謎一樣的古埃及分?jǐn)?shù)

　　古埃及人用不同的符號代表了不同的分?jǐn)?shù)，這些分?jǐn)?shù)之間有著十分奇妙的關(guān)聯(lián)。那么，古埃及分?jǐn)?shù)到底是什么呢？ 

　　古埃及分?jǐn)?shù)也稱為單分子分?jǐn)?shù)，即分子為1的分?jǐn)?shù)，比如1/5、1/7。而對于非單分子分?jǐn)?shù)，古埃及人也可以巧妙地運(yùn)用古埃及分?jǐn)?shù)進(jìn)行表示。蘭特紙草書的第一頁就有一個表格，上面記錄了如何用古埃及分?jǐn)?shù)來表達(dá)分子是2的分?jǐn)?shù)。表達(dá)式如下：2/5=1/3+1/15，2/11=1/6+1/66，2/29=1/24+1/58+1/174+1/232，記錄的最后一個分?jǐn)?shù)為2/101。 

　　古埃及人為何如此鐘意單分子分?jǐn)?shù)呢？世人有很多猜想，有人覺得當(dāng)時的數(shù)學(xué)就是為了滿足日常生活和生產(chǎn)需求，還談不上數(shù)學(xué)研究，可能單分子分?jǐn)?shù)的發(fā)明就是為了對物資進(jìn)行平均分配。比如8個人平均分配7個面包時，就可以用古埃及分?jǐn)?shù)來解決。7/8可以用古埃及分?jǐn)?shù)表示為7/8=1/2+1/4+1/8。先取4個面包，每個面包平均切成2等份，合計8等份；再取2個面包，每個面包平均切成4等份，合計8等份；剩下的1個面包平均切成8等份。那么，最終每個人能拿到3份面包，如此保證了每個人分得的數(shù)量和份量都是一樣的。 

　　數(shù)學(xué)上把項數(shù)最少的展式稱為最優(yōu)展式，而蘭特紙草書中的展式并不全都是最優(yōu)展式。對于同一個數(shù)字來說，用古埃及分?jǐn)?shù)表達(dá)的方式有很多種。比如2/3=1/2+1/6，而其中1/6=1/7+1/42，因此可表達(dá)為2/3=1/2+1/7+1/42；其中1/42=1/43+1/1806，因此又可表達(dá)為2/3=1/2+1/7+1/43+1/1806。如此分解下去，可以將展式的項數(shù)無限擴(kuò)展。由此可知，古埃及人在當(dāng)時還沒有形成一套科學(xué)合理性很完整的數(shù)學(xué)體系。 

　　在最優(yōu)展式的基礎(chǔ)上，近代科學(xué)家又進(jìn)一步的對古埃及分?jǐn)?shù)進(jìn)行了研究，分析真分?jǐn)?shù)的最優(yōu)展式是否是唯一的。以最簡單的1為例，進(jìn)行單分子分?jǐn)?shù)表達(dá)，不僅要項數(shù)最少，而且分母必須為奇數(shù)。最終，在1976年得出5種展式： 

　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/35+1/45+1/231 

　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/135+1/10395 

　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/165+1/693 

　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/21+1/231+1/315 

　　1=1/3+1/5+1/7+1/9+1/11+1/15+1/33+1/45+1/385 

　　這5個展式的前6項是相同的，但后3項的差異也說明了并不是所有的真分?jǐn)?shù)的最優(yōu)展式都是唯一的。 

　　數(shù)學(xué)的產(chǎn)生源自于實際的需求，并且通過在現(xiàn)實生活中的應(yīng)用而得以發(fā)展。古埃及人既然發(fā)明了單分子分?jǐn)?shù)，也就是說他們在實際生產(chǎn)和生活中需要用到這種分?jǐn)?shù)。至于是什么樣的運(yùn)用，就需要人們慢慢探尋，揭開謎底了。 

　　事實上，對古埃及分?jǐn)?shù)的研究還存在很多疑問，比如古埃及人創(chuàng)造如此復(fù)雜的單分子分?jǐn)?shù)的目的是什么？他們是通過什么方法得出的展式？為什么每一個展式不是另外一種表達(dá)方式？不得不佩服古埃及人在數(shù)學(xué)上的思考。期待這些未解之謎也會在不久的將來得到答案。 

　　本文由中國人民大學(xué)附屬中學(xué)第二分校一級教師秦薇進(jìn)行科學(xué)性把關(guān)。 

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