“咔嚓”咬一口寶塔菜，背后分形的秘密竟然是...

隨著天氣轉(zhuǎn)暖，小編也把厚厚的棉衣收了起來(lái)，換上了輕便的春裝。然而…沒(méi)有了厚衣服的遮擋，過(guò)年不慎補(bǔ)充的全身脂肪覆蓋層變得尤為突出…

為了以全新的面貌迎接春天，小編也開(kāi)始了“全身脂肪覆蓋層無(wú)痛消除術(shù)”，然而在跑步機(jī)上跑著跑著，想到了中午為了減肥才吃的寶塔菜，忽然感覺(jué)自己陷入了一個(gè)巨大的謎團(tuán)，怎么這種蔬菜的形狀越想越奇怪？？？

圖片來(lái)源丨圖蟲創(chuàng)意

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經(jīng)過(guò)一番縝密的思考，小編認(rèn)為努力思考同樣可以達(dá)到“全身脂肪覆蓋層無(wú)痛消除術(shù)”的目的，進(jìn)而將每日份的運(yùn)動(dòng)替換為每日份思考寶塔菜…沒(méi)想到，小小的寶塔菜背后的故事這么引人入勝…

可預(yù)測(cè)性

在我們從小到大學(xué)習(xí)知識(shí)的數(shù)理課堂中，我們逐漸感受到世界是充滿秩序的：已知表達(dá)式和定義域的函數(shù)，其曲線走向是可預(yù)測(cè)的；已知化學(xué)反應(yīng)的反應(yīng)物與反應(yīng)條件，生成物是可預(yù)測(cè)的；已知運(yùn)動(dòng)物體的初始位置與運(yùn)動(dòng)規(guī)律，接下來(lái)任意時(shí)刻的速度與位置是可預(yù)測(cè)的…

我們對(duì)科學(xué)帶來(lái)的這種“可預(yù)測(cè)性”的印象，一部分源于伽利略（Galileo Galilei）和牛頓（Issac Newton）對(duì)鐘擺擺動(dòng)的研究。

1581年，伽利略觀察吊燈的擺動(dòng)時(shí)，意識(shí)到了擺動(dòng)這個(gè)現(xiàn)象存在著可被預(yù)測(cè)的規(guī)律。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的觀察，伽利略發(fā)現(xiàn)盡管擺動(dòng)幅度不同，但晃動(dòng)吊燈來(lái)回?cái)[動(dòng)一次的時(shí)間是一樣的。

為了對(duì)這個(gè)有趣的現(xiàn)象進(jìn)行進(jìn)一步的探究，伽利略用大小不同、長(zhǎng)度相同的鐘擺進(jìn)行擺動(dòng)周期實(shí)驗(yàn)，他用自己的脈搏來(lái)計(jì)時(shí)。

最終證實(shí)了鐘擺的擺動(dòng)時(shí)間不取決于器大小，也不取決于其位置，只取決于其長(zhǎng)度。在伽利略的這項(xiàng)研究開(kāi)始，鐘擺的擺動(dòng)變得可預(yù)測(cè)了。

在伽利略之后，牛頓利用微分方程得到了鐘擺的長(zhǎng)度（l）與擺動(dòng)周期（T）之間的精確數(shù)學(xué)關(guān)系：

這使得我們?cè)凇翱深A(yù)測(cè)性”上有了更大的進(jìn)展，鐘擺擺動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律不僅可以被定性的預(yù)測(cè)，還可以被精確地定量預(yù)測(cè)。

我們知道，牛頓發(fā)現(xiàn)了許多現(xiàn)象背后的定律，并且發(fā)明了微積分等數(shù)學(xué)方法作為有力的工具幫助我們理解宇宙的基本定律。

其中，我們最為熟悉的牛頓三大定律簡(jiǎn)潔優(yōu)美的描述了宏觀物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。也讓我們認(rèn)識(shí)到，將運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象背后的規(guī)律用數(shù)學(xué)公式來(lái)描述，特別是微分方程，可以精確地描述運(yùn)動(dòng)如何隨時(shí)間演化，也就是可預(yù)測(cè)性。

可預(yù)測(cè)性無(wú)疑是讓人著迷的，但仔細(xì)想想，是否所有的現(xiàn)象都可以用這種以“可預(yù)測(cè)性”為基礎(chǔ)的科學(xué)思想來(lái)描述呢？

混沌(Chaos)

從“是否可被預(yù)測(cè)”出發(fā)，我們可以想到很多非常貼近日常生活的例子：長(zhǎng)期天氣預(yù)報(bào)、動(dòng)物種群數(shù)量的發(fā)展，等等。這些例子中似乎隱藏著更加迷人的“不可預(yù)測(cè)性”。

我們無(wú)法通過(guò)微分方程精確的獲得大氣運(yùn)動(dòng)的信息，這些例子比起“鐘擺擺動(dòng)”這樣的例子有什么不同呢？

想到“不確定性”，我們可能會(huì)對(duì)其概念感到陌生和模糊，從科學(xué)研究的角度出發(fā)，不確定性被定義為“系統(tǒng)前后不同時(shí)刻間存在的某種隨機(jī)關(guān)系，而從統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上來(lái)講，主要表現(xiàn)為當(dāng)下與未來(lái)之間的因果關(guān)系”。

“不確定性”吸引著研究者們，逐漸發(fā)展出了一門新興的學(xué)科——混沌(Chaos)。

在19世紀(jì)80年代末，從Henri Poincaré對(duì)天體力學(xué)中的三體問(wèn)題的研究開(kāi)始，混沌就開(kāi)始出現(xiàn)在了科學(xué)研究領(lǐng)域。

直到1963年，麻省理工學(xué)院的一位氣象學(xué)家Lorenz的研究認(rèn)為對(duì)于確定性的可預(yù)見(jiàn)性是一種錯(cuò)覺(jué)，并由此產(chǎn)生了一個(gè)仍然蓬勃發(fā)展的領(lǐng)域——混沌理論。

混沌理論認(rèn)為哪怕是最簡(jiǎn)單的方程式（不含任何隨機(jī)因子），一切可知，只要運(yùn)行過(guò)程中出現(xiàn)一點(diǎn)點(diǎn)偏差，結(jié)果也會(huì)跟最初的設(shè)想大相徑庭。

蝴蝶效應(yīng)——敏感依賴性

在當(dāng)時(shí)，預(yù)測(cè)天氣有兩種方式：第一，使用線性程序預(yù)測(cè)天氣，其前提是明天的天氣是今天天氣特征的一個(gè)定義良好的線性組合；第二，通過(guò)模擬大氣流動(dòng)的流體動(dòng)力學(xué)方程來(lái)更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)天氣。

在一次對(duì)比這兩種計(jì)算方式時(shí)，Lorenz發(fā)現(xiàn)計(jì)算機(jī)模擬得出兩個(gè)月以后的天氣數(shù)據(jù)與以往的大不相同。然而Lorenz發(fā)現(xiàn)這次計(jì)算的“錯(cuò)誤”竟然源自模擬過(guò)程中初值的四舍五入。

由此，Lorenz發(fā)現(xiàn)了混沌的一個(gè)定義性質(zhì)——對(duì)初值的敏感依賴性。下圖中的這里球體代表洛倫茲方程的迭代。

1972年，在一次會(huì)議中，Lorenz講述了一個(gè)題為“可預(yù)測(cè)性：巴西蝴蝶扇動(dòng)翅膀會(huì)在德克薩斯州引發(fā)龍卷風(fēng)嗎？”的報(bào)告。

他用一只蝴蝶來(lái)比喻一個(gè)微小的、看似無(wú)關(guān)緊要的、可以改變天氣進(jìn)程的微擾——也就是我們所熟知的“蝴蝶效應(yīng)”。

讀到這里，你可能會(huì)自然而然的產(chǎn)生的一個(gè)疑問(wèn)：計(jì)算機(jī)模擬通常會(huì)在某一時(shí)刻引入舍入誤差，而這個(gè)誤差會(huì)被混沌所放大，那么Lorenz的解可以反應(yīng)真實(shí)的混沌軌跡嗎？

答案是肯定的，這是因?yàn)橐环N被稱為“陰影”(Shadowing)的特性:盡管對(duì)于任何給定的初始條件，數(shù)值軌跡都與精確的軌跡不同，但在附近總存在一個(gè)初始條件，它的精確軌跡在預(yù)先規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)被數(shù)值軌跡近似。

混沌吸引子(Chaotic Attractor)

通過(guò)對(duì)混沌系統(tǒng)的研究，Lorenz在1963年正式提出了洛倫茲方程，其典型的軌跡往往會(huì)收斂到一個(gè)非整數(shù)的有界結(jié)構(gòu)，如上圖所示，被稱為混沌吸引子(Chaotic Attractor)。

混沌吸引子的引入可以方便我們理解，混沌系統(tǒng)由于對(duì)初值具有敏感依賴性，其軌跡何時(shí)會(huì)發(fā)生“混亂”。

首先，位于吸引子上的軌跡會(huì)表現(xiàn)出不同于線性系統(tǒng)的混沌行為，除此之外，任何位于吸引子吸引域內(nèi)的點(diǎn)同樣會(huì)產(chǎn)生向吸引子收斂的混沌軌跡。

由于混沌吸引子的存在，不同于單擺軌跡存在周期性，混沌系統(tǒng)中則是不存在周期性軌跡的，或者可以說(shuō)——周期性軌跡是發(fā)散的。

這也是混沌的本質(zhì)特征：非周期性意味著敏感依賴，敏感依賴是非周期性的根本原因。

是不是從上面的概念走出來(lái)已經(jīng)有點(diǎn)云里霧里了？沒(méi)關(guān)系，寶塔菜這不就要來(lái)了嗎！

提到混沌，總是離不開(kāi)另一個(gè)概念——分形。比起前面提到的抽象概念，分形更加具象化，在日常生活中也有很多例子。

通過(guò)以上三幅圖片我們可以看出，分形似乎是指從小尺度到大尺度圖形的相似性，那么，分形的準(zhǔn)確的定義是什么呢？

分形結(jié)構(gòu)或分形過(guò)程可以粗略地定義為具有在尺度上保持恒定的特征形式，即具有自相似的性質(zhì)。

如果一個(gè)結(jié)構(gòu)的小尺度形式與大尺度形式相似，那么它就是分形的。

仔細(xì)想想，寶塔菜給我們奇怪的感覺(jué)似乎就來(lái)源于分形，它的形貌和我們通常接觸到的幾何圖形都不同。

從混沌到分形

在上文中，我們分別介紹了混沌與分形，這二者之間的關(guān)系又是什么樣子的呢？

混沌吸引子通常是分形的。我們可以考慮混沌吸引子附近相空間中點(diǎn)的軌跡：受到混沌吸引子的影響，附近相空間中的點(diǎn)會(huì)表現(xiàn)出非線性的趨勢(shì)，即分別在不同的方向上受到混沌吸引子的拉伸和收縮。

在拉伸和收縮的共同作用下，相空間中的點(diǎn)會(huì)形成“細(xì)絲”，由于軌跡是有界的，這些“細(xì)絲”會(huì)自然而然的折疊。

當(dāng)混沌吸引子帶來(lái)的這種影響無(wú)限期的重復(fù)，產(chǎn)生的結(jié)果就是分形。

類似于我們通過(guò)圖像可以獲得相關(guān)的物理信息，混沌吸引子的幾何結(jié)構(gòu)可以定量地與其動(dòng)力學(xué)特性相關(guān)。

混沌、分形這些概念聽(tīng)起來(lái)特變抽象，比起Lorenz研究的氣象系統(tǒng)，有沒(méi)有更加生動(dòng)簡(jiǎn)單的例子可以反映出混沌理論的思想呢？

生物學(xué)中的混沌

混沌理論竟然和生物學(xué)領(lǐng)域高度相關(guān)，用這種思想進(jìn)行生物學(xué)研究的科學(xué)家同樣也讓小編感到意外——艾倫·麥席森·圖靈(Alan Mathison Turing)。

圖靈對(duì)胚胎發(fā)育過(guò)程進(jìn)行了深刻的思考，他認(rèn)為可以用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)公式來(lái)描述這個(gè)復(fù)雜的過(guò)程。

最開(kāi)始，胚胎內(nèi)部的細(xì)胞是完全一樣的，會(huì)按照簡(jiǎn)單規(guī)律進(jìn)行自組織，自組織的過(guò)程不斷重復(fù)，直到某個(gè)階段開(kāi)始會(huì)突然呈現(xiàn)復(fù)雜模式，逐漸形成各種不同的細(xì)胞，最終發(fā)育成不同的器官——這個(gè)過(guò)程被稱為形態(tài)發(fā)生。

圖靈嘗試用數(shù)學(xué)來(lái)解釋生命體如何從自然、均勻的狀態(tài)逐漸演變成不均勻的重復(fù)圖案，即從自組織到模式出現(xiàn)的過(guò)程。

另一方面，著名的別洛烏索夫(Belousov)振蕩實(shí)驗(yàn)也是自組織導(dǎo)致模式自發(fā)形成的例子。

他發(fā)現(xiàn)，將兩種溶液混合形成有色液體，液體變得澄清，再變?yōu)橛猩恢毖h(huán)往復(fù)這一過(guò)程。

別洛烏索夫溶液自發(fā)產(chǎn)生的隨機(jī)漣漪圖案狀說(shuō)明：系統(tǒng)在不受外部條件因素干擾的情況下可以自發(fā)無(wú)規(guī)律變化。這同樣是由自組織到模式形成的例子。

寶塔菜的分形

學(xué)習(xí)了這么多有關(guān)混沌、分形在數(shù)學(xué)領(lǐng)域和生物學(xué)領(lǐng)域的知識(shí)，我們依然要不忘初心——那為啥寶塔菜長(zhǎng)分形了呢？

首先，我們需要了解植物的器官是怎么發(fā)育而來(lái)的——在整個(gè)發(fā)育過(guò)程中，植物分生組織定期以螺旋、對(duì)生或輪生方式產(chǎn)生器官。

想想普通的花菜，其特殊的結(jié)構(gòu)源于每一個(gè)分生組織產(chǎn)生的初生花原基都沒(méi)有最終發(fā)育到開(kāi)花階段，而是重復(fù)性的產(chǎn)生了更多相同的初生花原基，類似于一個(gè)發(fā)育過(guò)程中的“雪崩”效應(yīng)。

而寶塔菜結(jié)構(gòu)的自相似性是因?yàn)榉稚M織雖然最終不能形成花，但在發(fā)育過(guò)程中，初生花原基短暫的出現(xiàn)了一個(gè)“魂穿”的過(guò)程，即短暫的保持著花的“記憶”。

這一短暫的過(guò)程影響分生組織的生長(zhǎng)，產(chǎn)生了額外的突變，可誘導(dǎo)產(chǎn)生圓錐形結(jié)構(gòu)，最終形成了具有自相似特征的圓錐結(jié)構(gòu)，也就是分形。

想不到尋常的寶塔菜背后竟然隱藏著這么多復(fù)雜的知識(shí)點(diǎn)，果然是最高端的知識(shí)只需要最樸素的展現(xiàn)方式啊~

現(xiàn)在，無(wú)論是混沌還是分形，都逐漸與物理、數(shù)學(xué)、生物、化學(xué)等領(lǐng)域進(jìn)行融合，交叉發(fā)展出了很多新奇有趣的成果，你還知道哪些相關(guān)的有趣現(xiàn)象呢？

參考文獻(xiàn)

[1] 陳璐. 一個(gè)具有自組織結(jié)構(gòu)超混沌系統(tǒng)的控制與同步研究[D].東北師范大學(xué),2019.

[2] 王翔. 分布混沌理論及其應(yīng)用研究[D].大連理工大學(xué),2021.

[3] Physics T oday 66, 5, 27 (2013).

[4] The Secret Life of Chaos, BBC.

[5] Sean Bailly,L’art fractal du chou romanesco, Pour la Science, Septembre, 9, (10-11), (2021).

編輯：Norma

來(lái)源：中科院物理所