大自然的隱秘技能：神奇的Fibonacci數(shù)列

科學(xué)也跨界，它總以意想不到的方式，無(wú)處不在。

看似呆板的數(shù)列中能呈現(xiàn)出炫彩的科學(xué)美感。不信？那就和中國(guó)科學(xué)院物理研究所曹則賢老師一起來(lái)了解下斐波那契數(shù)列的神奇幻化吧！

自然數(shù)是無(wú)窮多的。如果把一些數(shù)字按規(guī)律排成一排，就構(gòu)成了一個(gè)數(shù)列。用函數(shù)表示就是數(shù)列 {an}。

如：偶數(shù) 2，4，6，8……

奇數(shù) 1，3，5，7……

三角數(shù) 1，3，6，10，15……

素?cái)?shù)（原子） 2，3，5，7，11，13，17……

將數(shù)列的項(xiàng)依次用加號(hào)連接起來(lái)的函數(shù)就是級(jí)數(shù)。由傅里葉級(jí)數(shù) (Fourier series)發(fā)展的傅里葉分析技術(shù)是最有力的數(shù)學(xué)、物理工具。別不相信，展開(kāi)成本征函數(shù)級(jí)數(shù)就是量子力學(xué)的基本操作。

人類歷史中，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契（Leonardo Fibonacci）是一個(gè)天才，年少時(shí)隨著父親在北非做生意，學(xué)習(xí)了阿拉伯?dāng)?shù)字。1202年，他撰寫了《Liber Abaci（算書）》一書，向西方傳播印度-阿拉伯的數(shù)字系統(tǒng)。

阿拉伯?dāng)?shù)字體系讓數(shù)學(xué)、物理學(xué)成為可能。數(shù)學(xué)、物理是就用阿拉伯?dāng)?shù)列、拉丁+希臘字母表示的，這是所有想要從事科學(xué)研究的人都必須掌握的一套話語(yǔ)體系！

在《Liber Abaci（算書）》一書中，斐波那契提出了一個(gè)有趣的問(wèn)題：有一對(duì)成年兔子，每隔一個(gè)月就生一對(duì)小兔子，而小兔子一個(gè)月后也成年了加入生小兔子的行列，如果每對(duì)兔子都經(jīng)歷這樣的出生、成熟、生育的過(guò)程，并且永遠(yuǎn)不死，問(wèn)N個(gè)月后有多少對(duì)兔子？我們不妨用樹(shù)狀圖展示一下：

用數(shù)列表示為：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144…，數(shù)列中的每一項(xiàng)都被稱為斐波那契數(shù)，用符號(hào)Fn表示。F(0)=1，F(xiàn)(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N）。

這就是著名的斐波那契數(shù)列（Fibonacci數(shù)列），也叫做“兔子數(shù)列”。

雖然很有意思，但是，就這？斐波那契數(shù)列對(duì)人類發(fā)展有什么意義？

每一個(gè)數(shù)學(xué)、物理對(duì)象后面都有太多我們不知道、或者知道了也理解不了的內(nèi)容。我們理解不了，科學(xué)家們卻能理解。

在數(shù)學(xué)中，楊輝三角形是出現(xiàn)在概率論、組合學(xué)和代數(shù)中的二項(xiàng)式系數(shù)的三角形數(shù)組。斐波那契數(shù)列與楊輝三角形（即，帕斯卡三角形）有關(guān)聯(lián)：楊輝三角形中的對(duì)角線之和，是斐波那契數(shù)，如圖所示。

1611年，著名天文學(xué)家開(kāi)普勒在《Strena seu de Nive Sexangula (六角雪花) 》一書中指出：斐波那契數(shù)列收斂于黃金分割數(shù)：

當(dāng)數(shù)列趨于無(wú)窮大時(shí)，斐波那契數(shù)列中的數(shù)字之比無(wú)限接近黃金分割比，即1.618033987498948482…。

黃金分割數(shù)暗藏玄機(jī)。無(wú)論是數(shù)學(xué)計(jì)算或者物理研究，總會(huì)不知道哪里就冷不丁冒出來(lái)黃金分割數(shù)。

按斐波那契數(shù)列，取邊長(zhǎng)分別為1、1、2、3、5、8、13、21......的正方形，以各正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心畫出四分之一的曲線，再連接所有曲線，最后形成的螺旋線就是下圖所示的“斐波那契螺旋線”。

黃金分割數(shù)是美學(xué)的重要基礎(chǔ)。人們根據(jù)黃金分割數(shù)進(jìn)行建筑設(shè)計(jì)、藝術(shù)雕塑。從古至今，許多神秘建筑都遵循著黃金分割的規(guī)律，比如金字塔的斜面三角形高與底面半邊長(zhǎng)之比。美神維納斯雕塑就是黃金分割數(shù)的完美展示。藝術(shù)家不用太懂?dāng)?shù)學(xué)，但不懂黃金分割數(shù)就成不了合格的藝術(shù)家。

人們?cè)诟鱾€(gè)領(lǐng)域都發(fā)現(xiàn)了斐波那契數(shù)列。生活中最典型的斐波那契數(shù)列應(yīng)用是在植物學(xué)中。人類在觀察大自然時(shí)發(fā)現(xiàn)：樹(shù)木生長(zhǎng)的過(guò)程中會(huì)長(zhǎng)出分枝，如果我們從下到上去數(shù)分枝的個(gè)數(shù)，就會(huì)發(fā)現(xiàn)依次是1、1、2、3、5、8、13…，剛好是斐波那契數(shù)列。大自然的花朵各有各的美麗，但幾乎每朵花瓣的總數(shù)都會(huì)選擇斐波那契數(shù)列的數(shù)字：3，5，8，13……

植物學(xué)中的葉序也完全符合斐波那契數(shù)列。葉序?qū)W就是一門研究植物上的植物學(xué)單元（器官）排列的學(xué)問(wèn)。植物的葉子排列呈螺旋式向上，不同植物的葉序周均呈現(xiàn)斐波那契數(shù)列的排列規(guī)律。

植物學(xué)中，斐波那契斜列螺旋也十分常見(jiàn)。斐波那契斜列螺旋既可以看作一組逆時(shí)針螺旋，也可以看作是一組順時(shí)針螺線，這兩種情形下的螺旋數(shù)目是斐波那契數(shù)列中的相鄰兩數(shù)。我們熟悉的向日葵花盤、松果種子、菠蘿上的鱗片都完美符合這一特性。

有科學(xué)家推測(cè)，斐波那契斜列螺旋是圓錐面上全同單元的密堆積，這樣有利于植物種子堆積、繁衍后代。所以，大自然中蘊(yùn)含著無(wú)窮的奧秘，要學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)、物理的眼光去看她。洞察自然的奧秘，是人類對(duì)自然的禮贊。

800多年過(guò)去了，神奇的斐波那契數(shù)列不斷被人類驗(yàn)證，更被廣泛運(yùn)用到了計(jì)算機(jī)、物理、化學(xué)等領(lǐng)域，讓這個(gè)古老的數(shù)列煥發(fā)了新的青春。

計(jì)算機(jī)編程中，在很多C語(yǔ)言教科書中講到遞歸函數(shù)的時(shí)候，都會(huì)用斐波那契數(shù)列作為例子。斐波那契數(shù)列還被納入到了從小學(xué)到大學(xué)各個(gè)階段的數(shù)學(xué)課程。

現(xiàn)代物理學(xué)中，依據(jù)斐波那契數(shù)列，可以計(jì)算出黃金分割數(shù)、白銀分割數(shù)、白金分割數(shù)的三維物理空間的準(zhǔn)周期。量子力學(xué)中，兩粒子糾纏態(tài)、量子臨界點(diǎn)研究也離不開(kāi)斐波那契數(shù)列。

化學(xué)領(lǐng)域，無(wú)機(jī)材料用應(yīng)力工程再現(xiàn)了斐波那契數(shù)列斜列螺旋的奧妙。斐波那契數(shù)列還被廣泛運(yùn)用到了股市中，用以揭示股票漲落的奧秘……

由中國(guó)下一代教育基金會(huì)，深圳市平安公益基金會(huì)，科技日?qǐng)?bào)社聯(lián)合策劃出品的“神奇的Fibonacci數(shù)列”系列科普視頻，旨在引導(dǎo)青少年于大自然中探尋數(shù)學(xué)之美，于學(xué)科知識(shí)中培養(yǎng)科學(xué)精神，激發(fā)青少年的科學(xué)探究意識(shí)和創(chuàng)新精神。

系列視頻內(nèi)容將于2022年2月23日在科技日?qǐng)?bào)矩陣號(hào)、中國(guó)科技網(wǎng)、科普中國(guó)、騰訊視頻、西瓜視頻、B站、百度百家號(hào)、微博泛知識(shí)、青少年科技素養(yǎng)提升計(jì)劃公眾號(hào)等多個(gè)平臺(tái)同步上線，記得關(guān)注我們了解更多關(guān)于神奇數(shù)列的內(nèi)容哦！

作者: 趙衛(wèi)華

來(lái)源：科技日?qǐng)?bào)