(zhì)分布?定是違反能量條件的，通俗地來(lái)講，需要引?奇異的負(fù)能物質(zhì)[1]。這件事情可以通過(guò)測(cè)地線匯的辦法很?然地看出來(lái)。?般在?義相對(duì)論中，為了探究時(shí)空的?些性質(zhì)，通過(guò)測(cè)地線匯的變化可以在不解愛(ài)因斯坦?程的情況下，就能夠得出?些結(jié)論。例如這?，如果需要?個(gè)?洞結(jié)構(gòu)連接兩個(gè)不同的時(shí)空區(qū)域并可實(shí)現(xiàn)穿越，那么通過(guò)它的光線需要先匯聚到?洞的喉部（即蟲(chóng)洞結(jié)構(gòu)中的最窄處），再?gòu)暮聿堪l(fā)出。廣義相對(duì)論中，光線的匯聚還是發(fā)散，可以通過(guò)類光測(cè)地線匯的膨脹給出，描述它的方程通常叫作Ray-Chaudhuri?程，方程如下：

我們可以選擇，滿?旋轉(zhuǎn)和剪切都為0的線匯，σ=ω=0，這樣根據(jù)通過(guò)?洞的線匯的特征，可知在?洞的喉部?定存在 dθ/dλ=0 的位置，這暗?了如下的?程

再根據(jù)?義相對(duì)論可知

這便破壞了類光能量條件，因此?洞的存在?定需要在它的喉部引?負(fù)能量的奇異物質(zhì)。

這種奇異物質(zhì)的引?讓?洞的構(gòu)造變得?常困難，這種違反類光能量條件的物質(zhì)?般只有量?理論中才會(huì)允許，且通常?分微?。同時(shí)如果滿足?洞可以通過(guò)，我們還需要考慮?洞作用于?體所產(chǎn)生的潮汐?效應(yīng)，在?體可以忍受的潮汐?的條件之下，理論預(yù)??洞將會(huì)?常巨?，?這么巨?的空間都存在奇異物質(zhì)將其?撐，顯得更為困難。不過(guò)，或許正如科幻?說(shuō)《三體》幻想的那樣，?限發(fā)達(dá)的?明可以在物理定律允許的條件下，不受技術(shù)壁壘的限制做到任何事情——建造?洞這種事情仍然可以暢想。

蟲(chóng)洞與時(shí)間機(jī)器

既然?洞可以看作宇宙中連接遙遠(yuǎn)兩點(diǎn)之間的近路，那么或許?洞可以被改造為時(shí)間機(jī)器。[2]在時(shí)間機(jī)器的討論中，我們忽略?些細(xì)節(jié)，只把?洞看成是連接時(shí)空中（t, 0)和（t, L）兩點(diǎn)之間的機(jī)器，?洞的入口對(duì)應(yīng)(t,0)，?出口對(duì)應(yīng)(t,L)。如果我們讓出口相對(duì)于入口進(jìn)??速運(yùn)動(dòng)，那么根據(jù)狹義相對(duì)論的鐘慢效應(yīng)（如雙??佯謬），出口和?口之間就會(huì)形成?個(gè)時(shí)間差T；然后我們縮短空間距離L為0，讓出口和?口回歸?點(diǎn)，那么從?口到出口，時(shí)間就會(huì)發(fā)??個(gè)T的躍變，?這就完成了穿越到過(guò)去或者未來(lái)的操作。這便是通過(guò)?洞構(gòu)建時(shí)間機(jī)器的?個(gè)最簡(jiǎn)化的版本。

時(shí)間機(jī)器或許相?于?洞，更能激發(fā)?們的興趣，因?yàn)??總是充滿著各種各樣的遺憾。當(dāng)????暮年，也有各種各樣的悔恨，時(shí)間機(jī)器或許就可以給??次重新來(lái)過(guò)的機(jī)會(huì)，來(lái)彌補(bǔ)這些遺憾。因此?數(shù)凄美動(dòng)?的愛(ài)情故事，都可以在此背景下鋪展開(kāi)來(lái)。

然?時(shí)間機(jī)器的出現(xiàn)會(huì)引發(fā)很多因果性上的難題，因此在?多數(shù)時(shí)候，時(shí)間機(jī)器只被看作是玩鬧，??正經(jīng)的科學(xué)研究課題?；蛟S“?然憎惡時(shí)間機(jī)器”，?物理學(xué)家們需要做的就是找到相應(yīng)的物理原理，來(lái)證明時(shí)間機(jī)器不可能被制成。

蟲(chóng)洞與量子糾纏

1997年，Maldacena帶著他的AdS/CFT原始論?，給理論物理學(xué)界炸響了?顆驚雷，從此越來(lái)越多的學(xué)者開(kāi)始研究引?的全息性質(zhì)。[3]后來(lái)，基于Maldacena 2001年的論?結(jié)論[4]，Raamsdonk?先通過(guò)簡(jiǎn)單的論證發(fā)現(xiàn)，?洞和量?糾纏具有本質(zhì)聯(lián)系，即ER=EPR猜想。[5](ER=EPR這個(gè)名號(hào)，是2013 年經(jīng)Susskind和Maldacena的?作正式提出，?的是解決?洞的?墻問(wèn)題[6]。) ER指代愛(ài)因斯坦-羅森橋，它是連接兩個(gè)?洞之間的區(qū)域，可以看作是?洞研究的前?。不過(guò)它是不可穿越的，任何穿越愛(ài)因斯坦-羅森橋的舉動(dòng)，都不可避免的落??洞奇點(diǎn)。EPR指代的則是量?糾纏。

愛(ài)因斯坦-羅森橋丨圖?來(lái)源：arXiv: 2110.14958

下?我們簡(jiǎn)單介紹這?觀點(diǎn)，2001年，Maldacena的研究?作發(fā)現(xiàn)，量?場(chǎng)論中的熱場(chǎng)?重態(tài)TFD

對(duì)應(yīng)于?個(gè)相應(yīng)的AdS史?西?洞，它的彭羅斯圖和史?西?洞的最?解析沿拓的彭羅斯圖一致。當(dāng)然，如果盯著彭羅斯圖的某個(gè)空間截?來(lái)看，它可以理解為兩個(gè)通過(guò)中間的?洞結(jié)構(gòu)連接的?洞。

熱場(chǎng)?重態(tài)和史?西?洞的對(duì)應(yīng)丨圖?來(lái)源：arXiv: 1005.3035

?們發(fā)現(xiàn)，這個(gè)熱場(chǎng)?重態(tài)是?個(gè)糾纏態(tài)，?調(diào)節(jié)溫度（也就是這?的β) ，就對(duì)應(yīng)于調(diào)節(jié)了左右兩邊的糾纏。當(dāng)溫度很低時(shí)，上?的糾纏態(tài)會(huì)變成沒(méi)有糾纏的直積態(tài)；當(dāng)溫度很?時(shí)，它會(huì)成為最?糾纏態(tài)。研究發(fā)現(xiàn)，隨著溫度從高到低的變化，蟲(chóng)洞結(jié)構(gòu)中間的喉會(huì)逐漸變窄直?斷開(kāi)。因此我們發(fā)現(xiàn)從邊界理論的視?來(lái)看減?糾纏的這個(gè)操作，對(duì)應(yīng)于減?兩個(gè)?洞之間連接?洞的??。因此這暗?了量?糾纏和?洞具有深刻的聯(lián)系，甚?于說(shuō)它們本質(zhì)上即是?回事。

?洞的形狀隨著溫度的降低逐漸變窄丨圖?來(lái)源：arXiv: 1005.3035

ER=EPR猜想暗?了時(shí)空本源可能來(lái)?量?糾纏。通常描述量?糾纏的度量是糾纏熵，但是ER bridge的增長(zhǎng)時(shí)間卻會(huì)??的超越熱平衡時(shí)間（?熱平衡之后糾纏熵會(huì)趨于定值），因此熵的概念似乎很難描述ER bridge的體積的變化。據(jù)此物理學(xué)家提出?種可能具有和熵不同性質(zhì)的物理量與?洞體積產(chǎn)?關(guān)聯(lián)，即計(jì)算復(fù)雜度。它的物理含義是指定?系列操作門，從?個(gè)初態(tài)制備到末態(tài)所需要?到的最?操作門的數(shù)?。

同時(shí)，有趣的是，雖然前?提到的愛(ài)因斯坦-羅森橋不可穿越，但是我們可以構(gòu)造相應(yīng)的模型來(lái)實(shí)現(xiàn)這?可穿越?洞，即在邊界引??個(gè)叫作double trace deformation的操作，引?如下的算符擾動(dòng)

。這個(gè)操作相當(dāng)于給背景時(shí)空引?了?條負(fù)能量的能流，它的能量在?洞視界附近因?yàn)橐?藍(lán)移會(huì)變得?常?，因此會(huì)對(duì)于背景造成很?的反作?，從?影響視界的位置，使得?洞的視界向內(nèi)收縮。因此從?個(gè)邊界發(fā)出的，原本落?奇點(diǎn)的光?會(huì)跑到視界外邊，重新到達(dá)另?個(gè)邊界。即實(shí)現(xiàn)了?洞的可穿越性。

根據(jù)ER=EPR的思想，這個(gè)過(guò)程相當(dāng)于引?版本的量?隱形傳態(tài)，?double trace deformation則類似經(jīng)典信道。在量?隱形傳態(tài)中，似乎量??特是通過(guò)量?糾纏在另?個(gè)地?被重新構(gòu)造出來(lái)的；?在引?的圖像下，它有了?個(gè)全新的理解，那就是它是通過(guò)連接兩個(gè)地?的?洞穿越?來(lái)的[7]。

可穿越?洞的物理圖像丨圖?來(lái)源：arXiv: 1704.05333

歐幾里得蟲(chóng)洞

以上介紹了時(shí)空中的?洞作為?個(gè)可能物理客體所需要具備的條件及其相應(yīng)的物理。然?，在近?年的量?引?研究中，?種新的?洞結(jié)構(gòu)激發(fā)了?們更多的興趣，即歐幾里得蟲(chóng)洞。

介紹什么是歐幾里得蟲(chóng)洞之前，我們先介紹理論物理研究中，經(jīng)常進(jìn)行的歐式化的操作。通過(guò)分析量子場(chǎng)論中的路徑積分和統(tǒng)計(jì)物理中的配分函數(shù)的相似性，我們發(fā)現(xiàn)如果對(duì)時(shí)間進(jìn)行如下wick轉(zhuǎn)動(dòng)的操作t=iτ，（關(guān)于wick轉(zhuǎn)動(dòng)參見(jiàn)《溫度與神秘的虛時(shí)間 | 眾妙之門》）即將時(shí)間坐標(biāo)虛數(shù)化，我們可以將量子場(chǎng)論的問(wèn)題和統(tǒng)計(jì)物理的問(wèn)題等價(jià)起來(lái)，由此得到的即歐式路徑積分。在歐式路徑積分中，并沒(méi)有時(shí)間方向，可以看作是某個(gè)時(shí)間面上的物理。（當(dāng)然我們也可以將歐式路徑積分和洛倫茲路徑積分結(jié)合起來(lái)。）

歐式路徑積分是研究眾多理論物理問(wèn)題的一個(gè)極為有效的工具。后面我們將介紹，在用歐式路徑積分具體的計(jì)算黑洞霍金輻射的精細(xì)熵的時(shí)候，會(huì)出現(xiàn)之前所沒(méi)有發(fā)現(xiàn)的蟲(chóng)洞結(jié)構(gòu)。這種?洞結(jié)構(gòu)，可以有助于我們理解眾多困難問(wèn)題，如?洞的信息丟失問(wèn)題。

拷貝蟲(chóng)洞與信息丟失

?洞信息問(wèn)題，是量??學(xué)和?義相對(duì)論在?洞這個(gè)時(shí)空下的最深刻的?盾?？紤]純態(tài)物質(zhì)塌縮為?洞繼?輻射，我們可以看到?個(gè)從純態(tài)到混合態(tài)的??正演化，但是它是不被量??學(xué)所允許的。?洞信息問(wèn)題，作為?個(gè)會(huì)下?蛋的母雞，激發(fā)了物理學(xué)家們?cè)丛床粩嗟膭?chuàng)造?。

最近基于全息糾纏熵的啟發(fā)，?們發(fā)現(xiàn)了?種在引?中計(jì)算霍?輻射精確熵的辦法，被稱作島嶼公式。（參見(jiàn)《黑洞信息悖論之謎，霍金最后的問(wèn)題被解決了嗎？》）這種計(jì)算得到的精確熵，?分神奇的滿?Page曲線，進(jìn)?滿?量??學(xué)的?正性。我們知道，全息糾纏熵的RT公式，開(kāi)始雖然是作為?個(gè)半猜想式的?作，但是后來(lái)得到了引?路徑積分的精確證明。?這?得到的島嶼公式，是否可以通過(guò)引?路徑積分來(lái)證明？如果可以的話，那么它應(yīng)該來(lái)?于引?路徑積分中哪些部分的貢獻(xiàn)呢？

?先我們介紹如何在場(chǎng)論中計(jì)算糾纏熵，它可以通過(guò)?種叫作拷貝技術(shù)（replica trick）的辦法計(jì)算，即將研究的系統(tǒng)拷貝n份，進(jìn)?計(jì)算，最后再進(jìn)?解析延拓的辦法。公式如下：

上文第一個(gè)等號(hào)是糾纏熵的定義，第二個(gè)等號(hào)則是應(yīng)用洛必達(dá)法則得出的，這一步操作通常叫作拷貝技術(shù)（replica trick）

。因?yàn)槁窂椒e分物理含義描述的是，從初態(tài)到末態(tài)的概率幅

，所以歐式路徑積分可以?來(lái)定義波函數(shù)，進(jìn)?定義密度矩陣。在這個(gè)歐式路徑積分的表述下，上?糾纏熵的計(jì)算可以轉(zhuǎn)化為在拷貝流形上的配分函數(shù)的計(jì)算，即上?的最后?步等式。

依據(jù)上面的思路，如果我們將霍?輻射的密度矩陣通過(guò)歐式路徑積分進(jìn)??個(gè)圖形表?的話，精確地計(jì)算它的熵（即配分函數(shù)）

需要考慮所有可能的拷貝流形構(gòu)型?？紤]輻射和?洞整體組成?個(gè)純態(tài)

，因計(jì)算的是霍?輻射的熵，需要將?洞部分求跡。

熵的計(jì)算只是要求輻射密度矩陣作為邊界?尾順次連接形成?個(gè)replica的結(jié)構(gòu)，但其幾何內(nèi)部其實(shí)?法進(jìn)?限制，因此計(jì)算Zn時(shí)需要考慮所有可能的內(nèi)部構(gòu)型，包括?些連通的構(gòu)型。

?個(gè)簡(jiǎn)單的?意圖：左側(cè)來(lái)?輻射密度矩陣形成的邊界條件（實(shí)線代表做了求跡之后的?洞邊界，虛線代表輻射），右側(cè)代表計(jì)算所需要的引?構(gòu)型。第?個(gè)圖是?連通的構(gòu)型，第?個(gè)圖代表連通的拷貝?洞構(gòu)型。圖?來(lái)：arXiv: 1911.11977

當(dāng)不考慮連通構(gòu)型之時(shí)，可以得到和霍?最初的計(jì)算相符的熵，此時(shí)違反?正性；?考慮這個(gè)連通的構(gòu)型（通常叫作拷貝?洞），則會(huì)得到和?正性預(yù)期相符的熵的?為。（考慮全連通構(gòu)型就可以得到島嶼公式在晚期的結(jié)果，然?真實(shí)的拷貝?洞的貢獻(xiàn)會(huì)更豐富。）這個(gè)連通構(gòu)型它的含義和?洞很像，都是通過(guò)?個(gè)連通結(jié)構(gòu)來(lái)連接不同的引?區(qū)域（只不過(guò)這?的不同區(qū)域是對(duì)?個(gè)體系做replica trick得到的），但是它和洛倫茲型的?洞對(duì)應(yīng)的物理卻?不相同，?它具體的物理含義仍然有待更多的理解和澄清。

拷貝?洞的特點(diǎn)，從圖中我們可以看到每?個(gè)邊界?上的?洞連接在了?起。圖?來(lái)源：arXiv: 1911.12333

拷貝?洞的計(jì)算是復(fù)雜的，其中只有最簡(jiǎn)單的模型可以考慮Replica?洞的所有可能構(gòu)型，并將其解析的求和起來(lái)得到最為精確的輻射精確熵[8]。然?物理學(xué)家已經(jīng)可以（?少在2維下）通過(guò)拷貝?洞的?式，證明先前得到的島嶼公式的正確性。拷貝?洞的出現(xiàn)給?洞信息問(wèn)題的研究注?了新的?機(jī)活?，很多問(wèn)題都得以被重新討論研究，例如引?系綜對(duì)應(yīng)問(wèn)題[9]，量?引?中的整體對(duì)稱性問(wèn)題，以及?洞輻射過(guò)后的剩余（remnant）[10]等。

也許真正有趣的事情才剛剛開(kāi)始，期待未來(lái)?洞的研究會(huì)帶給我們更多的驚喜。

參考文獻(xiàn)

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