趣談無(wú)理數(shù)e(十七)?掀開(kāi)蒙在上帝公式e^(πi) ?1=0頭上的神秘面紗

高俊科趣談無(wú)理數(shù)e(十七)

十七 掀開(kāi)蒙在上帝公式e^(πi) ＋1=0頭上的神秘面紗

不少書(shū)中都講到復(fù)數(shù)域中的歐拉公式，如以色列人的著作《一個(gè)常數(shù)的傳奇》、日本人的著作《數(shù)學(xué)與生活》、中國(guó)人的著作《不可思議的e》等數(shù)學(xué)書(shū)中都講了歐拉公式e^(πi) ＋1=0，這個(gè)公式把五個(gè)最特殊的數(shù)0、1、i、π、e連在一起，讓它們共處于等式e^(iπ) ＋1=0中。以色列人伊萊.馬奧爾在其著作《一個(gè)常數(shù)的傳奇》中評(píng)論說(shuō)，“很多人認(rèn)為它具有不亞于神的力量”，美國(guó)數(shù)學(xué)家本杰明..皮爾斯說(shuō)”這個(gè)公式是絕對(duì)正確的，也是絕對(duì)詭異的，我們能夠證明它，但不能理解它”。由此這公式也被稱為上帝公式。

在實(shí)數(shù)域中，對(duì)于余弦函數(shù)cost，通過(guò)圖示我們能觀察得出cosπ=–1，這就有cosπ ＋1=0，這就是余弦函數(shù)把三個(gè)特殊的數(shù)0、1、π共處一式了，沒(méi)有誰(shuí)會(huì)感覺(jué)到這樣讓0，1，π共處一個(gè)等式cosπ ＋1=0神秘，也不會(huì)想到再用什么其它方法證明cosπ ＋1=0這一恒等式。

在復(fù)數(shù)域中，對(duì)于歐拉恒等式e^(iπ)＋ 1=0也應(yīng)該是一樣的。

在復(fù)數(shù)域中，對(duì)于指數(shù)函數(shù)e^(it)，通過(guò)圖示我們能直接得e^(iπ)=–1 ，這就有e^(iπ) ＋1=0，這就是指數(shù)函數(shù)e^(it)把五個(gè)特殊的數(shù)0、1、i、π、e共處一式e^(iπ) ＋1=0了，這就不需要再用什么其它方法進(jìn)行證明。

接下來(lái)我們來(lái)看對(duì)于指數(shù)函數(shù)z(t)=e^(it)怎么看到e^(iπ)=–1.

在復(fù)平面上，函數(shù)z(t)=e^(it)隨t變化的軌跡是一條曲線，z(t)=e^(it)的導(dǎo)數(shù)是dz(t)/dt=ie^(it)=iz(t), 在曲線上任何一點(diǎn)，iz(t)表達(dá)的是動(dòng)點(diǎn)z(t)的運(yùn)動(dòng)方向與矢徑本身z(t)總保持反時(shí)針?lè)较虼怪?，所以z(t)軌跡是一個(gè)圓。因?yàn)閦(0)=1，所以z(t)的軌跡是一單位圓 。

dz(t)/dt的方向是z(t)的運(yùn)動(dòng)方 向，絕對(duì)值Idz(t)/dtI是動(dòng)點(diǎn)z(t)的線速度，Idz(t)/dtI=1，在單位圓上，z(t)路徑的長(zhǎng)度與經(jīng)過(guò)這路徑時(shí)t的數(shù)量恒相等，t從0變化到π，z(t)在單位圓上的路徑，或說(shuō)弧長(zhǎng)也就是π，在單位圓上從z(0)=1反時(shí)針?lè)较蚪?jīng)過(guò)弧長(zhǎng)π，就是-1，即z(π)=e^(iπ)=-1，這就得到了復(fù)平面上的歐拉公式

e^(iπ) ＋1=0

這就讓數(shù)字0、1、i.π、e共處于一個(gè)等式中了，這所謂上帝公式?jīng)]有一點(diǎn)神秘之處,這就揭下了披在這上帝公式頭上的神秘面紗？

在單位圓上，z(t)路徑的長(zhǎng)度與經(jīng)過(guò)這路徑時(shí)t恒相等，單位圓上弧與其所對(duì)的角度數(shù)(弧度)總相等，所以，z(t)=e^(it) 中t也就恒等于這動(dòng)點(diǎn)z(t)轉(zhuǎn)過(guò)的角度。

如果自變量t從0開(kāi)始有改變量x，則x也是動(dòng)點(diǎn)z(t)=e^(it) 轉(zhuǎn)過(guò)的角度數(shù)，對(duì)應(yīng)的終點(diǎn)就是cosx ＋isinx 即 z(x)=e^(ix) 與cosx＋ isinx是復(fù)平面上的同一個(gè)點(diǎn) ，因此，恒有

e^(ix)=cosx＋ isinx

成立。