剖析雅各布.伯努利一影響深遠(yuǎn)的方法錯(cuò)誤──兼談無理數(shù)e的秘密 十 二

十二 掀開蒙在上帝公式e^(πi) ＋1=0頭上的神秘面紗

( 題注; 我辨析雅各布.伯努利提出的“連續(xù)復(fù)利法”基礎(chǔ)上構(gòu)成的連續(xù)(復(fù)利)計(jì)算模型30多年，多次發(fā)表文章論證這模型構(gòu)成的錯(cuò)誤，可這錯(cuò)誤在多門大學(xué)教材中存在至今而很難改掉，經(jīng)過長期觀察指數(shù)函數(shù)式A。e^(rt)，發(fā)現(xiàn)其中r的意義后，也就想到這上帝公式，原來這上帝公式就是函數(shù)z(t)=e^(it)在t=π時(shí)的值z(mì)(π)=e(iπ) =-1)

不少書中都講到復(fù)數(shù)域中的歐拉公式e^(πi) ＋1=0，如以色列人的著作《一個(gè)常數(shù)的傳奇》、日本人的著作《數(shù)學(xué)與生活》、中國人的著作《不可思議的e》等數(shù)學(xué)書中都講了這歐拉公式，這個(gè)公式把五個(gè)最特殊的數(shù)0、1、i、π、e連在一起，讓它們共處于等式e^(iπ)＋ 1=0中，后來的人們給出了四五中方法證明這等式是正確的，但人們都沒有看到這公式是怎么構(gòu)成的。美國數(shù)學(xué)家本杰明.皮爾斯說”這個(gè)公式是絕對(duì)正確的，也是絕對(duì)詭異的，我們能夠證明它，但不能理解它”，

以色列學(xué)者伊萊.馬奧爾評(píng)論說，“很多人認(rèn)為它具有不亞于神的力量”。

百度一下可看到，這公式也被稱為上帝公式。

在實(shí)數(shù)域中，對(duì)于余弦函數(shù)cost，通過圖示我們能觀察得出cosπ=–1，這就有cosπ ＋1=0，這就是余弦函數(shù)把三個(gè)特殊的數(shù)0、1、π共處一式了，沒有誰會(huì)感覺到這樣讓0，1，π共處一個(gè)等式cosπ ＋1=0神秘，也不會(huì)想到再用什么其它方法證明cosπ＋ 1=0這一恒等式。

在復(fù)數(shù)域中，對(duì)于歐拉恒等式e^(iπ)＋1=0也應(yīng)該是一樣的。

在復(fù)數(shù)域中，對(duì)于指數(shù)函數(shù)e^(it)，通過圖示我們能直接得e^(iπ)=–1 ，這就有e^(iπ) ＋1=0，這就是指數(shù)函數(shù)e^(it)把五個(gè)特殊的數(shù)0、1、i、π、e共處一式e^(iπ) ＋1=0了，這就不需要再用什么其它方法進(jìn)行證明。

接下來我們來看對(duì)于指數(shù)函數(shù)z(t)=e^(it)怎么看到e^(iπ)=–1.

在復(fù)平面上，函數(shù)z(t)=e^(it)隨t變化的軌跡是一條曲線，z(t)=e^(it)的導(dǎo)數(shù)是dz(t)/dt=ie^(it)=iz(t), 在曲線上任何一點(diǎn)，iz(t)表達(dá)的是動(dòng)點(diǎn)z(t)的運(yùn)動(dòng)方向與矢徑本身z(t)總保持反時(shí)針方向垂直，所以z(t)軌跡是一個(gè)圓。因?yàn)閦(0)=1，所以z(t)的軌跡是一單位圓 。

dz(t)/dt的方向是z(t)的運(yùn)動(dòng)方 向，絕對(duì)值Idz(t)/dtI是動(dòng)點(diǎn)z(t)的線速度，Idz(t)/dtI=1，在單位圓上，z(t)路徑的長度與經(jīng)過這路徑時(shí)t的數(shù)量恒相等，t從0變化到π，z(t)在單位圓上的路徑，或說弧長也就是π，在單位圓上從z(0)=1反時(shí)針方向經(jīng)過弧長π，就是-1，即z(π)=e^(iπ)=-1，這就得到了復(fù)平面上的歐拉公式

e^(iπ) ＋1=0

這就讓數(shù)字0、1、i.π、e共處于一個(gè)等式中了，這所謂上帝公式其實(shí)就是指數(shù)z(t)=e^(it)在t=π處的值，這式子沒有任何神秘之處。

我們已知道，e^(iπ)表達(dá)的是單位圓上幅角為π的點(diǎn)，以同樣的思路可知，e^(ix)表達(dá)的是單位圓上幅角為x的點(diǎn)；我們還知道，cosx ＋isinx也是單位圓上幅角為x的點(diǎn)，即為e^(ix)與cosx ＋isinx為單位圓上的同一個(gè)點(diǎn)，所以

e^(ix)=cosx＋ isinx

恒成立。