筆尖、尺子、桌面和房間有什么區(qū)別？

　　我們坐在3維的屋子里，在2維的桌面上學(xué)習(xí)、辦公，沿著1維的尺子丈量物體，用0維的筆尖書寫——“維度”看起來如此尋常易懂。然而，數(shù)學(xué)家們卻并不這么認為。一代代的數(shù)學(xué)家在問題與矛盾中不斷地思索、辯證，希望能夠給出確切的答案：維度到底是什么？點、線、面、體之間，有什么樣的聯(lián)系和本質(zhì)的區(qū)別？

　　撰文 | 戴維·S。里奇森（David S。 Richeson）

　　翻譯 | 李詩源

　　審校 | 王昱

　　乍一看，“維度”（dimension）的概念似乎很直觀。古人便已知道我們生活在3維空間中。亞里士多德曾在著作里表示：“可以在1個方向上表征大小的（形狀）是一條線，2個方向的是一個平面，而3個方向的則是一個體。除此之外，沒有別的可以表征大小的情形存在，因為只存在上述的這些維度。”

　　但是，隨后我們就會意識到，給“維度”這個概念下一個詳盡的定義并推廣到一般情形，是極為困難的。數(shù)百年來，人們進行了大量的思想實驗，通過想象來進行類比，才讓我們?nèi)缃衲軐@一概念有較為嚴格的解釋。

　　不過，數(shù)學(xué)家等群體一直很享受構(gòu)想更多維度，做一些腦力鍛煉。如果第4個維度以某種方式與我們的3維空間垂直，那會是什么樣的？

　　腦力游戲

　　一種很常用的方法是，假設(shè)我們的可知宇宙是3維空間中的一個2維平面。在這個平面上方，飄浮著一個我們看不見的實心球體。但如果這個球體掉落并接觸到平面，就會產(chǎn)生一個點。隨著球體繼續(xù)穿過平面，交界處會產(chǎn)生一個圓盤，并且逐漸增大，直到達到最大大小。隨后，圓盤逐漸縮小，最終徹底消失。我們正是通過這些截面，看到了3維的圖形。

　　以此類推，如果一個4維球體穿過我們所熟悉的3維宇宙，那么首先會出現(xiàn)一個點，然后這個點變成一個先增大后縮小的球體，直至消失。這讓我們對4維的圖形有了一點概念，但還有其他方法可以想象這些圖形。

　　比方說，讓我們試著在4維空間中構(gòu)建一個立方體的等價物體，即超立方體（tesseract）。如果一開始有一個點，我們可以把這個點沿著一個方向進行“掃描”，這樣就得到了一條線段；將這條線段沿著與之垂直的方向“掃描”，可以得到一個正方形；以此類推，我們可以得到一個3維的立方體和一個4維的超立方體。

　　綜合以上的內(nèi)容，我們可以直觀地認為，如果一個抽象空間內(nèi)有n個自由度，或者是空間中一個點的位置需要n個坐標來描述，那么這個空間就是n維的。不過，數(shù)學(xué)家們發(fā)現(xiàn)維度的概念比這些簡化的描述更為復(fù)雜。

　　看似簡單，實則復(fù)雜

　　對高維空間的正式研究始于19世紀。在幾十年內(nèi)，這一領(lǐng)域就變得極為復(fù)雜。1911年的一部著作，著錄了1832篇與n維空間的幾何學(xué)有關(guān)的參考文獻。在19世紀末至20世紀初，公眾變得對“第4維”極為癡狂。1884年，埃德溫·阿博特（Edwin Abbott）撰寫了諷刺小說《平面國》（Flatland），日后大受歡迎。書中描繪了2維生命遇見來自第3維度的生命的場景，用這一類比來幫助讀者們理解第4個維度。1909年，《科學(xué)美國人》（Scientific American）雜志舉辦了“什么是第4維？”主題征文比賽，獎金為500美元，共收到245份參賽作品。而巴勃羅·畢加索（Pablo Picasso）、馬塞爾·杜尚（Marcel Duchamp）等許多藝術(shù)家，都曾在作品中融入“第4維”的概念。

　　但是在這一時期，數(shù)學(xué)家們意識到，缺少對維度的正式定義確實是一個問題。

　　格奧爾格·康托爾（Georg Cantor）最著名的發(fā)現(xiàn)是不同無限集合的大小是不一樣的，或者說有不一樣的勢（cardinality）。起初，康托爾認為一條線段、一個正方形和一個立方體中的點集必然有不同的勢，就像包含10個點的線段、10×10的網(wǎng)格點陣和10×10×10的立方體點陣包含的點數(shù)量不同一樣。然而，1877年，他發(fā)現(xiàn)線段和正方形中的點存在一一對應(yīng)關(guān)系（對所有維度的立方體也可以依此類推），表明它們有相同的勢。于是他證明了一個直觀的結(jié)論：盡管線、正方形和立方體的維度不同，但它們由同樣數(shù)量的極小的點構(gòu)成。

　　康托爾意識到，這一發(fā)現(xiàn)對“n維空間需要n個坐標來描述”這一直觀的想法產(chǎn)生了沖擊。這是因為n維立方體中的每一個點都可以唯一地被一個區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)所標識，因而在某種意義上，這些高維的立方體與1維的線段是等價的。然而里夏德·狄德金（Richard Dedekind）指出，康托爾所構(gòu)造的函數(shù)是高度不連續(xù)的，它實際上是把一條線段拆分為無窮多個部分，然后重新拼裝成一個立方體。但是，坐標系的構(gòu)建不應(yīng)當包含這種行為；這種方式過于混亂，就像給紐約曼哈頓的所有建筑一個唯一的地址，但這些地址和每一棟建筑之間的匹配卻是隨機的。

　　1890年，朱塞佩·皮亞諾（Giuseppe Peano）發(fā)現(xiàn)，1維曲線可以被緊湊且連續(xù)地“折疊”起來，并填滿2維正方形內(nèi)的每一個點。不過，他構(gòu)造的曲線會與自身相交無窮多次。如果再用曼哈頓作類比的話，這就像有一部分建筑有多個地址。

　　戴維·希爾伯特（David Hilbert）構(gòu)想的空間填充曲線。構(gòu)建它需要循環(huán)進行5個步驟，在每一步中曲線的面積都是0，但在極限情況下，曲線便能填滿正方形。

　　這些例子表明，數(shù)學(xué)家們需要證明“維度”是一種真實存在的概念；例如，當n≠m時，n維和m維歐氏空間之間存在著某些根本的差異。這一目標后來演變成對“維度不變性”（invariance of dimension）問題的研究。

　　從高維空間到海岸線

　　在康托爾的發(fā)現(xiàn)之后將近半個世紀內(nèi)，許多數(shù)學(xué)家都嘗試證明維度不變性，但都鎩羽而歸。最終，在1912年時，盧伊茲·布勞威爾（L.E.J。 Brouwer）應(yīng)用自己發(fā)明的新方法，終于獲得了成功。本質(zhì)上說，他證明了不可能在既不將物體分割成許多部分（如康托爾的方法），又不讓物體與自身相交（如皮亞諾的方法）的情況下，將一個高維物體放到一個維度較低的物體內(nèi)，或是用一個低維物體完全填充一個維度較高的物體。同一時期，布勞威爾和其他數(shù)學(xué)家還給出了多項嚴格的數(shù)學(xué)定義。例如，其中一項定義以“n維空間中的球體的邊界是n-1維的”為基礎(chǔ)，用歸納法規(guī)定了不同的幾何圖形的“維度”。

　　盡管布勞威爾的工作給“維度”的概念奠定了堅實的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，但它們并不能幫助人們直觀地理解高維空間，因為我們對3維空間過于熟悉，往往會被誤導(dǎo)。

　　例如，假設(shè)我們要把2^n個半徑為1的球體放到一個邊長為4的n維立方體里，然后在中心再放一個球，使之與其他球體全都相切。中心球體的半徑為n1/2-1，隨著n的增大而增大。于是，這會導(dǎo)致一個非常令人震驚的結(jié)果：當n≥10時，這個球體就會超出立方體的邊。

　　對維度的探索并未止于布勞威爾的發(fā)現(xiàn)。短短幾年后，費利克斯·豪斯多夫（Felix Hausdorff）提出了維度的一種定義。幾十年后，人們意識到這一定義對于現(xiàn)代數(shù)學(xué)是必需的。有一種方法可以幫助我們直觀地理解其定義：如果把一個d維的物體均勻地放大為原來的k倍，那么這個物體的大小就會變?yōu)樵瓉淼膋d倍。例如，如果我們把一條線段、一個正方形和一個立方體放大為原來的3倍，那么點的大小不會改變（30=1），而線段長度、正方形的大小和立方體的大小分別變?yōu)樵瓉淼?、9和27倍。

　　根據(jù)豪斯多夫的定義，我們會得到一個意外的結(jié)果：物體的維度可以不是整數(shù)。幾十年后，這恰恰為貝努瓦·B。曼德爾布羅（Benoit B。 Mandelbrot）的問題給出了答案。當時，曼德爾布羅正思考大不列顛島的海岸線有多長。海岸線可能會相當參差不齊，無法用尺子精確地測量其長度——尺子越短，測量越精確，但同時測量的工程也會越浩大。曼德爾布羅認為，豪斯多夫的維度定義提供了一種量化海岸線“粗糙度”（jaggedness）的方法。1975年，他造出了“分形”（fractal）這個術(shù)語來描述這類復(fù)雜的無窮圖形。

　　我們可以以科赫曲線（Koch curve）為例，來理解非整數(shù)維度可能是什么樣的?？坪涨€是用迭代的方法生成的。起初我們有一條線段；每一步，我們要把每條線段的中間1/3去掉，用2條和去掉的線段長度相同的線段來代替。重復(fù)這一過程無窮多次，就得到了科赫曲線。如果將曲線放大，你會發(fā)現(xiàn)它包含4個部分，每個部分都和整條曲線（形狀）相同，但大小只有后者的1/3。所以，如果把曲線放大為原來的3倍，我們就得到了4條和原曲線相同的曲線。因而這條曲線的豪斯多夫維度d滿足3d=4，所以d=log34≈1.26。這條曲線不能像皮亞諾的曲線那樣填滿整個空間，所以它不算是2維的，但又比一條單純的1維的線要復(fù)雜。

　　3維之外

　　可能有的讀者會疑惑：“難道第4維不是時間嗎？”1895年，赫伯特·韋爾斯（H.G。 Wells）發(fā)表了小說《時間機器》（The Time Machine）。正如小說中的發(fā)明家所說，“除了我們的意識沿著時間流動以外，時間和3維空間的任一個維度并無區(qū)別?！?919年發(fā)生的一場日食，使科學(xué)家們得以確認愛因斯坦的廣義相對論，也印證了赫爾曼·閔可夫斯基（Hermann Minkowski）的預(yù)測：“從此以后，獨立的空間和獨立的時間注定將不復(fù)存在，只有某種將二者結(jié)合的形式可以將獨立的現(xiàn)實保存下來?！?/p>

　　如今，數(shù)學(xué)家和其他領(lǐng)域的研究者，常常進行我們熟悉的3維空間以外的研究。有時這些研究會涉及額外的物理維度（如弦論就需要這些維度），但更多的時候，我們會進行抽象的工作，不會構(gòu)想真實的空間。幾何學(xué)的研究可能涉及高維空間，而物理、生物、工程、金融和圖像處理等領(lǐng)域有時會研究分形，需要用到非整數(shù)維度。

　　幸運的是，要想享受維度的樂趣，并不需要對它有充分的理解——這一點，鳥兒和數(shù)學(xué)家們都一樣。

　　原文鏈接：

　　https：//www.quantamagazine.org/a-mathematicians-guided-tour-through-high-dimensions-20210913/