十(9)這《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》是怎么錯(cuò)誤解釋連續(xù)(復(fù)利)計(jì)算的——剖析雅各布伯努利一影響深遠(yuǎn)的方法錯(cuò)誤

剖析雅各布伯努利一影響深遠(yuǎn)的方法錯(cuò)誤

十(9)這《大學(xué)文科數(shù)學(xué)》是怎么錯(cuò)誤解釋連續(xù)(復(fù)利)計(jì)算的

數(shù)學(xué)大家雅各布.伯努利把聯(lián)想當(dāng)推理，給出了錯(cuò)誤的“連續(xù)復(fù)利法”。世人盲信權(quán)威，把“似是”當(dāng)“是”；盲從潮流 ，以“不是” 做“是”，于是就臆想出了對(duì)這種連續(xù)(復(fù)利)計(jì)算的多種錯(cuò)誤講述，編寫出了種種錯(cuò)誤解釋和錯(cuò)誤應(yīng)用，以致這一錯(cuò)誤方法在多門大學(xué)課程中廣泛存在，1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獎(jiǎng)項(xiàng)中存在的這一問(wèn)題進(jìn)一步加劇了這錯(cuò)誤方法的流傳。為推動(dòng)盡早改變這一現(xiàn)象，就必須一一剖析這些教材的錯(cuò)誤論述。

2010年清華大學(xué)出版社出版的《大學(xué)文科數(shù)學(xué)：實(shí)驗(yàn)高等數(shù)學(xué)》第24頁(yè)中講：

“ 設(shè)年利率為12%，分別以1年期、半年期、1個(gè)月期的離散復(fù)利方式和連續(xù)復(fù)利方式計(jì)算1000元的投資額在2年中產(chǎn)生的收益。

解 應(yīng)用離散復(fù)利計(jì)算公式 f=p(1 r/n)^(nt)

當(dāng)n=1，2和12分別計(jì)算t=2時(shí)的收益，有

V1=1000(1 0.12)^2=1254.40元 (1年期的復(fù)利計(jì)算)

V2=1000(1 0.06)^4=1262.48元 (半年期的復(fù)利計(jì)算)

V12=1000(1 0.01)^24=1269.73元 (1個(gè)月期的復(fù)利計(jì)算)

按連續(xù)復(fù)利計(jì)算，則有

V∞=pe^(rt)=1000e^(0.12x2)=1271.25元

考察上述結(jié)果可知，有限分期和無(wú)限分期的復(fù)利計(jì)算對(duì)結(jié)果的影響不大，而連續(xù)復(fù)利的計(jì)算公式非常簡(jiǎn)單，這就是經(jīng)濟(jì)工作者經(jīng)常使用它的原因?！?/p>

只要我們稍微認(rèn)真思考一下就會(huì)體會(huì)到這解釋存在的問(wèn)題。

一 無(wú)論從對(duì)公式的基本的理解上，還是具體計(jì)算上， 1000(1 0.12)^2和 所謂無(wú)限分期的復(fù)利計(jì)算1000e^(0.12x2)比較哪個(gè)簡(jiǎn)單?應(yīng)當(dāng)是前者而不是后者。

二 所說(shuō)“影響不大”是什么意思?，這“影響”是把精確值“影響”成了近似值，還是把近似值“影響”成了精確值? 明顯地，當(dāng)年利率為12%時(shí)，投資1000元2年后的收益1000(1 0.12)^2=1254.40元就是精確值，而應(yīng)用所謂無(wú)限分期計(jì)算的連續(xù)計(jì)算得到的1271.25元是其近似值。

就是說(shuō)，應(yīng)用所謂無(wú)限分期計(jì)算公式V∞=pe^(rt)計(jì)算，不但饒了圈，而且把精確值搞成了近似值。

由此足見(jiàn)這些大學(xué)教材都沒(méi)有理解這種連續(xù)復(fù)利計(jì)算公式到底是怎么回事，都是霧里看花，靠臆想解釋錯(cuò)誤的連續(xù)復(fù)利計(jì)算公式的意義，這讓學(xué)生怎么可能學(xué)到正確知識(shí)?這不是哪幾部教材中存在的問(wèn)題，各種教材都是這樣，有其它教材的解釋更顯荒謬。

關(guān)于復(fù)利計(jì)算問(wèn)題，就我所見(jiàn)所識(shí)，僅在B-S期權(quán)定價(jià)公式中需要用到以無(wú)理數(shù)e為底的指數(shù)函數(shù)表達(dá)，我2014年在《金融經(jīng)濟(jì)》上發(fā)表了文章《B-S期權(quán)定價(jià)模型中應(yīng)用連續(xù)復(fù)利存在的問(wèn)題》。

這文章說(shuō)明，期權(quán)收益率K是隨機(jī)的，B-S期權(quán)定價(jià)公式中為了應(yīng)用正態(tài)分布，期權(quán)收益K必須轉(zhuǎn)換成以e為底的形式pe^(kt)，k=ln(1 K)，以年利率12%為例，這時(shí)相應(yīng)的無(wú)風(fēng)險(xiǎn)收益率12%也必須轉(zhuǎn)換成以e為底的指數(shù)函數(shù)pe^(rt)表達(dá)。年利率為12%時(shí)，r=ln(1 12%),2年后1000元的收益是

1000(1 0.12)^2=1254.40=1000e^(2xln(1 0.12))

這像應(yīng)用3/4=0.75一樣，是恒等式變形，與所謂的連續(xù)復(fù)利計(jì)算方法無(wú)關(guān)。

1997年諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)得主羅伯特.C.莫頓與他人合著的《金融學(xué)》

中就是相當(dāng)于把這里的年利率12%直接拿到pe^(rt)中應(yīng)用，按1000e^(0.12x2)=1271.25計(jì)算了(見(jiàn)該書(shū)391頁(yè))。

這應(yīng)用是錯(cuò)誤的，這應(yīng)用實(shí)際是把年利率12%改成了年利率e^0.12-1=12.75%，把簡(jiǎn)單變復(fù)雜，把精確值變近似值，僅此而已。