摯愛數(shù)學(xué)：非凡的天才伽羅瓦和他優(yōu)美的理論

數(shù)學(xué)天才伽羅瓦，20歲時死于一場決斗，結(jié)束了他短短的一生，而他思想的精華將永遠(yuǎn)流淌在歷史的長河里。

撰文 | Kasper Müller

翻譯 | 許釗箐

1832年5月30日清晨，隨著一聲槍響，只有20歲的埃瓦里斯特·伽羅瓦（évariste Galois）受傷倒在滿是露珠的草地上。歷史上最迷人，最神秘的人物之一即將走向生命的終結(jié)。

伽羅瓦丨圖片來源：Wikimedia Commons

引 言

這是一個關(guān)于愛情和數(shù)學(xué)的故事，和一個非常聰明的年輕人有關(guān)。他潦草的手稿開啟了數(shù)學(xué)中最優(yōu)美、最有趣的領(lǐng)域之一，也引發(fā)了一場關(guān)于我們?nèi)绾嗡伎挤匠痰母锩?。他不僅解決了一個350年懸而未決的問題，他的理論還為幾個兩千年未解的問題提供了答案。我們稍后會講到這些。

更具體地說，伽羅瓦考慮了多項式求根的問題。（譯者注：多項式的根，也被稱為多項式的解，即使得多項式p(x)函數(shù)值為零的x的值）

當(dāng)時數(shù)學(xué)家已經(jīng)知道，五次以及五次以上的多項式?jīng)]有可以求根的通用公式。（對于這里的公式，我們指的是取n次方根并應(yīng)用四則運算。這個概念也被稱為根式可解，本文中簡稱為可解。）但是，伽羅瓦想理解為什么有的高次多項式是根式可解的，而其他的是不可解的。（譯者注：這里讀者可以利用二次多項式求根公式為例來理解根式可解這個概念。）

例如方程x5-1=0是可解的，我們稱這些解為五次單位根。這些解十分漂亮地均勻分布在復(fù)數(shù)平面的單位圓上，也是一個正五邊形的頂點，即五個五次單位根。

所以一些d階（其中d≥5）的多項式方程，事實上是可解的！伽羅瓦理論解決的問題正是為什么是這樣的，以及哪些方程是根式可解的，而不是僅僅知道一些方程是不可解的。

一些多項式方程不可解的事實是被另一位天才——年輕的挪威數(shù)學(xué)家尼爾斯·亨利克·阿貝爾（Niels Henrik Abel）所證明的。其實幾位大數(shù)學(xué)家，比如魯菲尼（Paolo Ruffini）和柯西（Augustin-Louis Cauchy），也對此有所貢獻，但是沒人提出接近于伽羅瓦的理論，也沒人可以確切地解釋原因。

在本文中，我們將首先了解歷史概況和伽羅瓦的生平，然后簡要地介紹他的英年早逝，年僅20歲的神秘死亡。之后，我們會看到其優(yōu)美的數(shù)學(xué)理論的全貌，以及討論為什么它是如此的優(yōu)雅。

盡管一篇文章無法涵蓋伽羅瓦理論的全部，但我希望可以向你們展示其優(yōu)雅和美麗的一部分，希望它激勵你們自己去學(xué)習(xí)和探索。

伽羅瓦其人

伽羅瓦出生在1811年10月25日。他很早就對數(shù)學(xué)感興趣，在14歲時，他找到了勒讓德（Adrien-Marie Legendre）的《幾何基礎(chǔ)》（éléments de Géométrie）一書。據(jù)說，他讀這本書“像讀小說一樣”，并在第一次閱讀時就掌握了它。

15歲時，他開始閱讀拉格朗日的論文，他可能因此受到很大啟發(fā)。

盡管伽羅瓦在自己的時間里努力學(xué)習(xí)，但他在課堂上卻沒有什么動力。

1828和1829年，他被巴黎綜合理工學(xué)院兩次拒之門外，這里有當(dāng)時法國最負(fù)盛名的數(shù)學(xué)學(xué)院。第一次是因為偏科，第二次是因為沒有通過口試，據(jù)說他把口試搞砸了。（譯者注：巴黎綜合理工學(xué)院被認(rèn)為是法國最頂尖的工程師大學(xué)，被譽為法國精英教育模式的巔峰。）

從這個時刻開始，日月如梭， 1829年伽羅瓦發(fā)表了一篇關(guān)于連分?jǐn)?shù)的論文，大約在同一時間，他投稿了一些關(guān)于多項式方程的論文。審稿人正是當(dāng)時最偉大的數(shù)學(xué)家之一：奧古斯丁-路易斯·柯西。

但是，盡管柯西建議伽羅瓦將文章提交到法國科學(xué)院以參加學(xué)院獎（Grand Prix），但是他并沒有發(fā)表伽羅瓦的論文。

直到今天，沒有人知道為什么柯西沒有發(fā)表它。有人說，他認(rèn)識到伽羅瓦思想的重要性，但建議伽羅瓦在出版前進行一些編輯。也有些人說，政治因素起到了一定作用。(顯然，柯西和伽羅瓦的政治觀點相沖突，這在當(dāng)時是一件大事。)

1829年7月28日，伽羅瓦的父親去世了。伽羅瓦和他父親的關(guān)系非常親密，所以對他來說，這是生命中一次沉重的打擊。

1830年，在柯西的建議下，伽羅瓦向另一位數(shù)學(xué)巨匠——約瑟夫·傅里葉（Joseph Fourier）——提交了關(guān)于方程理論的論文。不幸的是，不久之后傅里葉就去世了，伽羅瓦的論文也丟失了。

這對伽羅瓦來說，當(dāng)然是一個挫折，但他并沒有輕言放棄。同年晚些時候，他發(fā)表了三篇論文。其中一篇概述了后來被稱為伽羅瓦理論的內(nèi)容，另一篇則首次研究了我們現(xiàn)在稱之為有限域（Finite field）的數(shù)學(xué)概念，它后來在數(shù)論領(lǐng)域非常重要。

為了了解伽羅瓦的處境和生活，我們需要了解法國當(dāng)時發(fā)生了什么。那時正值法國七月革命中期，也被稱為法國第二次革命，伽羅瓦不僅參與了這場革命，還參加了戰(zhàn)斗和辯論。他加入了街頭的暴亂，把時間都花在了數(shù)學(xué)和政治上。

伽羅瓦死亡之謎

在父親死后的幾年里，伽羅瓦變得越來越暴力，他被逮捕了多次。1831年1月，伽羅瓦再次試圖發(fā)表他的理論，但是偉大的數(shù)學(xué)家西莫恩·丹尼斯·泊松（Siméon Denis Poisson）認(rèn)為他的工作是“令人費解的”。

伽羅瓦當(dāng)時在監(jiān)獄里，對泊松的拒稿非常憤怒。但不知為何，這次他很認(rèn)真地對待了批評，并開始整理自己的工作，更仔細(xì)地撰寫了自己的陳述。

伽羅瓦于1832年4月29日獲釋。不久之后，他參與了一場決斗。

關(guān)于那場著名的決斗，有許多猜測。一封伽羅瓦寫于決斗前5天的信表明他戀愛了，而這場決斗正是為了他的愛人。

在決斗的前一天晚上，伽羅瓦確信自己即將死去，他整夜未眠，寫下了后來他對數(shù)學(xué)界貢獻最大的一篇論文：寫給奧古斯特·謝瓦利埃（Auguste Chevalier）的那封表達(dá)自己觀點的著名信件，以及三份附呈的手稿。

伽羅瓦手稿的最后一頁丨圖片來源：Wikimedia Commons

數(shù)學(xué)家赫爾曼·外爾（Hermann Weyl）在談到這篇手稿時說，

“如果從這封信所包含思想的新穎性和深刻性來判斷，它也許是整個人類文獻中最豐富的一篇文章。”

這就是偉人名言。

1832年5月30日清晨，伽羅瓦腹部中槍，隨后被對手拋棄。

第二天早上，年僅20歲的伽羅瓦去世了。

之后的故事

在1843年，約瑟夫·劉維爾（Joseph Liouville）審閱了伽羅瓦的手稿，并宣布它是正確的。這篇論文最終在1846年，也就是伽羅瓦死后14年出版。

然而這個理論花了更長的時間才在數(shù)學(xué)家中流行起來，人們才真正理解它的奧妙。

事實上，劉維爾完全錯過了伽羅瓦方法的理論核心——群（Group），直到世紀(jì)之交，伽羅瓦理論才被完全理解，并被確立為抽象代數(shù)（Abstract algebra）的核心部分。這一理論花了將近一百年才成為代數(shù)課程的標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容。

伽羅瓦手稿中最著名的部分是證明五次多項式的求根公式不存在——也就是說，五次和高次多項式方程通常不能被根式求解。

如上所述，阿貝爾在1824年就已經(jīng)證明了根式求解的“五次公式”是不可能存在的，但是伽羅瓦進行了更深入的理論研究，提出了現(xiàn)在的伽羅瓦理論。

這一理論可以用來確定任意的一個多項式方程是不是有根式解。

伽羅瓦是第一個創(chuàng)造“群”這個詞的人，他使用的定義（幾乎）和我們今天在不同的大學(xué)和學(xué)院使用的定義一樣。他提出了正規(guī)子群（Normal subgroup）和有限域的概念，我們稍后也將對此進行討論。

本質(zhì)上說，伽羅瓦是現(xiàn)代群論和抽象代數(shù)領(lǐng)域的開創(chuàng)者之一。

群論是研究對稱的數(shù)學(xué)，在很多數(shù)學(xué)和物理的學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。而抽象代數(shù)也被稱為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)的語言”。

我清晰地記著，當(dāng)我在學(xué)習(xí)伽羅瓦理論的課程之前，我已經(jīng)學(xué)習(xí)過了多門抽象代數(shù)的課程，比如群論（Group Theory），環(huán)論以及理想（Ring and Ideal Theory），域論（Field Theory）和模理論（Module Theory，模是指在環(huán)上的線性空間，而不是域上的），這一切都非常的抽象。

之后我學(xué)到了伽羅瓦理論，很多之前學(xué)到的內(nèi)容，特別是群論和域論，都得到了應(yīng)用。最后，我可以使用所有的這些抽象的數(shù)學(xué)對象來證明，為什么一些特定的多項式方程沒有根式解，而且這些還不是全部的伽羅瓦理論。

這正是我認(rèn)為伽羅瓦理論美妙的原因。

伽羅瓦理論

伽羅瓦理論將抽象代數(shù)中兩個的子領(lǐng)域聯(lián)系起來——群論和域論。

就像之前提到的，伽羅瓦理論的誕生是由以下這個問題引出的：

對于一個五次或者更高次的多項式方程，是否存在一個公式可以通過使用多項式的系數(shù)，常用的代數(shù)運算（加，減，乘，除）以及根式（平方根、三次方根等等）將所有的根，也就是方程的所有解表示出來？

盡管阿貝爾-魯菲尼定理（The Abel-Ruffini theorem）提供了一個反例，證明了存在多項式方程使得這樣一個表達(dá)式不存在，但是伽羅瓦的理論可以解釋為什么有些方程，包括所有四次以及更低次的方程，求根式解是可能的，以及為什么很多五次以及更高次方程是沒有根式解公式的，從而為之前的問題提供了一個更完備也更清晰的答案。

現(xiàn)代的伽羅瓦理論使用了群和域的語言，所以我將試著在避免涉及太多其他知識的同時解釋伽羅瓦理論，但為了完整性起見，我們將簡要地介紹這些數(shù)學(xué)概念。

群 論

群論是研究對稱性的。

想象一個正方形：這個正方形具有一定的對稱性——如果旋轉(zhuǎn)90度，它看起來是一樣的，旋轉(zhuǎn)180度和270度也是一樣的；當(dāng)然，如果旋轉(zhuǎn)360度后，會回到初始的狀態(tài)。

為了記錄下來，我們可以想象正方形的四個角都被標(biāo)記了，這樣我們就知道是如何變換的。

還有一種反射對稱，比如選擇一個軸，或者說一條線，穿過正方形中間，將其分割成為兩個大小相等的矩形。你可以沿這條線翻轉(zhuǎn)這個正方形，它看起來還是一樣的，但是這個變換是和旋轉(zhuǎn)不同的。

最后一種就是平凡對稱性（什么都不變）。

每一種對稱都有一種反對稱：比如，順時針旋轉(zhuǎn)90度之后再逆時針旋轉(zhuǎn)90度，兩個變換會相互抵消，最后等價于平凡對稱。

這個概念可以用代數(shù)的方法進行推廣。

一個群G是由滿足以下條件的一個集合和一個運算構(gòu)成：

1. 對于兩個群中的元素g, h，運算之后會得到在群中的元素g*h；

2. 存在一個單位元e使得任意一個元素g與其運算之后不變，g*e=e*g=g；

3. 對于任意元素g，存在一個逆元a使得g*a=a*g=e。

在以上的例子中，群中的元素正是變換本身。比如說，旋轉(zhuǎn)90度和上文提到的反射變換都是群中的元素，我們把旋轉(zhuǎn)90度記作σ，把反射變換記作τ。

這個群的運算正是變換的復(fù)合。所以我們可以得到σ*τ，也就是先沿著對稱軸做一次翻轉(zhuǎn)，再旋轉(zhuǎn)90度。但是我們可以注意到，σ*τ≠τ*σ，所以在群中，元素運算的順序是很重要的。（譯者注：我們這里不妨假設(shè)旋轉(zhuǎn)是順時針旋轉(zhuǎn)的，并且正方形的四個角是有標(biāo)號的，這樣讀者可以通過畫圖驗證，先翻轉(zhuǎn)再旋轉(zhuǎn)的結(jié)果與先旋轉(zhuǎn)再翻轉(zhuǎn)的結(jié)果不同。）

因此群的概念是一種將對稱抽象化的方式。事實上，抽象變換的群很多，我們甚至不知道如何將其中的一些群可視化。

但是最簡單的群之一是大家耳熟能詳?shù)模喊姓麛?shù)的集合和加法運算就構(gòu)成了一個群。

當(dāng)我們加兩個整數(shù)時，我們會得到第三個整數(shù)（這個集合對于加法來說是穩(wěn)定的）。單位元是0，因為對任意整數(shù)k, 0+k=k+0=k，并且逆元正是-k, k+(-k)=0。

所以，

是一個群。但是整數(shù)集合和加法運算的群體現(xiàn)了什么對稱性呢？答案是平移對稱性。加上一個整數(shù)k

可以看成是沿著數(shù)軸平移距離k，正負(fù)代表方向。

域 論

在數(shù)學(xué)中，域是一種特殊的環(huán)。你可以認(rèn)為一個域是一個具有兩種運算的集合，運算通常記為加法和乘法，即+和*，這里的加法和乘法可能并不是平常使用的運算，它們?nèi)Q于域

在討論伽羅瓦理論美妙之處之前，我們還需要知道分裂域（Splitting feild）是什么。不過這是非常簡單的。

考慮一個系數(shù)均為有理數(shù)的n次多項式f，我們從代數(shù)基本定理可知，n次多項式f恰好有n個復(fù)數(shù)根（根的重數(shù)計算在內(nèi)）。

最后一個概念是域K的自同構(gòu)（Automorphism）。這是一個巧妙的詞，用來表示在域中保持結(jié)構(gòu)的置換。如果σ是K的自同構(gòu)，則

σ(x+y)=σ(x)+σ(y), σ(x*y)=σ(x)*σ(y)

并且σ是一個雙射，即這個映射是一個單射也是滿射。

假設(shè)域K是域F的擴張域，也就是說，F(xiàn)是K的子域；我們可以考慮固定域F的K上的自同構(gòu)σ，對任意域F的元素x，σ(x)=x。

伽羅瓦理論的基本定理

對于一個給定的多項式，不同的代數(shù)方程可以將不同的根聯(lián)系起來。（本文中代數(shù)方程指的是有理數(shù)系數(shù)的多項式方程。）

伽羅瓦理論的主要思想就在于考慮根的置換，使得其在置換后，原本滿足的代數(shù)方程仍然是成立的。

這些置換形成的群就被稱為該多項式的伽羅瓦群。

可解群

伽羅瓦本人在當(dāng)時那個著名的手稿中就理解并研究過，考慮一個多項式f，如果f的伽羅瓦群是一個可解群（Solvable group），那么這個多項式就是根式可解的，反之則不是。

當(dāng)然，我還需要告訴你，可解對于一個群來說意味著什么。

考慮一個群G和其子群H, H＜G。如果以下的條件成立：對于H中的元素h，和群G中元素g和其逆元a，元素g*h*a∈H，我們稱H是G一個的正規(guī)子群。

這意味著，H在群G的作用下，或者說是在群G元素的共軛作用下是不變的。

更一般地說，通過正規(guī)子群H以及群G中的元素，我們可以構(gòu)造一個等價關(guān)系。這需要使用陪集（Cosets）的理論，但是我們不假設(shè)讀者熟悉這些，這不在我們這篇文章的范疇里。因此我們在這里就說，這個等價關(guān)系可以構(gòu)造一個新的群。

小 結(jié)

伽羅瓦理論的美在于我們可以把每一個多項式和保持其根的代數(shù)信息的群聯(lián)系起來。通過研究這個群，我們可以把該代數(shù)信息轉(zhuǎn)換到多項式的世界里。

我之前提到我們可以使用這個理論來證明一些非常古老的問題。

作為伽羅瓦理論的副產(chǎn)品，“立方倍積”（Doubling the cube）和“化圓為方”（Squaring the circle）這兩個問題最終被證明是不可能的。它們都與之前提到的有理數(shù)域的擴張有關(guān)。

埃瓦里斯特·伽羅瓦毫無疑問是一流的天才。時代和環(huán)境帶給他了很多困難，他的隨意也在數(shù)學(xué)界被認(rèn)為是非常規(guī)的，并且在某種程度上，現(xiàn)在也不被接受，因為數(shù)學(xué)需要非常準(zhǔn)確和小心，避免歧義。數(shù)學(xué)家常常用“嚴(yán)密性”（ rigorousness）來形容這種要求。

但是這不意味著他的理論是不正確的。伽羅瓦理論是正確并優(yōu)美的！現(xiàn)在，它被應(yīng)用在很多不同的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，包括安德魯·懷爾斯（Andrew Wiles）對于費馬大定理的證明以及代數(shù)數(shù)論等領(lǐng)域。

使用群來表示另一個結(jié)構(gòu)的想法是絕妙的。這一思想現(xiàn)在被應(yīng)用在很多領(lǐng)域，比如在代數(shù)拓?fù)洌ˋlgebraic topology）中，我們可以研究一個群來得到拓?fù)淇臻g的信息；在代數(shù)幾何（Algebraic geometry）中，可以通過使用環(huán)論和理想理論來研究多項式的解集；橢圓曲線上的點構(gòu)成了一個群，等等。

親愛的讀者，如果你閱讀到這里的話，我希望你喜歡這段關(guān)于伽羅瓦的旅程。請通過評論告訴我。

感謝閱讀。

本文譯自Kasper Müller, For the Love of Mathematics，原文地址：
https://www.cantorsparadise.com/for-the-love-of-mathematics-84bf86a8ae09

特 別 提 示

1. 進入『返樸』微信公眾號底部菜單“精品專欄“，可查閱不同主題系列科普文章。

2. 『返樸』提供按月檢索文章功能。關(guān)注公眾號，回復(fù)四位數(shù)組成的年份+月份，如“1903”，可獲取2019年3月的文章索引，以此類推。

版權(quán)說明：歡迎個人轉(zhuǎn)發(fā)，任何形式的媒體或機構(gòu)未經(jīng)授權(quán)，不得轉(zhuǎn)載和摘編。轉(zhuǎn)載授權(quán)請在「返樸」微信公眾號內(nèi)聯(lián)系后臺。