2022年阿貝爾獎(jiǎng)得主蘇利文：溝通不同領(lǐng)域的數(shù)學(xué)掌舵人

2022年阿貝爾獎(jiǎng)授予美國數(shù)學(xué)家丹尼斯·帕內(nèi)爾·蘇利文（Dennis Parnell Sullivan），表彰其“在最廣泛意義上對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，尤其是代數(shù)、幾何及動(dòng)力學(xué)方面”。數(shù)學(xué)大師蘇利文是當(dāng)今最有影響力的拓?fù)鋵W(xué)家之一，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)諸多分支作出根本性貢獻(xiàn)，在數(shù)學(xué)其他領(lǐng)域也頗有建樹。他的獲獎(jiǎng)實(shí)至名歸。年過八旬，蘇利文仍然在數(shù)學(xué)探索之路上。一路走來，有許多朋友、數(shù)學(xué)大師影響了他，而他又像一位引領(lǐng)方向的“司機(jī)”，成為了數(shù)學(xué)的掌舵人。

撰文 | 倪憶（加州理工學(xué)院數(shù)學(xué)系教授）

西蒙斯的“司機(jī)”

筆者小時(shí)候看過這樣一個(gè)故事：愛因斯坦成名后，經(jīng)常被邀請(qǐng)到各個(gè)大學(xué)演講。有一次，他的司機(jī)對(duì)愛因斯坦說：“我聽了您這么多次演講，我自己都會(huì)講了，下次可以替您講！”于是愛因斯坦下次果然讓司機(jī)冒充他去講，自己則扮作司機(jī)。司機(jī)講得很成功，但他講完后，臺(tái)下有人提問，司機(jī)當(dāng)然回答不出來。司機(jī)靈機(jī)一動(dòng)，一指愛因斯坦，說：“這個(gè)問題太簡單了，連我的司機(jī)都會(huì)回答！”愛因斯坦便上臺(tái)來，解答了這個(gè)問題。

這個(gè)故事當(dāng)然是虛構(gòu)的，但它流傳頗廣，絕不是中文圈所編造出來的。十幾年前，筆者曾經(jīng)聽過著名數(shù)學(xué)家、華爾街大佬西蒙斯（James Simons，1938-）的一場學(xué)術(shù)報(bào)告。西蒙斯開場便講了這個(gè)故事，然后他說：“今天大家要是有什么問題，我答不出來的，就去問我的司機(jī)……”

西蒙斯說的“司機(jī)”，就是聽眾席中的丹尼斯·帕內(nèi)爾·蘇利文（Dennis Parnell Sullivan，1941-）。那次報(bào)告，西蒙斯講的是跟蘇利文合作的關(guān)于微分上同調(diào)的工作。所謂“去問司機(jī)”，只是一個(gè)活躍氣氛的自嘲式笑話。進(jìn)入華爾街之前，西蒙斯已經(jīng)是一流的數(shù)學(xué)家。他曾在1976年獲得幾何、拓?fù)浣缱罡擢?jiǎng)——維布倫獎(jiǎng)。他與陳省身先生（1911-2004）合作完成的陳-西蒙斯理論在幾何、拓?fù)浜屠碚撐锢碇卸加兄浅Ｖ匾淖饔?。西蒙斯離開學(xué)術(shù)界前發(fā)表的最后一篇論文是“微分上同調(diào)”這一領(lǐng)域的經(jīng)典文獻(xiàn)。二十多年后，西蒙斯重回?cái)?shù)學(xué)研究，很自然地延續(xù)了當(dāng)年的工作，跟他的同事蘇利文合寫了幾篇重要論文。

西蒙斯這人絕頂聰明，眼界也非常高。離開學(xué)術(shù)界之前，他總共發(fā)表過不到十篇論文，合作者都是大師級(jí)數(shù)學(xué)家。重回?cái)?shù)學(xué)研究后，跟他合作的“司機(jī)”蘇利文，是數(shù)學(xué)界的一代宗師，獲得過無數(shù)榮譽(yù)。蘇利文最新得到的獎(jiǎng)勵(lì)是在2022年3月23日，由挪威科學(xué)與文學(xué)院頒發(fā)的數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)——阿貝爾獎(jiǎng)。

蘇利文丨圖源：紐約州立大學(xué)石溪分校

蘇利文獲得阿貝爾獎(jiǎng)，可謂是實(shí)至名歸。他是過去半個(gè)世紀(jì)里最有影響的拓?fù)鋵W(xué)家之一，對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的許多分支都作出了根本性的貢獻(xiàn)。但他的工作不僅僅是拓?fù)鋵W(xué)，還包括動(dòng)力系統(tǒng)、微分幾何、數(shù)學(xué)物理等等。他研究中使用的工具異常廣泛，來源于代數(shù)、數(shù)論、幾何、分析、理論物理等不同領(lǐng)域。阿貝爾獎(jiǎng)?lì)C獎(jiǎng)辭中說，授獎(jiǎng)“以表彰其在最廣泛意義上對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的開創(chuàng)性貢獻(xiàn)，尤其是代數(shù)、幾何及動(dòng)力學(xué)方面”，可謂十分精準(zhǔn)地概括了蘇利文的研究風(fēng)格。

領(lǐng)袖群倫的掌舵人

蘇利文本科就讀于萊斯大學(xué)。他起初的專業(yè)是化學(xué)工程。在數(shù)學(xué)課上學(xué)到了復(fù)分析里的黎曼映射定理后，他被深深地震撼了，決定轉(zhuǎn)到數(shù)學(xué)專業(yè)。他于1966年在普林斯頓大學(xué)獲得博士學(xué)位，導(dǎo)師是威廉·布勞德（William Browder，1934— ）。畢業(yè)后，他先后在英國華威大學(xué)、加州大學(xué)伯克利分校、麻省理工學(xué)院、巴黎第十一大學(xué)短期工作。蘇利文從1974年到1997年擔(dān)任法國國際高等科學(xué)研究院（IHéS）的終身教授，從1996年至今是紐約州立大學(xué)石溪分校教授。從1981年起，他在紐約城市大學(xué)研究生院兼任愛因斯坦講席教授。

在紐約城市大學(xué)，蘇利文組織了著名的愛因斯坦講席討論班，邀請(qǐng)世界各地的數(shù)學(xué)家前來做報(bào)告。這個(gè)討論班沒有時(shí)間限制，聽眾可以隨意提問。一次報(bào)告正常情況下都會(huì)超過三個(gè)小時(shí)，最長紀(jì)錄則是六個(gè)半小時(shí)。

有蘇利文參加的報(bào)告永遠(yuǎn)不會(huì)冷場，因?yàn)樗偸亲谇芭?，而且?guī)缀趺看味紩?huì)提問。在筆者參加過的一次會(huì)議上，某位演講者因?yàn)闀r(shí)間沖突，沒有親身前來，只是通過事先錄制的視頻發(fā)表演講。但會(huì)議現(xiàn)場的音響出了問題，效果很差。在這種情況下，絕大多數(shù)與會(huì)者都早早離開了。留下聽講的只有寥寥一二十人，其中就有蘇利文。他仍然坐在第一排，興致盎然地看著錄像，即使已經(jīng)不可能提問。

蘇利文對(duì)年輕人非常友善，經(jīng)常慷慨地分享自己的想法。我讀博期間，在某次會(huì)議后搭便車，跟他坐一輛車。我當(dāng)時(shí)正好要用到蘇利文上世紀(jì)70年代一個(gè)關(guān)于葉狀結(jié)構(gòu)的定理，但需要一個(gè)更強(qiáng)的版本，便借機(jī)問他這個(gè)更強(qiáng)的版本是否正確。蘇利文當(dāng)即便告訴我他的一些想法，建議我去嘗試一下證明。個(gè)人能力所限，我并沒有太聽懂他說的話，但卻能從中感受到他的熱情與坦誠。這是我同他很少的個(gè)人接觸之一。

蘇利文不吝于給予后輩贊美。令我印象深刻的一件事，是在一次會(huì)議上，Mohammed Abouzaid做了一個(gè)關(guān)于鄰近拉格朗日子流形猜想的報(bào)告。報(bào)告結(jié)束后，蘇利文對(duì)主持人說，他有一句評(píng)論。接過話筒，蘇利文只說了一個(gè)感嘆詞“哇喔！”（Wow）。這是我見證過的對(duì)報(bào)告人最不同尋常的贊揚(yáng)。

2011年，在石溪召開了一個(gè)慶祝蘇利文七十歲生日的會(huì)議。數(shù)學(xué)界的這種會(huì)議通常最多一個(gè)星期，但蘇利文涉足的領(lǐng)域太多，影響太過深遠(yuǎn)，所以他的生日會(huì)議開了十天。根據(jù)安排，在倒數(shù)第二天晚上，將在西蒙斯家中舉行一個(gè)大型宴會(huì)。所有與會(huì)者屆時(shí)在會(huì)場外集合，一起乘車前往。結(jié)果到了那天下午，會(huì)場周圍一下子多出了許多生面孔。好些人看模樣就不像是學(xué)數(shù)學(xué)的，多半是與會(huì)者的親友團(tuán)，想去一起蹭吃蹭喝，并見識(shí)一下億萬富翁的豪宅。

最后要去赴宴的人數(shù)保守估計(jì)是日常與會(huì)人數(shù)的兩倍以上，這讓會(huì)議組織者們壓力山大。不說別的，光是事先安排接送的加長轎車都遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠。下午最后一個(gè)報(bào)告結(jié)束后，一位秘書上臺(tái)講話，說來的人太多了，無法讓所有人都去宴會(huì)。為了讓西蒙斯先生以后還能給大家辦宴會(huì)，這次必須要秘書們篩選一遍，她們認(rèn)可的人才能上車。自然，許多人十分失望，但也理解組織者們的顧慮。

這時(shí)蘇利文神情冷峻，拿起手機(jī)，一邊打電話一邊走出會(huì)場。不一會(huì)兒，蘇利文回到會(huì)場，大手一揮：“沒問題了，所有人都可以去！”以蘇利文的作風(fēng)，大概是直接給西蒙斯打電話，讓他同意擴(kuò)大宴會(huì)規(guī)模。最終，組織者增派了許多車輛，調(diào)撥了更多人力物力，讓宴會(huì)得以成功舉辦，賓主盡歡。

可以說，蘇利文身上有著一種帶頭大哥的氣質(zhì)。他不光是學(xué)術(shù)出類拔萃，人格魅力上也自帶領(lǐng)袖氣場。從這個(gè)角度來看，西蒙斯說蘇利文是“司機(jī)”不全然是玩笑話。他當(dāng)之無愧地是數(shù)學(xué)界的一位掌舵人。

有理同倫論

蘇利文最早的工作是非常純粹的拓?fù)鋵W(xué)。在他的博士論文里，蘇利文極大地發(fā)展了拓?fù)鋵W(xué)里的手術(shù)理論，并用這一工具把組合拓?fù)鋵W(xué)里的“主猜想”（Hauptvermutung）化為對(duì)特定的上同調(diào)類的計(jì)算。這篇200頁的博士論文沒有正式發(fā)表在學(xué)術(shù)期刊上。蘇利文僅僅是在《美國數(shù)學(xué)會(huì)簡報(bào)》上發(fā)表了一篇3頁的研究報(bào)告，該報(bào)告為他贏得了1971年的維布倫獎(jiǎng)。（根據(jù)維布倫獎(jiǎng)的評(píng)獎(jiǎng)規(guī)則，獲獎(jiǎng)?wù)撐谋仨毷窃谶^去六年中發(fā)表于正式期刊上。蘇利文實(shí)際的獲獎(jiǎng)工作包含在沒有正式發(fā)表的博士論文里，所以獲獎(jiǎng)的是那篇發(fā)表的研究報(bào)告。）

在蘇利文的博士論文答辯中，答辯委員會(huì)成員斯廷羅德（Norman Steenrod，1910-1971）提問道：“你這個(gè)理論很好，但怎么計(jì)算這些上同調(diào)類呢？”蘇利文當(dāng)時(shí)并不知道答案，只能抱怨說：“沒有人對(duì)Hirsch-Mazur光滑化理論提出同樣的問題！”

蘇利文沒有記錄下斯廷羅德當(dāng)時(shí)的反應(yīng)，但他自己顯然對(duì)這個(gè)回答并不滿意。隨后乘船前往英國的旅途中，他苦苦思索這一問題，其間一度絕望地把自己的筆記扔進(jìn)大海。他最終得到了部分解答，并受此啟發(fā)，做出了他最重要的工作之一：有理同倫論。

拓?fù)鋵W(xué)里有兩個(gè)基本不變量：同調(diào)群和同倫群。其中同調(diào)群有現(xiàn)成的算法可以計(jì)算，同倫群的計(jì)算則十分困難，沒有一般的計(jì)算方法。1951年，法國數(shù)學(xué)家塞爾（Jean-Pierre Serre，1926-）發(fā)展了“譜序列”方法，并以之計(jì)算出了球面的有理系數(shù)的同倫群（簡稱有理同倫群）。塞爾因此獲得了1954年的菲爾茲獎(jiǎng)，是迄今為止最年輕的獲獎(jiǎng)?wù)摺?/p>

塞爾的工作提示大家，有理同倫群的計(jì)算比一般的同倫群簡單得多。1969年左右，蘇利文和奎倫（Daniel Quillen，1940—2011，1978年菲爾茲獎(jiǎng)得主）建立了有理同倫論，使得有理同倫群的計(jì)算成為可能。蘇利文采用的方法跟奎倫不同，通常被認(rèn)為更適合計(jì)算。按照法國科學(xué)院院士étienne Ghys的說法，蘇利文對(duì)有理同倫論的創(chuàng)建是“一件美妙的藝術(shù)品”，“這是數(shù)學(xué)歷史上的偉大時(shí)刻”。

在建立有理同倫論的過程中，蘇利文綜合使用了來自許多不同數(shù)學(xué)領(lǐng)域的思想和方法。他把微分流形的微分形式推廣到了沒有微分結(jié)構(gòu)的空間里，建立了相應(yīng)的德拉姆定理。他把代數(shù)數(shù)論和代數(shù)幾何里的“局部化”、“完備化”思想應(yīng)用于拓?fù)淇臻g，并把數(shù)論里常出現(xiàn)的“絕對(duì)伽羅華群”引入拓?fù)鋵W(xué)。采用這一套非常代數(shù)的辦法，他獨(dú)立證明了同倫論中的亞當(dāng)斯猜想。（奎倫用不同方法也證明了亞當(dāng)斯猜想。）

蘇利文的麻省理工講義丨圖源：Amazon

蘇利文建立有理同倫論的工作大部分起初只是以講義形式存在，只有一小部分作為論文發(fā)表在期刊上。他1970年的《麻省理工學(xué)院講義》在圈內(nèi)流傳了三十多年，直到2005年才被整理成書出版。這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)大師中并不罕見。蘇利文當(dāng)時(shí)正處在創(chuàng)造力的高峰期，有著大量的新想法。對(duì)這樣的頂級(jí)數(shù)學(xué)家來說，與其花費(fèi)時(shí)間精力去精雕細(xì)琢自己的論文，回復(fù)審稿人的各種問題，不如去開拓新的領(lǐng)域，把細(xì)節(jié)留給別人來填補(bǔ)。這樣做對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)反而會(huì)更大。

大師之間的友誼

1974年，蘇利文在國際數(shù)學(xué)家大會(huì)上做了題為《流形的內(nèi)與外》的全會(huì)報(bào)告。他指出，在有理同倫論建立之后，高維單連通流形的拓?fù)浞诸愐呀?jīng)接近完成。接下來要關(guān)注的，應(yīng)該是動(dòng)力系統(tǒng)、葉狀結(jié)構(gòu)等更能反映流形內(nèi)部幾何性質(zhì)的研究方向。他本人身體力行，在接下來的二十多年中研究流形的幾何性質(zhì)，包括動(dòng)力系統(tǒng)、雙曲幾何、群作用等等。他這方面的工作，很大程度上是受到了瑟斯頓（William Thurston，1946-2012，1983年菲爾茲獎(jiǎng)得主）的影響。

年輕時(shí)的瑟斯頓丨圖源：philosophyofscienceportal.blogspot.com

1971年，蘇利文訪問伯克利。一天，他去聽一場關(guān)于二維動(dòng)力系統(tǒng)的報(bào)告。報(bào)告人講完后，前排坐著的資深數(shù)學(xué)家們都沒有什么異議，后排卻有一個(gè)大胡子長頭發(fā)年輕人站起來，說報(bào)告中使用的算法不正確。然后這個(gè)年輕人就走上講臺(tái)，在黑板上畫了一個(gè)例子。把報(bào)告中的算法應(yīng)用到這個(gè)例子里，圖形變得越來越復(fù)雜，以至于這個(gè)算法不能成立。這個(gè)年輕人就是瑟斯頓，當(dāng)時(shí)還是一個(gè)研究生，而蘇利文已經(jīng)是維布倫獎(jiǎng)得主，當(dāng)世頂尖的拓?fù)鋵W(xué)家。盡管如此，蘇利文對(duì)瑟斯頓表現(xiàn)出來的幾何直覺仍然十分欽佩。

幾天以后，蘇利文被伯克利的研究生們邀請(qǐng)去在樓里粉刷壁畫。瑟斯頓正在墻上畫一條非常復(fù)雜的曲線，他問蘇利文：“你覺得這值得畫嗎？”

蘇利文問：“這是什么？”

“一條簡單閉曲線?！?/p>

“你最好賭它足夠有趣！”

于是瑟斯頓和蘇利文便花了幾個(gè)小時(shí)，把這幅壁畫完成。這幅畫在伯克利的數(shù)學(xué)樓里保存了將近四十年才被覆蓋。

瑟斯頓和蘇利文所粉刷的壁畫丨圖源：Notices of the AMS

簡單閉曲線就是只有一個(gè)分支的閉合曲線，但它可以非常復(fù)雜。在當(dāng)年，連蘇利文這樣的頂級(jí)拓?fù)鋵W(xué)家都沒有意識(shí)到這一點(diǎn)。瑟斯頓向蘇利文解釋了怎樣構(gòu)造出這樣的曲線，以及怎樣把它畫得漂亮。對(duì)蘇利文來說，這無疑是一場幾何思想的洗禮。蘇利文說，若干年后，他之所以不費(fèi)太大力氣就能理解瑟斯頓在曲面映射方面的工作，就是因?yàn)楫?dāng)初刷墻的幾個(gè)小時(shí)里已經(jīng)學(xué)到了其中的思想。

在七十年代后期，瑟斯頓把雙曲幾何引入低維拓?fù)涞难芯浚沟玫途S拓?fù)涓p曲幾何、克萊因群、泰希米勒理論、復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)等許多領(lǐng)域聯(lián)系起來。蘇利文在這些相關(guān)領(lǐng)域里做了大量的基本工作。他最重要的貢獻(xiàn)并不是證明了一個(gè)個(gè)具體的定理，而是從哲理的高度，提出了一個(gè)根本性的指導(dǎo)原則——“蘇利文字典”。

最早版本的蘇利文字典，來自其原始論文

蘇利文發(fā)現(xiàn)，克萊因群與復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)有諸多相似之處，很多概念和定理都可以一一對(duì)應(yīng)起來。運(yùn)用這個(gè)被稱為“蘇利文字典”的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以設(shè)法把一個(gè)領(lǐng)域中已有的概念和理論類比到另外一個(gè)領(lǐng)域中，或者用一個(gè)領(lǐng)域里的思想方法解決另外一個(gè)領(lǐng)域中的未知問題?！疤K利文字典”在克萊因群和復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)里催生了大量的研究，被成功用來解決許多難題，深刻地改變了這兩個(gè)學(xué)科的面貌。蘇利文本人用這一原則解決了復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)創(chuàng)始人Fatou和Julia遺留下來的有65年歷史的難題。瑟斯頓的幾何化綱領(lǐng)也深受蘇利文字典的影響。

曼德布洛特集是復(fù)動(dòng)力系統(tǒng)研究的重要對(duì)象，在蘇利文字典里也有一席之地丨圖源：維基百科

像蘇利文一樣，瑟斯頓最重要的工作沒有發(fā)表，僅以普林斯頓大學(xué)講義的形式存在。在這個(gè)講義里，瑟斯頓重新發(fā)現(xiàn)了“圓填充”（circle packing）的概念。但瑟斯頓講義中包含的數(shù)學(xué)過于豐富，以至于圓填充起初沒有得到學(xué)界的重視。在1985年的一次演講中，瑟斯頓猜測，利用圓填充可以給復(fù)分析里的黎曼映射定理一個(gè)簡單的構(gòu)造性證明。瑟斯頓的這個(gè)猜想在1987年被Burt Rodin和蘇利文所證明。以此為起點(diǎn)，圓填充得到了大量關(guān)注，逐漸發(fā)展成了一個(gè)獨(dú)立的領(lǐng)域，并在計(jì)算機(jī)可視化里有許多應(yīng)用。

圓填充的一個(gè)例子。圖中三角形和圓形內(nèi)部的圓填充有著同樣的組合模式，但三角形內(nèi)部用到的圓大小相同，圓形內(nèi)部的圓大小不同。丨圖源：Notices of the AMS

蘇利文和瑟斯頓的友誼持續(xù)了四十多年，彼此都從中獲益良多。瑟斯頓因病逝世后，蘇利文一氣呵成地寫出了一篇回憶文章，講述他們兩人交往過程中發(fā)生的十一個(gè)故事。

來自物理學(xué)的影響

從上世紀(jì)80年代開始，物理學(xué)對(duì)純數(shù)學(xué)研究產(chǎn)生了出人意料的影響。這方面最著名的例子就是唐納爾森（Simon Donaldson，1957-，1986年菲爾茲獎(jiǎng)得主）用規(guī)范場論構(gòu)造出了四維微分流形的不變量，以及威騰（Edward Witten，1951-，1990年菲爾茲獎(jiǎng)得主）等物理學(xué)家發(fā)展的弦理論對(duì)數(shù)學(xué)諸多領(lǐng)域的沖擊。在這個(gè)物理學(xué)引發(fā)的大潮里，蘇利文同樣站在時(shí)代前沿。

1989年，蘇利文與唐納爾森合作，把唐納爾森理論推廣到了四維擬共形流形。這是他在80年代為數(shù)不多的拓?fù)涔ぷ髦弧?/p>

1999年，部分地受到威騰的啟發(fā)，蘇利文和他的現(xiàn)任妻子Moira Chas定義了“弦拓?fù)洹保l(fā)現(xiàn)了上面的李代數(shù)結(jié)構(gòu)?！跋彝?fù)洹边@個(gè)名字就暗示著其思想來源于弦理論。（弦拓?fù)渥詈唵蔚睦釉缦扔缮诡D的學(xué)生William Goldman發(fā)現(xiàn)。）弦拓?fù)湓谛翈缀魏土孔訄稣撝卸加袕V泛應(yīng)用，是當(dāng)前的研究熱點(diǎn)。

蘇利文是一個(gè)對(duì)物理學(xué)抱有開放態(tài)度的數(shù)學(xué)家，他對(duì)物理學(xué)的許多領(lǐng)域都有所關(guān)注，并不光是規(guī)范場論和弦理論這種基礎(chǔ)理論。他關(guān)于費(fèi)根鮑姆常數(shù)的工作就是一個(gè)例子。

1975年，洛斯阿拉莫斯實(shí)驗(yàn)室的物理學(xué)家費(fèi)根鮑姆（Mitchell Feigenbaum，1944-2019）在研究單峰映射的迭代時(shí)，通過數(shù)值計(jì)算發(fā)現(xiàn)了“倍周期分岔”。這是一種重要的混沌現(xiàn)象，在物理學(xué)的許多分支里有著廣泛的應(yīng)用。費(fèi)根鮑姆因此獲得了1986年的沃爾夫物理學(xué)獎(jiǎng)。

單峰映射的分岔圖。其中每一個(gè)二股叉長度與下一個(gè)二股叉長度的比值的極限是第一費(fèi)根鮑姆常數(shù)，每一個(gè)二股叉寬度與適當(dāng)選取的下一個(gè)二股叉寬度的比值的極限是第二費(fèi)根鮑姆常數(shù)丨圖源：維基百科

在倍周期分岔里，出現(xiàn)了兩個(gè)常數(shù)4.669201...和2.502907...，分別被稱為第一費(fèi)根鮑姆常數(shù)和第二費(fèi)根鮑姆常數(shù)。費(fèi)根鮑姆等人采取物理學(xué)家常用的“重整化”方法，在計(jì)算機(jī)輔助下證明了這兩個(gè)常數(shù)在很大一類動(dòng)力系統(tǒng)里都有著同樣的值，是跟π和e一樣的普適性常數(shù)。從幾何上說，這意味著分岔圖在這些動(dòng)力系統(tǒng)里都有著相似的形狀。

然而，從數(shù)學(xué)家的角度來看，物理學(xué)家的證明并不嚴(yán)格，而且計(jì)算機(jī)的輔助讓人類難以真正理解其中的意義。許多動(dòng)力系統(tǒng)專家開始尋找一個(gè)對(duì)于費(fèi)根鮑姆常數(shù)普適性的純數(shù)學(xué)證明。蘇利文在這其中起到了關(guān)鍵作用。他用泰希米勒理論給出了一個(gè)數(shù)學(xué)證明的綱領(lǐng)，并且證明了重整化映射的收斂性。他的學(xué)生麥克馬倫（Curtis McMullen，1958-，1998年菲爾茲獎(jiǎng)得主）證明，這個(gè)問題在蘇利文字典里對(duì)應(yīng)于瑟斯頓的映射環(huán)面上雙曲結(jié)構(gòu)存在性定理。最終，蘇利文在石溪的同事，烏克蘭裔數(shù)學(xué)家柳比奇（Mikhail Lyubich，1959-）在1999年給出了普適性的第一個(gè)數(shù)學(xué)證明。

蘇利文對(duì)流體力學(xué)一直非常感興趣。他在萊斯大學(xué)讀本科時(shí)，暑假經(jīng)常到石油公司實(shí)習(xí)，所做的工作就是用計(jì)算機(jī)求解線性化的納維-斯托克斯方程。在過去三十年里，蘇利文從代數(shù)拓?fù)涞慕嵌人伎剂黧w力學(xué)，尤其是納維-斯托克斯方程。這是一個(gè)過于復(fù)雜的領(lǐng)域，蘇利文雖然已經(jīng)發(fā)表了一些論文，有的還發(fā)表在一流雜志上，但尚未取得任何讓他滿意的階段性成果。按他自己的話來說，他對(duì)這個(gè)主題已經(jīng)理解得越來越多，但仍然在嘗試。

人們常說，數(shù)學(xué)是年輕人的學(xué)科。但八旬高齡的蘇利文至今仍然活躍在科研一線，積極學(xué)習(xí)各個(gè)領(lǐng)域的最新進(jìn)展，并嘗試開拓更多的研究方向。對(duì)于蘇利文來說，數(shù)學(xué)探索沒有禁區(qū)，更沒有盡頭。

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