陀螺為什么不倒下？什么是力矩和角動量？

許多人小時候玩過陀螺，陀螺在高速旋轉時可以保持不倒，但是一旦停止轉動，陀螺就會向某一側倒下。這是什么原因呢？

如果大家仔細觀察，就會發(fā)現(xiàn)下列現(xiàn)象：在陀螺旋轉比較快時，陀螺軸線搖晃得慢；在陀螺旋轉比較慢時，陀螺軸線搖晃得快；而且，如果陀螺不是穩(wěn)定在豎直狀態(tài)，而是在搖晃腦袋的話，那么逆時針轉動的陀螺，它的軸線也會逆時針搖晃；順時針轉動的陀螺，它的軸線也會順時針搖晃。

這個生活中常見的現(xiàn)象，其實具有深刻的物理內涵，需要使用力矩與角動量的概念進行解釋。

一.力矩

力矩的概念其實在初中學習過了。

如圖：有一個杠桿，O為支點，杠桿可以繞O點轉動。在某點作用一個力F，從O點到力F的作用線的距離稱為力臂r。力F和力臂r都是有方向的，在物理上叫做矢量。

我們知道：力越大，力臂越長，對物體的轉動作用越強。我們用力矩來表示這個轉動作用。力矩的表達式為：

按照這種規(guī)則，我們可以判定出上圖中力F的力矩方向是垂直紙面向里的。

二.角動量

我們再來說說角動量，角動量是一個比較難以理解的概念。對于一個旋轉的物體，它的角動量與它的形狀、質量、和轉動角速度都有關系。對于一個特定物體，它轉動得越快，角動量就會越大。在同樣的轉動角速度下，物體的質量分布遠離轉軸，就比靠近轉軸時角動量大。

例如：一個人手持啞鈴轉圈，轉得越快角動量越大。如果轉動速度一定，兩手伸直時的角動量就比啞鈴縮在胸前時角動量大。

角動量的方向也可以用右手定則來判定。我們用右手握住陀螺，四指指向陀螺的旋轉方向，大拇指就指向角動量的方向。也就是說，如果陀螺逆時針旋轉，角動量方向向上。如果陀螺順時針旋轉，角動量方向向下。角動量我們用字母表示。

三.角動量守恒

下面就可以討論力矩M與角動量J的關系了。人們根據(jù)牛頓定律進行推導，得到了以下結論：

如果一個物體所受合力矩為零，則角動量守恒。

如果一個物體沒有力矩的作用，即，這有可能是因為物體不受力的作用、或者雖然受到力的作用，但是作用力過轉軸，造成沒有力臂。此時，物體的角動量大小和方向都保持不變，稱為角動量守恒。角動量守恒的時候，陀螺的轉軸方向和轉動速度都不會發(fā)生變化，即陀螺繞一個固定的轉軸以固定的角速度勻速轉動。

陀螺儀就滿足這個特點。一個簡單的陀螺儀的結構如下：讓陀螺儀中心的圓盤旋轉起來之后，無論陀螺儀外圈如何旋轉，中心的盤面方向總是保持不動的?，F(xiàn)代陀螺儀都是利用這個原理制作的。飛機火箭等都要通過安裝陀螺儀來保持平衡。

再比如花樣滑冰運動員在轉圈時，總是先把兩手伸直再開始旋轉，然后突然把手伸到頭上。因為角動量守恒，她的質量分布更加靠近轉軸，那么角速度就會自然變大。

四.角動量定理

如果一個物體有力矩，那么它的角動量就是變化的，而且，就像牛頓第二定律中力與速度變化率成正比那樣，物體受到的力矩也與角動量的時間變化率成正比。

這個公式比較復雜，但是我們只需要通過這個公式知道一點：

力矩的方向與角動量的變化方向是相同的，就可以解釋旋轉中的陀螺為什么不會倒下，而是晃腦袋了。

比如，我們有一個逆時針旋轉的陀螺（根據(jù)右手定則，他的角動量是向上的）。此時，它受到地面的支持力N和重力G的作用。但支持力N過支點O，所以它沒有力臂，因而也就沒有力矩。重力G不過支點，存在力臂和力矩。通過右手定則可以判定：重力的力矩的方向是垂直紙面向里的。

那么，這個力矩就會造成陀螺角動量垂直紙面向里變化，也就是軸線繞著垂直地面的直線逆時針旋轉，這個過程就稱為進動。

換句話說，如果陀螺在圖示位置停止轉動，重力的力矩會使陀螺向右倒下。但是在陀螺旋轉的情況下，重力的力矩造成的結果是使得角動量的方向發(fā)生變化，這種變化就是陀螺的軸線繞著中心的z軸轉動，但是卻不會倒向地面。

如果陀螺轉動得比較快，那么角動量就比較大，進動會比較慢；如果陀螺旋轉速度慢下來，那么角動量就會變小，但是力矩卻沒有減小，這樣在力矩作用下，陀螺的進動就會比較快。所以我們會發(fā)現(xiàn)：在陀螺逐漸慢下來的時候，它晃腦袋的速度反而越來越快，最后倒在地面上。

車輪在旋轉的時候也會有角動量，如果自行車稍微傾斜一下，力矩會使得車輪進行進動，整體表現(xiàn)為自行車不會倒下，而是轉彎。自行車的問題比較復雜，角動量問題只是其中一小部分。

五.還能再給力一點嗎？

還有一個比較有意思的例子是地球。

我們知道，地球也在繞地軸旋轉。太陽對地球的引力過地心，不會產(chǎn)生力矩，所以地球的角動量是守恒的。根據(jù)剛才說明的規(guī)則，地球的角動量方向是指向北極的。

假如北半球站立一個人，他繞著自己的軸逆時針旋轉，那么它也會具有與地球方向相同的角動量。但是地球整體的角動量是守恒的，這就意味著這個人會剝奪地球一部分角動量，地球的角動量會減小，轉速變慢，一天的時間就會變長，盡管這個變化微乎其微。

來源：李永樂老師